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Curso de Análise Matricial de Estruturas 1
II – MATRIZES DE RIGIDEZ E FLEXIBILIDADE
II.1- Relação entre ações e deslocamentos
II.1.1 – Equação da força em termos do deslocamento
F= k ⋅ u
Onde a rigidez da mola (k) é a força por unidade de deslocamento, ou seja, é a força
requerida para produzir um deslocamento unitário na mola.
II.1.2 – Equação do deslocamento em termos da força:
u = δ ⋅ F
Onde δ é a deformabilidade da mola, geralmente chamada de flexibilidade, sendo o
deslocamento por unidade de força, ou seja, é o deslocamento produzido pela aplicação de uma
força de valor unitário.
2 Notas de Aula - Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho
II.2 – Definições
- kij ≡≡≡≡ Coeficiente de rigidez:
Representa a ação (força) na direção i causado por um deslocamento unitário na direção j
(enquanto todos os outros deslocamentos são impostos como nulos).
- fij ≡≡≡≡ Coeficiente de flexibilidade:
Representa o deslocamento na direção i causado por uma ação (força) de valor unitário na
direção j (enquanto todas as outras são nulas).
II.3 – Equações de Equilíbrio
II.3.1 – Força em função de deslocamentos
Fig II.1 (^) – Coeficientes de rigidez em estrutura composta de 2 hastes com solicitação axial: (a) - Sistema de coordenadas globais (1 e 2); (b) e (c) - Coeficientes de rigidez.
O que eu conheço?
⇒ ações (R 1 e R 2 )
⇒ forças por unidade de deslocamento
≡ coeficientes de rigidez (k 11 , k 12 , k 21 , k 22 )
⇒ obtidos previamente. O que eu quero?
⇒ deslocamentos (r 1 e r 2 )
4 Notas de Aula - Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho
O que eu conheço?
⇒ ações (R 1 e R 2 )
⇒ deslocamentos por unidade de força ≡
≡ coeficientes de flexibilidade (f 11 , f 12 , f 21 , f 22 )
⇒ obtidos previamente. O que eu quero?
⇒ deslocamentos (r 1 e r 2 )
Pelo princípio da superposição (regime elástico-linear), o deslocamento final na
coordenada 1 será igual à soma dos deslocamentos ocorridos pela aplicação de cada uma das
ações externas, ou seja:
r 1 =f 11 ⋅R 1 +f 12 ⋅R 2
Da mesma forma para a coordenada 2, obtém-se:
r 2 =f 21 ⋅R 1 +f 22 ⋅R 2
Reunindo as equações sob forma matricial, obtém-se ainda:
2
1 21 22
11 12 2
1 R
R
f f
f f r
r ⇒ { }r =[ ]{ }F R
onde { }R é o vetor das ações externas (solicitações);
{ }r é o vetor dos deslocamentos;
[ ]F é MATRIZ DE FLEXIBILIDADE da estrutura em estudo, de dimensões (2x2),
correspondente ao número de coordenadas utilizadas.
II.3.3 – Observações
- As matrizes [ ]K e [ ]F estão vinculadas a um determinado sistema de coordenadas;
- Só cabem no regime elástico e linear (na forma como aqui foram apresentadas);
- Cada uma dessas matrizes é a inversa da outra:
{ }r = [ ]{ }F R; { }R = [ ]{ }K r ;
⇒ { }r = [ ][ ]{ }F K r ⇒ [ ][ ]F K = I ⇒ [ ]F =[ ]K-
- No futuro será visto que nem sempre elas são inversíveis.
Curso de Análise Matricial de Estruturas 5
II.4 – Montagem das Matrizes de Flexibilidade e Rigidez pelo P.T.V.
II.4.1 – Exemplo da estrutura composta de 2 hastes com solicitação axial
Fig II.3 –Estrutura composta de 2 hastes com solicitação axial: (a) - Sistema de coordenadas globais (1 e 2); (b) e (c) – Coeficientes de rigidez; (d) e (e) – Coeficientes de flexibilidade.
II.4.1.1 – Matriz de Flexibilidade
Da resistência dos materiais, obtém-se as relações da haste com solicitação normal:
F
EA
L
u u L
EA
F
L
u
A
F
E
^ ⋅
ε=
σ=
σ= ε
Curso de Análise Matricial de Estruturas 7
A matriz de rigidez pode ainda ser obtida através da conceituação de seus coeficientes, e
das relações existentes na haste submetida à carregamentos axiais.
k 11 - é a força na coordenada 1 decorrente da imposição de um deslocamento unitário também na coordenada 1, mantendo-se as demais coordenadas restringidas.
2
2 2 1
1 1 11 2
1 L
EA
L
EA
k F r 0
r 1
k 21 - é a força na coordenada 2 decorrente da imposição de um deslocamento unitário na coordenada 1, mantendo-se as demais coordenadas restringidas.
2
2 2 21 2
1 L
E A
k r 0
r 1
k 12 - é a força na coordenada 1 decorrente da imposição de um deslocamento
unitário na coordenada 2, mantendo-se as demais coordenadas restringidas.
2
2 2 12 2
1 L
E A
k r 1
r 0
k 22 - é a força na coordenada 2 decorrente da imposição de um deslocamento unitário na coordenada 2, mantendo-se as demais coordenadas restringidas.
2
2 2 12 2
1 L
EA
k r 1
r 0
Obtendo-se por fim a mesma matriz de rigidez:
[ ]
2
2 2 2
2 2
2
2 2 2
2 2 1
1 1
L
E A
L
E A
L
E A
L
E A
L
EA
K
8 Notas de Aula - Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho
II.4.2 – Exemplo da estrutura engastada e livre
II.4.2.1 – Revisão do Princípio dos Trabalhos Virtuais
P.T.V.⇒ ”O trabalho virtual das forças externas é igual ao trabalho virtual das forças internas, para todos os deslocamentos virtuais arbitrários impostos.”
W ext = P⋅ δ, W int = ∫L M⋅dϕ,
Pela resistência dos materiais, tem-se que ds EJ
M
d ϕ =. Logo:
Wext = Wint ⇒ ⋅δ=∫ ⋅ ⋅
L
ds EJ
M
P M
(expressão instituída por Mohr para estruturas submetidas à flexão somente)
P ≡carga externa virtual
M ≡esforço de momento interno (virtual)
δ ≡deslocamento real (a calcular)
dϕ ≡deslocamento angular conhecido (real)
10 Notas de Aula - Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho
Já o estado de deformação (real) fornece os esforços decorrentes da aplicação do
conjunto de ações externas (reais). Por Hipótese, as ações externas para obtenção de f (^11)
são: R 1
R 0
2
1
⇒ M ( ) s =s ,sde 0 atéL
3 EJ
L
3 EJ
s ds EJ
s 1 s
L 3
0
L 3
0
=^ −
De forma análoga, o coeficiente f 21 pode ser obtido pelo P.T.V. como sendo o
deslocamento (real) da extremidade da viga segundo a coordenada 2 decorrente da introdução de
uma força unitária (real) segundo a coordenada 1. A partir de uma força virtual (também unitária)
aplicada no nó da extremidade segundo a coordenada 2, obtém-se o seguinte estado de
carregamento (virtual):
⇒ M^ ( ) s^ = 1 ,sde 0 atéL
O estado de deformação relativo ao coeficiente f 21 é obtido pelas aplicação das ações
externas (reais) R 1
R 0
2
1
, relacionando o deslocamento (que se quer conhecer) do topo da viga
segundo a coordenada 2 às deformações correspondentes ao longo de toda estrutura (obtíveis
pelo DMF e Res. Mat.):
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⇒ M ( ) s =s ,sde 0 atéL
2 EJ
L
2 EJ
s ds EJ
s 1 1
L 2
0
L 2
0
=^ −
Da mesma forma, para os deslocamentos f 12 e f 22 obtém-se:
R 1
R 0
2
Desta forma, pode-se calcular os deslocamentos pelo P.T.V.:
1 ⋅ f 12 = × (^) = 2 EJ
L^2
⋅^ −
EJ
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A matriz de Flexibilidade da estrutura em estudo é portanto:
[ ] (^)
3 L 6
2 L 3 L
6 EJ
L
EJ
L
2 EJ
L
2 EJ
L
3 EJ
L
F
2 2
3 2
As unidades dos coeficientes da matriz de flexibilidade são:
[ ]
m kN
rad kN
rad
m kN
m kN
m
unF
II.4.2.3 – Matriz de Rigidez
A matriz de Rigidez pode ser obtida pela inversão da matriz de flexibilidade:
[ ] (^22)
4 2 2
4 2 2
4
12 EJ
L
4 E J
L
3 EJ
L
⇒det F = − =
[ ]
3 EJ
L
2 EJ
L
2 EJ
L
EJ
L
cof F 2 3
2
[ ] [ ]
t
2 3
2
3 EJ
L
2 EJ
L
2 EJ
L
EJ
L
detF
K
[ ]
L
4 EJ
L
6 EJ
L
6 EJ
L
12 EJ
K
2
3 2 [ ]
L
L
L
L
EJ
K
2
II.4.2.4 – Aplicações
- A partir de ações externas conhecidas { }
3 m kN
2 kN P , quais os deslocamentos na
extremidade da viga?
EJ
L
EJ
L
2 EJ
3 L
3 EJ
2 L
EJ
L
2 EJ
L
2 EJ
L
3 EJ
L
r
r 2
3 2
2
3 2
2
1
- A partir de deslocamentos impostos { }
0,002rad
0,01Lm r , quais os esforços na extremidade
da viga?
L
0 , 052 EJ
L
0 , 108 EJ
0 , 01 L
L
4 EJ
L
6 EJ
L
6 EJ
L
12 EJ
P
P 2
2
3 2
2
1
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II.5 – Teoremas da reciprocidade de Betti-Maxwell
Teorema de Betti
“O trabalho produzido por um sistema de forças em equilíbrio quando se desloca devido às
deformações produzidas por um outro sistema de forças em equilíbrio, é igual ao trabalho
produzido por este segundo sistema de forças quando se desloca devido às deformações
produzidas pelo primeiro sistema”.
Teorema de Maxwell
- “O deslocamento segundo i , causado por Rj =1, é igual ao deslocamento segundo j ,
causado por Ri =1” ( fij=fji ).
- Implicando em: “A grandeza mecânica a aplicar segundo i , para manter a configuração deformada com r (^) j =1, é igual à grandeza mecânica aplicada Rj , para manter a configuração
deformada com r^ i =1” ( kij=k^ ji ).
⇒⇒⇒⇒ As matrizes de Rigidez e Flexibilidade são sempre simétricas.
