Espaços Vectoriais: Definições, Exemplos e Subespaços, Notas de aula de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Baixe Espaços Vectoriais: Definições, Exemplos e Subespaços e outras Notas de aula em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity!

Espaço vectorial

Definições e exemplos

Subespaço vectorial

Definições e exemplos

Definição:

Seja 𝑉 um conjunto não vazio em que estão

definidas as operações de adição e

multiplicação por escalar.

 ∀ 𝑢 ∈ 𝑉, e α ∈ 𝐼𝑅, α𝑢 ∈ 𝑉

O conjunto 𝑉 com estas duas operações é

chamado de espaço vectorial sobre 𝐼𝑅 (ou C )

se forem verificados os seguintes axiomas:

Exemplos de Espaços Vectoriais:

1. O conjunto 𝑉 = 𝐼𝑅 2 = (𝑥, 𝑦) é um espaço vectorial: Sejam u = 𝑥 1 , 𝑦 1 e v = (𝑥 2 , 𝑦 2 ) vectores do 𝐼𝑅 2 e α ∈ 𝐼𝑅. a) Adição de vectores: 𝑢 + 𝑣 = 𝑥 1 , 𝑦 1 + 𝑥 2 , 𝑦 2 = (𝑥 1 +𝑥 2 , 𝑦 1 + 𝑦 2 ) b) Multiplicação por escalar α 𝑥 1 , 𝑦 1 = α𝑥 1 , α𝑦 1 Observação: o vector nulo de 𝐼𝑅 2 , assim como o seu simétrico estão em 𝐼𝑅 2 .
2. O conjunto 𝐼𝑅 𝑛 para todas as ênuplas é um espaço vectorial sobre 𝐼𝑅 com as seguintes: a) Adição de vectores: 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎𝑛 + 𝑏 1 , 𝑏 2 , … , 𝑏𝑛 = (𝑎 1 + 𝑏 1 , 𝑎 2 +

3. Espaço Matricial : o conjunto de matrizes 𝑀(𝑚 × 𝑛) com as operações de adição e multiplicação por escalar forma um espaço vectorial. a) Adição: 𝐴𝑚×𝑛 + 𝐵𝑚×𝑛 = (𝐴 + 𝐵)𝑚×𝑛∈ 𝑀(𝑚 × 𝑛) b) Multiplicação: α𝐴𝑚×𝑛 = (α𝐴)𝑚×𝑛 ∈ 𝑀(𝑚 × 𝑛) Observe que a matriz nula de ordem 𝑚 × 𝑛 está em 𝑀(𝑚 × 𝑛).
4. Espaço dos polinómios 𝑃 𝑡 com a seguinte forma: 𝑃 𝑡 = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑡 + 𝑎 2 𝑡 2

• ⋯ + 𝑎𝑛𝑡 𝑛 com grau ≤ 𝑛; os coeficientes 𝑎𝑖 (𝑖 = 0 , 1 , 2 , … ) são reais. a) Adição de vectores: a soma de 𝑝 𝑡 + 𝑞 𝑡 ∈ 𝑃 𝑡 b) A multiplicação do vector por escalar α𝑝 𝑡 ∈ 𝑃 𝑡 e o polinómio identicamente pertence ao espaço 𝑃 𝑡.

Teorema: seja 𝑊 um subconjunto do espaço vectorial 𝑉. Então 𝑊 é subespaço de 𝑉 se as duas condições seguintes são verdadeiras. a) O vector nulo 0 pertence a 𝑊 b) Dados quaisquer 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑊 e α ∈ 𝐼𝑅 (i) 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑊 e (ii) α𝑢 ∈ 𝑊 Observação: Todo espaço vectorial 𝑉 admite pelo menos dois subespaços que são:

1. O vector nulo 0 é o subespaço nulo
2. O próprio 𝑉 Que são chamados subespaços triviais e os demais são chamados de subespaços próprios de 𝑉.

Exemplo1 : 𝑉 = 𝐼𝑅

2

Os espaços triviais de 𝐼𝑅

2

são:

a) O vector nulo ( 0 , 0 ) de 𝐼𝑅

2

é o subespaço nulo

b) O próprio 𝐼𝑅

2

c) E os subespaços próprios de 𝐼𝑅

2

são todas as

rectas que passam pelas origem.

Exemplo2 : 𝑉 = 𝐼𝑅

3

Os espaços triviais de 𝐼𝑅

3

são:

a) O vector nulo ( 0 , 0 , 0 ) é o subespaço nulo

b) O próprio 𝐼𝑅

3

c) E os subespaços próprios de 𝐼𝑅

3

são todas as

rectas e os planos que passam pelas origem.

Exemplo4: qualquer recta que não passe pela

origem não é subespaço vectorial de 𝐼𝑅

2

2

e 𝑆 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼𝑅

2

Nota que o elemento 0 , 0 não pertence a 𝑆,

logo 𝑆 não é subespaço do espaço 𝐼𝑅

2

A recta 𝑦 = 𝑥 passa pela origem, logo é um

subespaço vectorial de 𝐼𝑅

2

Figura: