Instituto Superior Técnico
Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura
Mestrado em Engenharia Civil
Obras Geotécnicas
Fundações por Estacas
Acções Horizontais
Elementos Teóricos
Prof. Jaime A. Santos
Abril de 2008
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Estacas H, Notas de estudo de Administração Empresarial
Apostila de estacas
Tipologia: Notas de estudo
2011
1 / 20
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Instituto Superior Técnico
Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura
Mestrado em Engenharia Civil
Obras Geotécnicas
Fundações por Estacas
Acções Horizontais
Elementos Teóricos
Prof. Jaime A. Santos
Abril de 2008
Fundações por Estacas – Acções Horizontais
1 - Generalidades
Nos tempos actuais, assiste-se, cada vez mais, à execução de obras de construção civil de
grande porte, graças ao progressivo aperfeiçoamento dos materiais e das técnicas construtivas.
Por condicionamentos de índole geológica e geotécnica, estas estruturas de grande porte são,
muitas vezes fundadas em estacas e envolvem acções horizontais consideráveis que podem
ser provocadas por diversas origens, tais como: ventos, sismos, impulsos de terras, frenagens
de veículos, ondas do mar, variações térmicas, etc.
As acções horizontais induzidas na superestrutura são transmitidas até ao nível das fundações
dando origem a cargas horizontais e momentos concentrados. Estas cargas são, em grande
parte, suportadas pela reacção lateral do solo que se opõe ao movimento das estacas,
gerando-se assim esforços de interacção.
Para o dimensionamento de estacas sujeitas a acções horizontais, vários métodos de análise
foram desenvolvidos. Praticamente, em todos estes métodos, a estaca é assimilada a uma peça
linear caracterizada por uma dada rigidez à flexão EI. A principal diferença entre os vários
métodos desenvolvidos reside na modelação do solo envolvente. Essa modelação pode ser
feita através de modelos do meio contínuo e de modelos do meio discreto (Figura 1):
M
1/r
p
y
p
y
Figura 1 – Modelos de interacção solo-estaca (Gomes Correia e Santos, 1994)
2 - Modelo de Winkler
O modelo do meio discreto baseado no conceito do coeficiente de reacção foi proposto por
Winkler em 1867. Neste modelo o solo é assimilado por uma série de molas independentes
com comportamento elástico e linear. A rigidez dessas molas é caracterizada assim por uma
constante de proporcionalidade entre a pressão aplicada e o deslocamento do solo, constante
essa designada por coeficiente de reacção horizontal kh. O kh é assim definido como sendo a
pressão necessária para provocar um deslocamento unitário e, portanto, com as dimensões de
[FL-3]. Define-se ainda, por vezes, uma outra grandeza designada por módulo de reacção do
solo k que é igual ao produto de kh pelo diâmetro (ou dimensão transversal) da estaca.
O modelo de cálculo consiste em assimilar a estaca a uma peça linear (viga) apoiada num
meio elástico. A influência do esforço normal na estaca é, em geral, desprezado. A equação
diferencial que rege o comportamento dessa viga é bem conhecida da Resistência de Materiais
(Timoshenko 1951) e traduz-se na seguinte equação:
q
dx
d M =
2
2
em que M é o momento flector, x é a profundidade e q é a pressão aplicada.
Admitindo válida a hipótese dos pequenos deslocamentos vem :
2
2 2
2
dx
d y
EI
dx
d M
em que y é o deslocamento, E é o módulo de elasticidade da estaca e I o momento de inércia
da estaca.
Se as características da estaca ( EI ) se mantiver constante em profundidade e atendendo a que
q =- k ( x ) y , a equação (2) toma então a seguinte forma:
k(x) y
dx
EI d^ y =
4
4
A solução da equação anterior pode ser obtida, quer por via analítica, quer por via numérica.
Hetenyi (1946) desenvolveu as soluções analíticas para várias hipóteses de carregamento e de
condições de fronteira, mas somente para o caso particular de k constante em profundidade.
Para outras distribuições de k , torna-se difícil a resolução analítica da equação (3), pois a
solução apresenta-se sob a forma geral de uma série infinita, pelo que, é mais conveniente
adoptar a via numérica.
3 - Classificação das estacas quanto ao seu comportamento estrutural
As estacas são habitualmente divididas em três grupos consoante o seu comportamento
estrutural quando sujeitas às acções horizontais:
i) estacas flexíveis;
ii) estacas semi-flexíveis;
iii) estacas rígidas.
Esta classificação está relacionada, quer com a rigidez relativa entre a estaca e o solo
envolvente, quer com as condições de fronteira e de carregamento da estaca.
Considere-se, então, uma estaca caracterizada por uma rigidez à flexão constante EI e
embebida num meio homogéneo. A partir de uma determinada profundidade, a designada
profundidade crítica lc (nota: não confundir com o conceito de profundidade crítica, no que
respeita à mobilização da resistência de ponta), o aumento do comprimento da estaca não traz
nenhum benefício e não influi praticamente nos deslocamentos e nos esforços na zona da
estaca acima da profundidade crítica (Figura 2).
Figura 2 – Comportamento flexível das estacas
As soluções apresentadas referem-se a situações em que k =cte^ ou k = nhx e para as hipóteses de
carregamento seguintes:
hipótese 1) Estaca com cabeça livre. Força horizontal concentrada aplicada na cabeça;
hipótese 2) Estaca com cabeça livre. Momento concentrado aplicado na cabeça;
No sentido de estabelecer o domínio de validade das expressões analíticas apresentadas,
torna-se necessária a definição dos limites de comportamento flexível e rígido das estacas. Os
limites propostos na bibliografia nem sempre são concordantes, visto o critério considerado
pelos diferentes autores não ter sido o mesmo.
Tendo em consideração que, de um ponto de vista prático, o dimensionamento de uma estaca
solicitada horizontalmente, é condicionado, pelo deslocamento da sua cabeça ( yo ) e pelo
momento flector máximo ( Mmáx ), parece ajustado definir um critério baseado exactamente na
análise da variação daquelas duas grandezas ( yo e Mmáx ) em função do parâmetro 8 L (ou 0 L
para o caso de k = nhx ) (Santos e Gomes Correia, 1992).
A título exemplificativo, faz-se referência ao caso particular em que o módulo de reacção k é
constante em profundidade. Neste caso, a solução analítica exacta pode ser equacionada sob a
forma adimensional em função de três parâmetros: 8 (coeficiente de rigidez relativa
solo-estaca), L (comprimento da estaca) e k (módulo de reacção). A solução simplifica-se
substancialmente para os casos limites de comportamento flexível e rígido das estacas, porque
o número de parâmetros relevantes reduz-se de três para dois:
- comportamento flexível ( 8 L 64 ) - parâmetros relevantes: 8 , k
- comportamento semi-flexível - parâmetros relevantes: 8 , L , k
- comportamento rígido ( 8 L 6 0) - parâmetros relevantes: k , L
A Figura 3 referente ao caso particular de uma estaca com cabeça livre e sujeita a uma força
horizontal Vo , evidencia claramente os domínios de comportamento flexível ( 8 L $3) e rígido
( 8 L #1) da estaca: para 8 L $3 a solução deixa de depender do comprimento L , enquanto que
para 8 L #1 a solução não depende de k.
0
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4 5 6
Mmáx l Vo
yo k Vo l
yo^ k
l Mmáx Vo
l Vo
lL
estaca flexível
0
0
4
8
12
16
0 1 2 3 4 5 6
Mmáx V Lo
yo k L Vo
lL
Mmáx^ V Lo yo^
estaca k L Vo rígida
Figura 3 – Limites de comportamento flexível e rígido da estaca
Seguindo o mesmo tipo de análise, pode-se observar a variação do esforço máximo e do
deslocamento da cabeça da estaca em função da rigidez relativa estaca-solo para as situações
em que k =cte^ ou k = nhx e para as hipóteses de carregamento seguintes:
hipótese 1) Estaca com cabeça livre. Força horizontal concentrada aplicada na cabeça;
hipótese 2) Estaca com cabeça livre. Momento concentrado aplicado na cabeça;
hipótese 3) Estaca com rotação impedida na cabeça. Força horizontal concentrada aplicada
na cabeça.
A análise dos resultados permite, com base no critério adoptado, ou seja no deslocamento da
cabeça da estaca e do momento flector máximo, uniformizar os limites de comportamento
flexível e rígido das estacas. Santos e Gomes Correia (1992) estabeleceu, assim, o domínio
de validade das soluções analíticas (Quadro 1):
A título indicativo, apresentam-se algumas propostas no Quadro 2 seguinte:
Quadro 2 – Módulo de reacção
Solos arenosos:
módulo de reacção crescente em profundidade k = nhx
Terzaghi (1955)
Compacta 18000 11000
Média 6800 4500
Solta 2300 1300
Seca ou húmida Submersa
Compacidade da areia
nh (kN/m^3 )
Compacta 18000 11000
Média 6800 4500
Solta 2300 1300
Seca ou húmida Submersa
Compacidade da areia
nh (kN/m^3 )
Solos argilosos:
Argilas normalmente consolidadas
módulo de reacção crescente em profundidade k = nhx
Argila mole
nh = 160 a 3450 kN/m
3
, Reese e Matlock (1956)
nh = 270 a 540 kN/m
3
, Davisson e Prakash (1963)
Argila orgânica
nh = 110 a 270 kN/m^3 , Peck e Davisson (1962)
nh = 110 a 810 kN/m^3 , Davisson (1970)
Argilas sobreconsolidadas
módulo de reacção k constante em profundidade
k = 67cu , Davisson (1970)
Uma das hipóteses simplificativas, mais questionada no modelo de Winkler, é exactamente o
carácter descontínuo do meio. Torna-se assim interessante comparar os resultados obtidos a
partir do modelo de Winkler com os obtidos com base no modelo do meio elástico contínuo.
Essa comparação entre as duas soluções permitirá relacionar o módulo de reacção k com os
parâmetros elásticos Es e < s do solo. Essa metodologia permitiria ultrapassar uma das
dificuldades anteriormente apontadas, no que respeita à dependência do valor de k das
características da própria estaca. No entanto, a generalização deste tipo de correlações para
ter em conta situações mais complexas, tais como a estratificação do terreno, ou a não
linearidade do comportamento do solo pode oferecer algumas dificuldades.
Note ainda que, como as duas soluções não são exactamente iguais, a confrontação pode ser
feita para qualquer das grandezas intervenientes e para qualquer ponto da estaca, conduzindo
assim a uma infinidade de relações do tipo ( Es ,< s ) 6 k. Porém, é sempre possível seleccionar as
grandezas mais importantes, do ponto de vista de dimensionamento, e procurar a relação
( Es ,< s ) 6 k que conduza globalmente a um melhor ajustamento entre as duas soluções.
Foi nesta perspectiva que Vesic (1961) estabeleceu a comparação entre as duas soluções para
o caso de uma viga de comprimento infinito apoiada num meio isotrópico, elástico e contínuo.
A relação que mais aproxima as duas soluções, quer em termos de deslocamentos, quer em
termos de momentos flectores máximos, é segundo o autor dado por:
(^122)
4
s
s ee
s E
El
EB
k.
= × (5)
A aplicação da expressão anterior para o caso de uma estaca não é directa, pois implica a
consideração da influência do solo na parte de trás da estaca. De uma forma muito simplista,
poder-se-á considerar dois conjuntos de molas, um à frente e outro atrás da estaca e, portanto,
o valor de k a considerar seria aproximadamente igual a duas vezes o valor obtido pela
equação (5).
Essa extrapolação implica necessariamente uma certa aproximação, mas que deverá situar-se
do lado da segurança, uma vez que se está a desprezar o efeito das tensões de corte que se
desenvolvem ao longo da superfície lateral da estaca.
Em face do exposto, o ideal seria comparar as soluções respeitantes a estacas obtidas a partir
do modelo de Winkler e do modelo do meio elástico contínuo. Assim, Poulos (1980)
comparou as duas soluções, para o caso particular de estacas com rotação impedida na cabeça,
com comprimento igual a 25 vezes o diâmetro, embebidas num meio com < s =0.5. Igualando
os deslocamentos ao nível da cabeça da estaca para diferentes situações, Poulos obteve
k =0.82 Es. Aplicando essa relação, Poulos chegou à conclusão, quer para as estacas rígidas,
quer para as estacas flexíveis, que o modelo de Winkler conduz, em geral, a valores dos
deslocamentos e dos momentos flectores ligeiramente mais elevados e, portanto do lado da
segurança.
Seguindo a mesma metodologia, Santos (1993) confrontou a solução de Winkler com a
solução do meio elástico contínuo de Randolph (1981), para o caso de estacas flexíveis, tendo
concluído que a equação (5) afectada do factor multiplicativo de 2 conduz, em geral, a valores
de k do lado da segurança, ou seja, sobrestimando os deslocamentos e os esforços da estaca.
Em suma, a consideração do comportamento não linear, quer do solo, quer da estaca, só é
necessário nos casos em que a quantificação da rigidez transversal do sistema seja factor
determinante no dimensionamento estrutural, devido a danos consideráveis que possam ser
induzidos na superestrutura.
Nos casos correntes, o modelo de comportamento elástico e linear é geralmente suficiente
para efeitos de dimensionamento estrutural das estacas de fundação.
Referências bibliográficas
Davisson, M.T. (1970) – “Lateral load capacity of piles”. High. Res. Rec., no. 333, pp. 104-112.
Davisson, M.T. e Prakash, S. (1963) – “A review of soil-pile behavior”. High. Res. Rec., no. 39, pp. 25-48.
Gomes Correia, A. e Santos, J.A. (1994) – “Métodos de dimensionamento de uma estaca isolada sob acções horizontais”. Revista Geotecnia da Sociedade Portuguesa de Geotecnia, 71, pp. 51-64.
Hetenyi, M. (1946) – “Beams on elastic foundations”. Ann Arbor, Mich.: Univ. of Mich. Press.
Peck, R.B. e Davisson, M.T. (1962) – Discussion. Trans. ASCE, vol. 127, pt. 4: 413.
Poulos, H.G.; Davis, E.H. (1980) – “Pile foundation analysis and design”. John Wiley and Sons.
Randolph, M.F. (1981) – “The response of flexible piles to lateral loading”. Géotechnique 31, pp. 247-249.
Reese, L.C. e Matlock, H. (1956) – “Non-dimensional solutions for laterally loaded piles with soil modulus assumed proportional to depth”. Proc. 8th^ Texas Conf. SMFE, Special Publication 29, Bureau of Eng. Res., Univ. Texas, Austin.
Santos, J.A. (1993) – “Comportamento de estacas verticais sob acção de cargas horizontais estáticas”. Dissertação apresentada à Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa para obtenção do grau de Mestre em Mecânica dos Solos.
Santos, J.A. (1999) – “Caracterização de solos através de ensaios dinâmicos e cíclicos de torção. Aplicação ao estudo do comportamento de estacas sob acções horizontais estáticas e dinâmicas”. Dissertação submetida ao Instituto Superior Técnico da Universidade Técnica de Lisboa para obtenção do grau de Doutor em Engenharia Civil.
Santos, J.A. e Gomes Correia, A. (1992) – “Uniformização dos limites de comportamento flexível e rígido das estacas sob acção de cargas horizontais com vista ao respectivo dimensionamento”. III Encontro de Mecânica Computacional. Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra, Vol. 1, pp. G4.1- G4.14.
Terzaghi, K. (1955) – “Evaluation of coefficients of subgrade reaction. Géotechnique, vol. 5, no. 4, pp. 297-326.
Timoshenko, S.P. (1951) – “Theory of elasticity”. McGraw-Hill.
Vesic, A. (1961) – “Bending of beam resting on isotropic elastic solid”. JEMD, ASCE, vol. 87, pp. 35-53.
Obras Geotécnicas Fundações por Estacas - Acções Horizontais
4 k
4 EpIp
5 n
h
EpIp
Estaca isolada em meio de Winkler sujeita à carga transversal Vo e ao momento Mo à cabeça
a) terreno homogéneo com módulo de reacção constante (k=cte) - a solução vem expressa
em função do parâmetro de rigidez relativa λ definido por:
b) terreno com módulo de reacção crescendo linearmente em profundidade (k=nh·x) - a
solução vem expressa em função do parâmetro de rigidez relativa η dado por:
Simbologia utilizada nas expressões:
Ep - módulo de elasticidade da estaca
Ip - momento de inércia da estaca
x - profundidade
y - deslocamento transversal
L - comprimento
x' - L-x
θ - rotação
V - esforço transverso
M - momento flector
Obras Geotécnicas Fundações por Estacas - Acções Horizontais
y '
2Vo λ k
(e &λx^ cos λx) (^) (3)
θ ' &
2Vo λ^2 k
e &λx^ (cos λx % sen λx) (4)
M '
Vo λ
(e &λx^ sen λx) Mmáx(x ' 0. λ
Vo λ
V ' Vo e &λx^ (cos λx & sen λx) (^) (6)
y '
2Vo λ k
KyV KyV ' senh^ λL cos^ λx cosh^ λx^
) (^) & sen λL cosh λx cos λx ) senh 2 λL & sen 2 λL
θ ' &
2Vo λ^2 k
KθV (8)
KθV ' senh^ λL(sen^ λx cosh^ λx^
) (^) % cos λx senh λx ))%sen λL(senh λx cos λx ) (^) % cosh λx sen λx )) senh 2 λL & sen 2 λL
M '
Vo λ
KMV KMV ' senh^ λL sen^ λx senh^ λx^
) (^) & sen λL senh λx sen λx ) senh 2 λL & sen 2 λL
V ' Vo KVV (11)
KVV ' senh^ λL(cos^ λx senh^ λx^
) (^) & sen λx cosh λx ))&sen λL(cosh λx sen λx ) (^) & senh λx cos λx )) senh 2 λL & sen 2 λL
y '
2Vo L k
(2& 3 x L
θ ' &
6Vo L 2 k
M ' Vo L [ x L
& 2( x L
)^2 % ( x L
)^3 ] Mmáx(x ' L 3
Vo L (^) (15)
V ' Vo [1 & 4( x L
) % 3( x L
)^2 ] (16)
Estaca com cabeça livre, força horizontal aplicada na cabeça. k=cte
a) Estacas flexíveis ( λ L>3.0)
b) Estacas semi-flexíveis (1.0< λ L<3.0)
c) Estacas rígidas ( λ L<1.0)
Obras Geotécnicas Fundações por Estacas - Acções Horizontais
y '
Vo η^2 nh
AyV (30)
θ '
Vo η^3 nh
AθV (31)
M '
Vo η
AMV (32)
V ' Vo AVV (33)
AyV (x'0)' 2.44 AθV (x'0) '&1.62 Mmáx (x' 1. η
0.77 Vo η
AyV ' 2.44 S 1 & 1.62 S 2 % S 4 AθV '
d AyV d x
AMV '
d 2 AyV d 2 x
AVV '
d 3 AyV d 3 x
S 1 ' 1 & (ηx)
5 5!
% 6(ηx)
10 10!
& 6 @^ 11(ηx)
15 15!
S 2 ' ηx& 2(ηx)
6 6!
% 2 @^ 7(ηx)
11 11!
& 2 @^7 @^ 12(ηx)
16 16!
S 4 ' (ηx)
3 3!
& 4(ηx)
8 8!
% 4 @^ 9(ηx)
13 13!
& 4 @^9 @^ 14(ηx)
18 18!
y '
Vo L 2 nh
(18& 24 x L
θ ' &
24Vo L 3 nh
M ' Vo L [ x L
& 3( x L
)^3 % 2( x L
)^4 ] Mmáx (x'0.42 L) ' 0.26 Vo L (^) (41)
V ' Vo [1 & 9( x L
)^2 % 8( x L
)^3 ] (42)
Estaca com cabeça livre, força horizontal aplicada na cabeça. k=nh·x
a) Estacas flexíveis ( η L>4.0) e estacas semi-flexíveis (1.5< η L<4.0)
Para as estacas flexíveis
b) Estacas rígidas ( η L<1.5)
Obras Geotécnicas Fundações por Estacas - Acções Horizontais
y '
Mo η^3 nh
AyM (43)
θ '
Mo η^4 nh
AθM (44)
M ' Mo AMM (45)
V ' Mo η AVM (46)
AyM (x'0) ' 1.62 AθM (x'0) ' &1.75 (^) (47)
AyM ' 1.62 S 1 & 1.75 S 2 % S 3 AθM '
d AyM d x
AMM '
d 2 AyM d 2 x
AVM '
d 3 AyM d 3 x
S 1 ' 1 & (ηx)
5 5!
% 6(ηx)
10 10!
& 6 @^ 11(ηx)
15 15!
S 2 ' ηx& 2(ηx)
6 6!
% 2 @^ 7(ηx)
11 11!
& 2 @^7 @^ 12(ηx)
16 16!
S 3 ' (ηx)
2
& 3(ηx)
7
% 3 @^ 8(ηx)
12
& 3 @^8 @^ 13(ηx)
17
y '
Mo L 3 nh
(24& 36 x L
θ ' &
36Mo L 4 nh
M ' Mo [1 & 4( x L
)^3 % 3( x L
)^4 ] (54)
V '
Mo L
[&12( x L
)^2 % 12( x L