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DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS EM ESTACAS CRAVADAS VERTICALMENTE,
CONSTITUINTES DE UM ESTAQUEAMENTO DE BLOCO SUJEITO A MOMENTOS E
FORÇAS HORIZONTAIS E VERTICAIS.
1 – CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES
O presente estudo visa apresentar a formulação necessária para obtenção dos esforços em estacas cravadas verticalmente, cujo estaqueamento a que pertencem esteja submetido a forças horizontais e verticais e a momentos.
2 – HIPÓTESES ADOTADAS
2.a – O Bloco de Coroamento é sobejamente rígido de forma a desprezar-se suas deformações face as das estacas; 2.b – O material das estacas atende à lei de Hooke; 2.c – Os afundamentos das estacas são iguais; 2.d – As deflexões das estacas são iguais.
3 – ESFORÇOS ATUANTES NO SISTEMA
O sistema está submetido aos esforços FX , FY , FZ , MX , MY, todos reduzidos ao sistema de eixos X,Y e Z (arbitrário) e com a origem em O. ( Ver fig. I ).
Reduzindo os esforços ao sistema de eixos x, y e z, que passa pelo baricentro (G) da estacaria, teremos, para os esforços respectivos, Fx , Fy , Fz , Mx , My , Mz, os seguintes módulos :
Fx = FX ( a )
Fy = FY ( b )
Fz = FZ ( c )
Mx = MX – FY.d + FZ.Yg ( d )
My = MY + FX.d - FZ.Xg ( e )
Mz =Mz,Fx+Mz,Fy = -FX.Yg+FY.Xg ( f )
Para que o sistema esteja em equilíbrio devemos ter, sendo n o número de estacas ( Ver FIGs I e II ):
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
= =
=
=
=
=
=
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
Mz Mz Hiyi Vi xi
My My Nixi
Mx Mx Niyi
Fz Fz Ni
Fy Fy Vi
Fx Fx Hi
1 1
1
1
1
1
1
Ocorre que :
iFz iMx i My
iFy iMz
iFx iMz
Ni N N N
Vi V V
Hi H H
, , ,
, ,
, ,
Como os momentos geram forças reativas em forma de conjugados, o sistema de equilíbrio acima se simplifica em:
∑ ∑
n
i
Fxi Fx HiFx 1
1
∑ =^ ⇒ +∑ ,^ =
n
i
Fyi Fy ViFy ( 2 )
∑ ∑
n
i
Fzi Fz NiFz 1
∑ ∑
n
i
Mxi Mx [(Ni,Mx).yi]
1
∑ ∑
n
i
Myi My [(Ni,My).xi]
1
∑ ∑ ∑ = =
n
i
n
i
Mzi Mz [(Hi,Mz).yi] [(Vi,Mz).xi]
1 1
NOTA : O segundo índice, indica o esforço que deu origem ao esforço referido.
4 – DETERMINAÇÃO DO BARICENTRO (G) DO ESTAQUEAMENTO
a) Forças Normais (Ni):
Da figura I, tiramos:
Fz
N Xi FzXg N Xi Xg
n
i
n iFz
i
iFz
∑ ∑
=
+ = ∴ = −^1
,
1
,
[( ). ]
. [( ). ] 0
Tendo em vista ( c ) e ( 3 ), teremos :
∑
∑
=
n
i
iFz
n
i
iFz
N
N Xi Xg
1
,
1
[( , ). ]
( A )
Analogamente :
5 – DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS NAS
ESTACAS
5.1 – Reação Axial devida à Carga Vertical Fz
De ( 3 ) e ( c ) , teremos:
∑ ∑ ∑ = = =
n
i
n
i
n
i
Fz FZ Ni Fz Ki i Ki 1 1 1
, (. δ^ )^ δ ,^ uma
vez que δi = δ = constante
Assim,
∑ ∑ = =
= = n
i
n
i
Ki
FZ
Ki
Fz
1 1
δ
Como Ni,Fz = - Ki.δi = -Ki.δ, teremos :
Fz Ki
Ki N (^) n
i
i Fz.
1
,
∑
( E )
5.2 – Reação Axial devida aos Momentos Mx e My
De ( 5 ) , teremos:
∑ ∑ = =
n
i
n
i
My Ni My xi NiMy Xi Xg 1 1
( , ). [ , .( )]
Ainda observando-se a figura III – a, teremos :
N (^) i , My= −Ki. δi =−Ki ( Xi−Xg ). ϕ i, sendo^ ϕi= constante
∑
∑
=
= − ∴ = n
i
n
i (^) KiXi Xg
My My i KiXi Xg i
1
1 2
2
[ ( ) ]
ϕ [ ( ) ] ϕ
Assim,
∑
= − n
i
iMy KiXi Xg
MyKiXi Xg N
1
2
, [ ( ) ]
De ( 4 ) , teremos ;
∑ ∑ = =
n
i
n
i
Mx Ni Mx yi NiMx Yi Yg 1 1
( , ). [ , .( )]
Ainda, observando-se a figura III – b , teremos:
N (^) i , Mx=−Ki. δi =−Ki ( Yi−Yg ).( −ϕi ) =Ki ( Yi−Yg ). ϕi , sendo ϕi = constante
Assim,
∑ ∑
=
n
i
n
i
KiYi Yg
Mx Mx i KiYi Yg i 1 1
2
2
[ ( )]
ϕ [ ( ) ] ϕ
Logo,
∑
= (^) n
i
iMx KiYi Yg
MxKiYi Yg N
1
2
, [ ( ) ]
5.3 – Reação Axial Total (Ni)
Ni = Ni , Fz+Ni , Mx+Ni , My, ou seja :
∑ ∑ ∑ = = =
= − n
i
n
i
n
i
KiXi Xg
MyKiXi Xg
KiYi Yg
MxKiYi Yg
Ki
Ki Ni Fz
1
2 1
2 1
[ ( ) ]
[ ( ) ]
Para o caso particular em que o estaqueamento sofra o carregamento sobre eixos de simetria e as estacas preservem o mesmo material e dimensões, teremos:
K 1 = K 2 =.... = Kn = constante
Xg = 0
Yg = 0
E a expressão de Ni, acima , passa a ser :
∑ ∑ ∑ ∑ = = = =
n
i
n
i
n
i
n
i
Xi
MyXi
Yi
MxYi n
Fz
Xi
MyXi
Yi
MxYi n
Fz Ni
1
2 1
2 1
2 1
2
5.4 – Reações Tangenciais(Horizontais e Verticais) devidas a Fx e Fy
Reduzindo ao baricentro M(Xm,Ym), as Forças
Externas F (^) x eFy, relativas aos eixos x e y, teremos
a seguinte disposição:
a) Reações Devidas a Fx
r
Sob a ação da força Fx
r o bloco rígido sofre uma
translação δx, Fx, na direção x´, gerando uma reação Hi,Fx na estaca i, também nessa direção, dada por:
constan te C
H
H C x,Fx i,x
i,Fx − i, Fx=β⋅ i,x⋅δx,Fx∴− =β⋅ δ =
Que nos permite escrever:
i, x
i,Fx n
i 1
i,x
n
i 1
i,Fx
C
H
(C )
(H )
∑
∑
=
= (^) , que tendo em vista (1) :
∑
= − n
i 1
i,x
i,Fx x (C )
Ci,x H F.
b) Reações Devidas a Fy
r :
Analogamente,
∑
= − n
i 1
i,y
i,y i,Fy y (C )
C
V F.
5.5 – Reações Tangenciais ( Horizontais e Verticais ) devidas a MZ',Fx e MZ',Fy
a) Reações devidas a MZ',Fx :
Sob a ação de MZ',Fx o bloco do estaqueamento, gira em torno do eixo z', perpendicular ao plano x'y', de um ângulo ϕ, provocando o aparecimento de forças reativas Hi,Mz',Fx no plano dos topos das estacas.
∑ ∑^ [^ ]
= =
= − ⋅ ⋅ n
i 1
2 i,x i m
i,x i m n x m
i 1
i,x
i,x i x C (Y Y )
C (Y Y )
F Y
C
C
H F.
Sendo,
i
i i,y i,x L
EJ
C = ;
6.3 – Esforço Tangencial Vertical
Vi =− (V i ,Fy+Vi,Mz',Fy)
∑ ∑^ [^ ]
= =
= + ⋅ ⋅ n
i 1
2 i,y i m
i,y i m n y m
i 1
i,y
i,y i y C (X X )
C (X X )
F X
(C )
C
V F.
Sendo,
i
i i,x i,y L
EJ
C = ;
6.4 - Momentos de Engastamento Estaca-Bloco
Admitindo o engastamento perfeito da estaca no bloco do estaqueamento, teremos:
L
M (^) ie, x= Vi. i e 2
L
M (^) ie ,y=Hi. i
6.5 – Regra de Sinais
a ) Para as Forças Externas e nas Estacas, considerar a orientação dos eixos do presente estudo;
b ) Para os momentos externos, considerar estes eixos e utilizar a regra universal do “Saca – Rolhas”.
7 – EXEMPLO NUMÉRICO
Extraído da REVISTA ESTRUTURA N.º 94, pag. 55, do artigo Determinação das Reações em Blocos de Estacas Fincadas Verticalmente, dos autores Juan Pedro Zagni e Donato Cabral Garofano.
Esforços Externos
Fx = 5.000 kgf Fy = - 20.000 kgf Fz = 100.000 kgf Mx = 50.000 kgm My = 30.000 kgm D = 1m
Dados Geométricos
Estaca Xi ( m ) Yi ( m ) Li (m ) Ai (m^2 ) Ei ( kgf/m^2 ) Jxi ( m 4 ) Jyi ( m 4 ) 1 - 1 1,732 1 1 1 1 1 2 - 2 0 1 1 1 1 1 3 - 1 - 1,732 1 1 1 1 1 4 1 - 1,732 1 1 1 1 1 5 2 0 1 1 1 1 1 6 1 1,732 1 1 1 1 1 7 - 2,858 1,65 1 1 1 1 1 8 - 2,858 - 1,65 1 1 1 1 1 9 0 - 3,3 1 1 1 1 1 10 2,858 - 1,65 1 1 1 1 1 11 2,858 1,65 1 1 1 1 1 12 0 3,3 1 1 1 1 1
As figuras acima exibem a tela do programa ESTAQV, de nossa autoria, executando o exemplo numérico proposto.
João Pessoa, Abril de 1998
