Baixe Espaços Vectoriais — T: Definições, Propriedades e Exemplos e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity!
2.1def Sejam K um conjunto não vazio e as operações
- : K × K −→ K (α, β) 7 −→ α + β e^
· : K × K −→ K
(α, β) 7 −→ α · β, a que chamamos soma e multiplicação, respectivamente. Então, diz-se que o triplo (K, +, ·) é um corpo se: (a) ∀α, β ∈ K : α + β = β + α. (b) ∀α, β, γ ∈ K : (α + β) + γ = α + (β + γ). (c) ∃^1 elemento de K (representado por (^0) K), ∀α ∈ K : α + 0K = 0K + α = α. (d) ∀α ∈ K, ∃^1 elemento de K (representado por −α) : α + (−α) = 0K. (e) ∀α, β ∈ K : α · β = β · α. (f) ∀α, β, γ ∈ K : (α · β) · γ = α · (β · γ). (g) ∃^1 elemento de K (representado por (^1) K), ∀α ∈ K : (^1) K · α = α · (^1) K = α. (h) ∀α ∈ K{ (^0) K}, ∃^1 elemento de K (representado por α−^1 ) : α · α−^1 = α−^1 · α = 1K.
2.2obs (a) Para simplificar a linguagem e quando tal não resultar duvidoso, em vez de nos referirmos a um corpo como um triplo (K, +, ·) diremos apenas “seja K um corpo”, devendo-se subentender as operações envolvidas. (b) Se não causar confusão, escreveremos αβ em vez de α·β. 2.3exe Q, R e C são exemplos de corpos.
2.4def Sejam V um conjunto não vazio, (K, +, ·) um corpo e as operações ⊕ : V × V −→ V (x, y) 7 −→ x ⊕ y
e :^ K^ ×^ V^ −→^ V (α, x) 7 −→ α x Então, diz-se que o sêxtuplo (V, ⊕, , K, +, ·) é um espaço vectorial sobre o corpo K (abreviadamente ev sobre K) se: (a) ∀x, y ∈ V : x ⊕ y = y ⊕ x. (b) ∀x, y, z ∈ V : (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z). (c) ∃^1 elemento de V (representado por (^0) V ), ∀x ∈ V : x ⊕ (^0) V = 0V ⊕ x = x. (d) ∀x ∈ V, ∃^1 elemento de V (representado por −x) : x ⊕ (−x) = 0V. (e) ∀α ∈ K, ∀x, y ∈ V : α (x ⊕ y) = α x ⊕ α y. (f) ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V : (α + β) x = α x ⊕ β x. (g) ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V : (α · β) x = α (β x). (h) ∀x ∈ V : 1K x = x. Chama-se vectores aos elementos de V e escalares aos elementos de K. A operação ⊕ designa-se por soma de vectores e a operação por multiplicação de um es- calar por um vector.
2.6exe Exemplos de conjuntos que definem espaços vectoriais:
(a) sejam K um corpo, n um inteiro positivo e o conjunto Kn^ = {(x 1 ,... , xn) : x 1 ,... , xn ∈ K}. Defina-se a soma de dois quaisquer elementos de K, x = (x 1 ,... , xn) e y = (y 1 ,... , yn), por x + y = (x 1 + y 1 ,... , xn + yn), e a multiplicação de um escalar α ∈ K por um qualquer elementos de K, x = (x 1 ,... , xn), por αx = (αx 1 ,... , αxn). Então, o conjunto Kn^ com estas operações define um ev sobre (o corpo) K.
Este exemplo tem uma interpretação geométrica para n = 2 ou n = 3:
(b) o conjunto Km×n^ define, com os operações de soma de matrizes e de multiplicação de um escalar por uma ma- triz, um ev sobre (o corpo) K (relembrar definição 1. relativa à soma de matrizes e definição 1.16 relativa à multiplicação de uma matriz por um escalar). (c) Seja n um inteiro positivo. Então, o conjunto Rn[x] = {a 0 xn+· · ·+an− 1 x+an : a 0 ,... , an− 1 , an ∈ R}, i.e., o conjunto dos polinómios na variável x com coe- ficientes reais e que têm grau menor ou igual a n, de- fine, com as operações usuais de soma de polinómios e de multiplicação de um polinómio por um escalar, um evr (relembrar que a soma de dois quaisquer ele- mentos de Rn[x], p(x) = p 0 xn^ + · · · + pn− 1 x + pn e q(x) = q 0 xn^ + · · · + qn− 1 x + qn, é dada por p(x) + q(x) = (p 0 + q 0 )xn^ + · · · + (pn− 1 + qn− 1 )x + (pn + qn), e que a multiplicação de um escalar α ∈ K por um qualquer elementos de K, p(x) = p 0 xn^ + · · · + pn− 1 x + pn, é dada por αp(x) = (αp 0 )xn^ + · · · + (αpn− 1 )x + (αpn)).
(d) O conjunto
C[a, b] = {f : [a, b] −→ R : f é uma função contínua} define, com as operações usuais de soma de funções e de multiplicação de uma função por um escalar real, um evr (relembrar que a soma de dois quaisquer elementos de C[a, b], f e g, é dada por (f +g)(x) = f (x)+g(x), e que a multiplicação de um escalar α ∈ R por um qualquer elementos de C[a, b], f , é dada por (αf )(x) = αf (x)).
2.7exe Exemplos de conjuntos que não definem espaços vectoriais:
(a) o conjunto R+^ com as operações ⊕ : R+^ × R+^ −→ R+ (x, y) 7 −→ x ⊕ y = xy
: R × R+^ −→ R+ (α, x) 7 −→ α x = xα, não definem um evr pois
(b) o conjunto Rn×n^ com as operações ⊕ : Rn×n^ × Rn×n^ −→ Rn×n (A, B) 7 −→ A ⊕ B = AT^ + BT : R × Rn×n^ −→ Rn×n (α, A) 7 −→ α A = αA, não definem um evr pois
(c) o conjunto R^2 com as operações ⊕ : (^) ( R^2 × R^2 −→ R^2 (a, b), (c, d)
−→ (a, b) ⊕ (c, d) = (0, b + d) : (^) (R × R^2 −→ R^2 α, (a, b)
−→ α (a, b) = (2αa, 2 αb), não definem um evr pois
2.8teo Seja V um ev sobre o corpo K. Então,
(a) se x, x 1 , x 2 ∈ V e x + x 1 = x + x 2 , então, x 1 = x 2. (b) ∀x ∈ V : 0Kx = 0V. (c) ∀α ∈ K : α (^0) V = 0V. (d) Se x 1 , x 2 ∈ V , então, a equação x 1 + x = x 2 tem a solução única x = x 2 − x 1. (e) αx = 0V ⇒ α = 0K ∨ x = 0V. (f) ∀α ∈ K, ∀x ∈ V : −(αx) = (−α)x e (−α)(−x) = αx. dem (b)
(d)
2.11exe Exemplos de conjuntos que definem subespaços:
(a) o conjunto F = {(x 1 , x 2 ) ∈ R^2 : x 2 = 0} é um subespaço de R^2. (b) O conjunto das matrizes reais e diagonais de ordem n é um subespaço de Rn×n. (c) O conjunto das matrizes simétricas de ordem n é um subespaço de Kn×n. (d) Seja V um ev sobre o corpo K. Então, os conjuntos { (^0) V } e V são subespaços de V.
2.12exe Exemplos de conjuntos que não definem subespaços:
(a) o conjunto G = {(x 1 , x 2 ) ∈ R^2 : x 2 = 1} não é um subespaço de R^2 pois
(b) o conjunto das matrizes hermitianas de ordem n não é um subespaço de Cn×n^ pois
2.13def Sejam V um ev sobre o corpo K e x 1 ,... , xn n vectores de V. Então, um vector x ∈ V diz-se uma combinação linear de x 1 ,... , xn se ∃α 1 ,... , αn ∈ K : x = α 1 x 1 + · · · + αnxn.
2.14exe Considere os seguintes elementos de R^2 : x = (1, 4), x 1 = (1, 2), x 2 = (1, 1) e x 3 = (2, 2). Então, (a) ∃α, β ∈ R : x = αx 1 + βx 2?
(b) ∃α, β, γ ∈ R : x = αx 1 + βx 2 + γx 3?
(c) ∃α, β ∈ R : x = αx 2 + βx 3?
2.19def Sejam V um ev sobre o corpo K e x 1 ,... , xn n vectores de V. Então, diz-se que x 1 ,... , xn são linearmente in- dependentes (abreviadamente li) se α 1 x 1 + · · · + αnxn = 0V ⇒ α 1 = · · · = αn = 0K. Caso contrário, dizem-se linearmente dependentes (abreviadamente ld). 2.20teo Sejam V um ev e x 1 ,... , xn n vectores de V. Então, os vectores x 1 ,... , xn (n > 2 ) são ld sse pelo menos um de- les for uma combinação linear dos restantes (conclui-se de imediato que se algum dos vectores é o vector nulo ou se pelo menos dois dos vectores são iguais, então x 1 ,... , xn são ld). 2.21teo Sejam V um ev e x 1 ,... , xn n vectores de V. Então, (a) x 1 ,... , xn ld ⇒ qualquer conjunto que os contenha é ainda ld. (b) x 1 ,... , xn li ⇒ qualquer seu subconjunto é ainda li.
2.22obs No ev R^2 a dependência de vectores pode ser geometrica- mente descrita como segue: dois vectores quaisquer de R^2 são ld se estão na mesma recta passando pela origem. No ev R^3 a dependência de vectores pode ser geometricamente descrita como segue: dois vectores quaisquer de R^3 são ld se estão na mesma recta passando pela origem. três vectores quaisquer de R^3 são ld se estão no mesmo plano passando pela origem.
2.23exe (a) (1, 0) é li?
(b) (1, 0), (1, 1) são li?
(c) (1, 0), (1, 1), (0, 1) são li?
2.24def Sejam V um ev e C = {x 1 ,... , xn} um conjunto que gera V constituído por vectores li. Então, diz-se que o conjunto C é uma base de V. 2.25teo Sejam V um ev e o conjunto {x 1 ,... , xn} uma base de V. Então, todas as bases de V têm n vectores. 2.26def Sejam V um ev e o conjunto {x 1 ,... , xn} uma base de V. Então, ao número de elementos que constituem a base chamamos dimensão do ev V e escreve-se dim(V ) = n. Diz-se, ainda, que V é um ev de dimensão finita (esta de- finição faz sentido pois o teorema anterior garante-nos que todas as bases de um ev têm o mesmo número de elemen- tos).
2.29exe (a) dim(R^3 ) = 3 e {e 1 , e 2 , e 3 }, e 1 = (1, 0 , 0), e 2 = (0, 1 , 0), e 3 = (0, 0 , 1), e {f 1 , f 2 , f 3 }, f 1 = (− 1 , 0 , 0), f 2 = (0, 1 , 1), f 3 = (1, 1 , 1), são dois exemplos de bases de R^3 (à primeira chama-se base canónica de R^3 ). (b) dim(Rn) = n. (c) dim(K^2 ×^3 ) = 6 e {E 11 , E 12 , E 13 , E 21 , E 22 , E 23 }, em que
E 11 =
[
]
, E 12 =
[
]
, E 13 =
[
]
E 21 =
[
]
, E 22 =
[
]
, E 23 =
[
]
é uma base de K^2 ×^3. (d) dim(Km×n) = mn. (e) dim(R 3 [x]) = 4 e { 1 , x, x^2 , x^3 } é uma base de R 3 [x]. (f) dim(Rn[x]) = n + 1. (g) C[a, b] não é um ev de dimensão finita.
2.30exe escrever o vector v = (− 3 , 2 , 8) ∈ R^3 como combinação linear dos elementos da base canónica de R^3 :
2.31obs Seja V um ev tal que dim(V ) = n. Então,
(a) quaisquer m vectores de V com m > n são ld. (b) C conjunto de geradores de V ⇒ #C > n. (c) C conjunto de n vectores li de V ⇒ C conjunto gerador. (d) C conjunto de n vectores geradores de V ⇒ os vectores são li. (e) C conjunto de geradores de V constituído por vectores li ⇒ #C = n. 2.32teo Seja V um ev. Então, qualquer conjunto finito de geradores de V contém ainda um subconjunto de geradores de V constituído por vectores li. 2.33teo Sejam V um ev e F um subespaço de V. Então, (a) dim(F ) 6 dim(V ). (b) dim(F ) = dim(V ) sse F = V.
- Espaços Vectoriais — TP 34
(c) C = {(1, 0), (0, 1), (1, 3)}. (d) D = {(1, 2)}. (e) E = {(1, 2), (2, 4), (− 1 , −2)}. (f) F = {(1, −1), (− 2 , 2)}. sols 2.6 A, B e C. 2.7 Indique quais dos seguintes conjuntos de vectores são conjuntos geradores do espaço vectorial R 3 [x]: (a) A = { 1 , x, x^2 , x^3 }. (b) B = {1 + x, x^2 + x^3 }. (c) C = {1 + x, 1 − x, x^2 , x^3 − 1 , x + x^3 }. (d) D = { 1 , 2 x, x^2 + 1, x^3 − x}. sols 2.7 A, C e D. 2.8 Seja X = {(1, 0 , α), (α, β, β), (1, 0 , 0), (0, 0 , 1)} um conjunto de vectores do espaço vectorial R^3. (a) Determine os valores dos parâmetros α e β para que X seja um conjunto de geradores de R^3. (b) Para um dos valores delinear dos vectores de X α. e β determinados na alínea anterior, escreva o vector (− 1 , 1 , −2) como combinação sols 2.8 (a) β 6 = 0. (b) Por exemplo, para α = 0 e β = 1 temos (− 1 , 1 , −2) = −(1, 0 , 0) + (0, 1 , 1) − 3(0, 0 , 1). 2.9 Determine, nos espaços vectoriais respectivos, se os vectores seguintes são linearmente independentes: (a) (3, 1) e (4, 2) de R^2. (b) (3, 1), (4, −2) e (7, 2) de R^2. (c) (0, − 3 , 1), (2, 4 , 1) e (− 2 , 8 , 5) de R^3. (d) (− 1 , 2 , 0 , 2), (5, 0 , 1 , 1) e (8, − 6 , 1 , −5) de R^4. sols 2.9 (a) Sim. (b) Não. (c) Sim. (d) Não. 2.10 Discuta, em função do parâmetro real α, a independência linear dos vectores a = (1, −2) e b = (α, −1) de R^2. sols 2.10 SeSe αα 6 == 121 , então os vectores a e b são linearmente independentes. 2 , então os vectores^ a^ e^ b^ são linearmente dependentes. 2.11 Considere no espaço vectorial realconstantes reais. Indique, em função de R^3 os vectores α v 1 = (α 1 , β 1 , 1) e v 2 = (α 2 , β 2 , 0) em que α 1 , α 2 , β 1 e β 2 são e v 2 serem linearmente independentes.^1 , α^2 , β^1 e^ β^2 uma condição necessária e suficiente para os vectores^ v^1 sols 2.11 SeSe αα 2 6 = 0 ∨ β 2 6 = 0, então os vectores são linearmente independentes. 2 = 0^ ∧^ β 2 = 0, então os vectores são linearmente dependentes. 2.12 Considere o espaço vectorial reallinearmente independentes u e v deR^3 S^ e um seu subespaço e mostre que qualquer vector S = {(x, y, z w )∈ ∈ S Ré uma combinação linear de^3 : x = y}. Determine dois vectores u e v. 2.13 Mostre que, se num espaço vectorialdentes, então os vectores seguintes são também linearmente independentes: E sobre um corpo K os vectores v 1 , v 2 e v 3 de E são linearmente indepen- (a) u 1 = v 1 e u 2 = v 1 + v 2. (b) u 1 = 2v 1 , u 2 = v 1 + v 2 e u 3 = −v 1 + v 3. (c) w 1 = v 1 + v 2 , w 2 = v 1 + v 3 e w 3 = v 2 + v 3. 2.14 Considere no espaço vectorial real u, v e w são linearmente independentes. R 2 [x] os vectores u = 1, v = 1 − x e w = (1 − x)^2. Verifique que os vectores
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2.15 Averigue quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de R^2 : (a) A = {(1, 1), (3, 0)}. (b) B = {(1, 1), (0, 2), (2, 3)}. (c) C = {(1, 1), (0, 8)}. (d) D = {(1, −2), (− 2 , 4)}. sols 2.15 A e C. 2.16 Averigue quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de R 3 [x]: (a) A = { 1 , x, x^2 , x^3 }. (b) B = { 1 , 1 + x, 1 + x + x^2 , 1 + x + x^2 + x^3 , x^3 }. (c) C = { 2 , x, x^2 + x^3 , x + x^2 + x^3 }. (d) D = { 1 , 1 + x, x^2 + x^3 }. sols 2.16 A. 2.17 Considere os vectores v 1 = (α, 6), v 2 = (1, α) ∈ R^2 , α ∈ R. (a) Determine os valores do parâmetro α para os quais o conjunto {v 1 , v 2 } é uma base de R^2. (b) Para um dos valores determinados na alínea anterior, calcule as coordenadas do vectorrelação à base {v v = (− 1 , 1) em 1 , v 2 }. sols 2.17 (a) α 6 = ±√ 6. (b) Por exemplo para α = 0 temos v = 16 v 1 − v 2. 2.18 Considere o seguinte subconjunto do espaço vectorial real R^4 : V = {(x, y, z, w) ∈ R^4 : x = y − 3 z ∧ z = 2w}. (a) Mostre que V é um subespaço vectorial de R^4. (b) Determine uma base e a dimensão de V. sols 2.18 (b) Por exemplo, o conjunto {(1, 1 , 0 , 0), (− 6 , 0 , 2 , 1)} é uma base de V e dim(V ) = 2. 2.19 Sejamvectores de F = R{( 3 x, y, z. ) ∈ R^3 : z = 0} um subconjunto de R^3 e u 1 = (0, 2 , 0), u 2 = (1, 0 , 0) e u 3 = (− 1 , 6 , 0) três (a) Mostre que F é subespaço vectorial de R^3. (b) Verifique que F = 〈u 1 , u 2 , u 3 〉. (c) O conjunto {u 1 , u 2 , u 3 } é uma base de F? (d) Indique a dimensão de F. sols 2.19 (c) Não. (d) dim(F ) = 2. 2.20 Sejam V um espaço vectorial, v 1 , v 2 , v 3 e v 4 vectores de V e {v 1 , v 2 } uma base de V. (a) A = {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } é um conjunto de geradores de V? (b) A é constituído por vectores linearmente independentes? (c) B = {v 1 } é um conjunto de geradores de V? (d) B é constituído por vectores linearmente independentes? (e) Seja C um subconjunto de V que gera V. Que pode dizer sobre o número de vectores de C? (f) Sejanúmero de vectores de D um subconjunto de D? V constituído por vectores linearmente independentes. Que pode dizer sobre o (g) Em que condições é que E = {v 1 , v 4 } é um conjunto de geradores de V? sols 2.20 (a) Sim. (b) Não.
