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PARTE II
EQUILÍBRIO DA PARTÍCULA E DO CORPO RÍGIDO
Neste capítulo inicialmente tratamos do equilíbrio de partículas. Em seguida são apresentadas as definições dos centros de gravidade, centros de massa e centróides - centros geométricos - dos corpos rígidos. São definidas as condições gerais de equilíbrio para os corpos rígidos, isto é, corpos para os quais as deformações são desprezadas. As equações gerais de equilíbrio para sistemas planos de forças e sistemas espaciais de forças são apresentadas. Ao final é feita uma análise dos modelos de vínculos mais comuns aplicados aos corpos rígidos.
2.1 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO PARA PARTÍCULAS
Nas aplicações em projetos é comum ao engenheiro usar modelos simples quando os resultados assim obtidos são adequados em termos de aproximação aos valores reais de casos analisados. Muitas vezes corpos rígidos são substituídos por partículas como simplificação. Definimos como partícula um corpo rígido cujas dimensões podem ser desprezadas. Podemos aplicar também as regras do equilíbrio de partículas para corpos nos quais todas as forças a ele aplicadas são concorrentes num único ponto. Dadas várias forças aplicadas a uma partícula, ver Figura 2.1, qual ou quais são as condições para ocorrer o equilíbrio? Vamos definir o equilíbrio através da primeira lei de Newton: se a resultante de todas as forças que atuam numa partícula for nula, então a sua velocidade é constante, ou seja
R (^) F 0 v c
n i 1 i
(constante) (2.1)
Figura 2.1 - Forças aplicadas numa partícula A.
Muitas vezes diz-se que o equilíbrio estático ocorre quando a velocidade é nula. Mas, para maior precisão de linguagem é melhor identificar o caso de velocidade nula como condição de repouso e equilíbrio estático como qualquer condição de força resultante nula. Consideremos a segunda lei de Newton para partículas:
R F m a
n i 1 i^
(^)
Se a força resultante R for nula, então,
R 0 a 0^ (2.3)
e a velocidade é constante. Assim a condição dada em (2.1) é necessária e t ambém suficiente para ocorrer o equilíbrio.
2.2 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
Para a correta solução dos problemas de estática é sempre necessário esboçar o diagrama de corpo livre. No caso das partículas é um diagrama simples: resume-me no esboço de todas as forças aplicadas na partícula (conhecidas ou incógnitas) com suas direções, ou através de suas componentes. Veja o exemplo apresentado na Figura 2.2.
A
F 2
F 3
F 4
F 1
2.3 SISTEMAS DE FORÇAS COPLANARES
Quando todas as forças aplicadas a uma partícula estão num mesmo plano dizemos que estas forças são coplanares. Se utilizarmos o plano xy como o plano destas forças, podemos decompô-las nas duas coordenadas x e y. Neste caso a aplicação da condição de equilíbrio (2.1) nos conduz a
R F 0 i j 0
x^ y
n i 1 i^
F F (2.5)
ou, a um sistema de duas equações escalares dadas por
F 0
F 0
y
x
2.4 SISTEMAS DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS
Quando não é possível colocar todas as forças aplicadas a uma partícula num único plano, dizemos que o sistema formado por estas forças é tridimensional. Neste caso devemos decompor todas estas forças aplicadas nas coordenadas cartesianas xyz. A aplicação da condição de equilíbrio (2.1) nos conduz a
R F 0 i j k 0
x y^ z
n i 1 i^
F F F (2.7)
ou a um sistema de três equações escalares
F 0
F 0
F 0
z
y
x
2.5 CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE MASSA E CENTRÓIDE
Vamos definir as propriedades de determinados pontos particulares de um corpo rígido. Centro de Gravidade é definido como o ponto na qual o sistema equivalente de forças distribuídas de um corpo, devido à ação da gravidade, se resume a uma força, denominada força-peso W ou simplesmente peso do corpo. Da definição de sistema equivalente obtemos as seguintes relações:
W m d W m g dm (2.9)
Considerando que o vetor aceleração da gravidade g não varia ao longo de toda a massa do corpo rígido, temos que
W m g onde m
m dm (2.10)
Podemos determinar as coordenadas da posição do centro de gravidade xG , yG e zG usando as propriedades de sistemas equivalentes através de
G m m
G m m
G m m
z zd z dm
y yd y dm
x xd x dm
W W g
W W g
W W g (2.11)
As coordenadas da posição do centro de massa xC , yC e zC são definidas por
C m
C m
C m
z m z dm
y m ydm
x m xdm (2.12)
Observe-se que se considerarmos a aceleração da gravidade g constante para todos os pontos do corpo rígido, então o centro de massa coincide com o centro de gravidade e assim será tratado em todo este texto.
Seja uma linha l de comprimento L , cujo centróide está na posição rC , conforme indicado na figura 2.4. O elemento de área de superfície dS gerado pela
rotação completa do elemento da linha dl é igual a dS 2 rdl. Portanto, a área da
superfície S gerada pela rotação completa da linha é dada por
S 2 L rdl (2.16)
Aplicando em (2.16) a propriedade de centróide de linha, obtemos:
S 2 rCL Teorema I de Pappus e Guldinus (2.17)
Figura 2.5 - Teorema II de Pappus e Guldinus.
Seja a área A entre a linha l e o eixo z , e o centróide desta área na posição rC , conforme indicado na figura 2.5. O elemento de volume dV gerado pela rotação
completa do elemento de área da é igual a dV 2 rda. Portanto, o volume V
gerado pela rotação completa desta área é dado por
V 2 A rda (2.18)
Aplicando em (2.18) a propriedade de centróide de área, obtemos:
V 2 rCA Teorema II de Pappus e Guldinus (2.19)
z
r
da^ C rC
l A
2.6 EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO
Seja um corpo rígido C , conforme mostra a figura 2.6, sobre o qual atuam várias forças externas em diferentes pontos. Vamos identificar a força externa resultante que atua na partícula Pi como F i e a força interna que a partícula j faz sobre i como f ij , conforme mostra a figura 2.6. Agora vamos escrever a equação de equilíbrio desta partícula do corpo rígido da seguinte forma
i (^) j ji F (^) f (2.20)
Se somarmos as equações de equilíbrio aplicadas a todas as partículas deste corpo rígido, obteremos
i i^ i j ji F ^ f ^ (2.21)
Figura 2.6 - Forças numa partícula Pi de um corpo rígido C.
Se tomarmos os momentos de todas as forças que atuam na partícula Pi em relação a um ponto qualquer O , teremos como conseqüência de (2.20)
O i i j i ji M r F r f (2.22)
Vamos somar esta equação aplicada a todos os pontos do corpo rígido,
i O^ i i i i j i ji M ^ r F r f ^ (2.23)
x y
r i^ Pi C
f ji
F i
O
z
Portanto, nos problemas de sistemas de forças espaciais podemos ter até seis equações escalares de equilíbrio, linearmente independentes. Se tivermos algumas condições particulares, como por exemplo, um sistema espacial onde todas as forças são concorrentes, temos apenas as três equações (2.26) como condição de equilíbrio. Outro caso particular é de um sistema espacial onde todas as forças são paralelas. Neste caso temos apenas três equações para o equilíbrio, sendo uma das equações (2.26) e duas das (2.27).
Para sistemas nos quais todas as forças estão num plano, por exemplo, o plano xy , as equações (2.26) e (2.27) ficam reduzidas à:
F 0
F 0
y
x
(2.28)
e
M^ z ^0^ (2.29)
Observe-se que neste caso, as forças correspondentes a binários aplicados devem estar no mesmo plano das forças, pois de outra forma o sistema de forças não seria plano.
2.7 MODELOS DE VÍNCULOS ENTRE CORPOS RÍGIDOS
Corpos rígidos estão em geral presos a outros corpos através de determinados vínculos reais. Para os cálculos de engenharia, são criados alguns modelos que procuram representar de forma próxima os vínculos reais.
Os modelos de vínculos introduzem restrições a movimentos, representadas por forças e momentos de binários correspondentes à atuação dos vínculos sobre o corpo rígido em análise. Assim, ao fazermos o diagrama do corpo livre de um corpo rígido devemos colocar todas as forças externas aplicadas, que podemos dividir em dois tipos: carregamentos, incluindo o peso próprio, e as ações dos vínculos, muitas vezes denominadas reações de apoio.
Com relação à vinculação de um corpo rígido podemos considerá -la sobre várias condições:
(i) vinculação incompleta que não impede completamente o movimento do corpo rígido, permitindo o movimento em algumas direções se houver ação nestas direções, e que o equilíbrio só pode ocorrer em condições particulares de carregamento. Estes casos são chamados às vezes de hipostáticos.
(ii) vinculação completa que introduz um conjunto mínimo de forças ou momentos de binários necessários para que ocorra equilíbrio com quaisquer carregamentos. Nestes casos qualquer movimento do corpo rígido é impedido e as equações de equilíbrio da estática dos corpos rígidos são suficientes para a determinação das condições de equilíbrio. Estes casos são chamados de isostáticos.
(iii) vinculação completa que introduz um conjunto maior que o mínimo de forças ou momentos de binários necessários para que ocorra equilíbrio com quaisquer carregamentos. Diz-se também que há vínculos redundantes. Nestes casos, assim como no anterior, qualquer movimento do corpo rígido é impedido. Entretanto aqui as equações de equilíbrio da estática dos corpos rígidos não são suficientes para a determinação das condições de equilíbrio. Há necessidade de equações adicionais para determinação completa dos esforços de equilíbrio. Em geral estas equações adicionais correspondem às condições de compatibilidade de deformações, assunto que é tratado na Mecânica dos Sólidos Deformáveis. Estes casos são chamados de hiperestáticos. A questão de vínculos de um corpo rígido está ligada diretamente ao conceito de graus de liberdade. Definimos graus de liberdade ao número mínimo de coordenadas independentes necessário para descrever o movimento de um corpo rígido. Corpos rígidos têm no máximo 3 graus de liberdade nos movimentos planos e 6 graus de liberdade nos movimentos espaciais. Os vínculos são introduzidos para limitar os movimentos. Naqueles elementos que o projeto requer que não ocorra movimento, como nas aplicações da estática, os vínculos devem ser escolhidos para impedir qualquer tipo de movimento.
2.7.1 Estruturas submetidas a esforços contidos num plano
Nas estruturas submetidas a um conjunto de esforços, todos num único plano, podemos ter vínculos que tenham de 0 a 3 graus de liberdade.
Modelos de vínculos com 1 grau de liberdade são usualmente chamados de articulações , que correspondem a pinos lisos em ligações. Alguns tipos de dobradiças , guias e mancais de encosto (combinação de mancal radial e mancal axial) também possuem apenas 1 grau de liberdade. Estes tipos de vínculos introduzem esforços que impedem deslocamentos lineares, mas não impedem deslocamentos angulares. Há ainda o caso de mancal com eixo de seção retangular, que permite apenas movimentos de translação numa direção. Modelos de vínculos com 2 graus de liberdade usualmente correspondem aos mancais radiais , considerando que impedem flexões nos eixos. Estes tipos de vínculos permitem apenas deslocamentos lineares e angulares em relação à direção longitudinal. Modelos de vínculos com 3 graus de liberdade usualmente correspondem às juntas esféricas. Podem também corresponder a mancais de encosto , quando se desprezam os momentos de vínculos introduzidos por este tipo de apoio. Assim são impedidos deslocamentos lineares em qualquer direção, deixando livres os deslocamentos angulares. Este tipo de vínculo introduz no diagrama do corpo livre uma força de direção desconhecida, ou o que é mais usual, suas 3 componentes ortogonais. Modelos de vínculos com 4 graus de liberdade usualmente correspondem aos mancais radiais , considerando que não impedem flexões nos eixos. Estes tipos de vínculos impedem apenas deslocamentos lineares nas direções radiais. Modelos de vínculos com 5 graus de liberdade usualmente correspondem aos apoios simples em superfícies lisas. Introduz no diagrama do corp o livre uma força de vínculo da direção normal às superfícies em contato. Uma ligação através de cabos também corresponde a um vínculo com 5 graus de liberdade. Portanto, impõe restrição apenas a deslocamentos na direção deste tipo de vinculação. Posições da estrutura onde não há ligação a outros corpos têm 6 graus de liberdade com relação a movimentos espaciais. De fato, neste caso não há vínculo introduzido na estrutura.
a) 0 GL = 3 vínculos : engastamento.
b) 1 GL = 2 vínculos : união por pino liso, articulação, engastamento móvel e guia.
c) 2 GL = 1 vínculo : apoio simples, articulação móvel, colar e guia.
Figura 2.7 - Vínculos de estruturas com sistema plano de forças.
θ
F
Mz
θ
F F x F y
Mz
F x F y
Fx
Mz
Fy
Mz
Fn
Fn
Fn
d) 3 GL = 3 vínculos: junta esférica ou rótula.
e) 4 GL = 2 vínculos : mancal radial que permite rotação.
f) 5 GL = 1 vínculo: apoio simples, apoio através de rolete, fio ou cabo.
Figura 2.9 - Vínculos de estruturas com sistema espacial de forças.
F x F y
F z
F
F n
F z
F x
