Estatística, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

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3 Probabilidade

Estatística Aplicada

Larson Faber

Previsão do tempo

Jogos

Esportes

Negócios

Medicina

Seção 3. Conceitos básicos de probabilidade

Experimento probabilístico: Ação por meio da

qual se obtém contagens, medições ou respostas.

Espaço amostral: O conjunto de todos os

possíveis resultados.

Evento: Subconjunto do espaço amostral.

Resultado: O resultado de uma única tentativa.

Escolher um carro da linha de produção.

Outro experimento

Clássica (resultados igualmente prováveis)

A probabilidade de que a pressão

sangüínea abaixe após a medicação.

A probabilidade de que a linha telefônica esteja ocupada.

Empírica

Subjetiva

Tipos de probabilidade

número de resultados em E número total de resultados no espaço amostral Freqüência no evento E Freqüência total

P ( E )

P ( E )

Detemine a probabilidade de que a soma seja 4.

Determine a probabilidade de que a soma seja 11. Determine a probabilidade de que a soma seja 4 ou 11. Dois dados são jogados e sua soma é anotada.

• 1 ,
• 1 ,
• 1 ,
• 1 ,
• 1 ,
• 1,
  • 2,
  • 2,
  • 2,
  • 2,
  • 2,
  • 2,
    • 3 ,
    • 3 ,
    • 3 ,
    • 3 ,
    • 3 ,
    • 3,
      • 4 ,
      • 4 ,
      • 4 ,
      • 4 ,
      • 4 ,
      • 4,
        • 5 ,
        • 5 ,
        • 5 ,
        • 5 ,
        • 5 ,
        • 5, - 6 , - 6 , - 6 , - 6 , - 6 , - 6, - 3/36 = 1/12 = 0, Espaço amostral e probabilidades
          • 2/36 = 1/18 = 0, - 5/36 = 0,

Eventos complementares

O complemento do evento E é o evento E´.

E ´ consiste em todos os resultados do espaço

amostral que não estejam incluídos no evento E.

A produção diária é de 12 carros, 5 dos quais são

defeituosos. Se um carro for selecionado ao acaso,

determine a probabilidade de que ele não seja defeituoso.

E E´

Solução:

P (defeituoso) = 5/ P (não defeituoso) = 1 – 5/12 = 7/12 = 0,

P ( E´ ) = 1 – P ( E )

A probabilidade de um evento B ocorrer, dado (ou na

condição de) que outro evento A já ocorreu.

Dois carros são selecionados em uma linha de produção

com 12 carros, 5 deles defeituosos. Qual é a

probabilidade de o segundo carro ser defeituoso, dado

que o primeiro carro era defeituoso?

Escrevemos essa situação como P ( B | A ) e lemos “a

probabilidade de B , dado A ”.

Dado que um carro defeituoso já foi selecionado, o espaço

amostral condicional possui 4 carros defeituosos entre 11.

Logo, P ( B | A ) = 4/11.

Probabilidade condicional

Dois dados são lançados. Determine a probabilidade

de sair 4 no segundo, dado que no primeiro já saiu 4.

Espaço amostral original: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Dado que no primeiro dado saiu 4, o espaço amostral

condicional é: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Logo, a probabilidade condicional, P ( B | A ) = 1/

Eventos independentes

Se os eventos A e B são independentes, P ( B | A ) = P ( B ) Entre os 12 carros de uma linha de produção, 5 têm defeito e 2 são selecionados ao acaso. A = o primeiro carro é defeituoso. B = o segundo carro é defeituoso. A probabilidade de o segundo carro ser defeituoso depende de o primeiro ter ou não defeito. Os eventos são dependentes. Dois dados são lançados. A = sair 4 no primeiro e B = sair 4 no segundo. P ( B ) = 1/6 e P ( B | A ) = 1/6. Os eventos são independentes.

Eventos independentes

Probabilidade

condicional

Probabilidade

Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se

eles gostavam de um novo suco. Os resultados estão a

seguir.

1. P (sim)

2. P (Seattle)

3. P (Miami)

4. P (não, dado Miami)

Omaha Seattle Miami Total

Sim 100 150 150 400

Não 125 130 95 350

Não sabe 75 170 5 250

Total 300 450 250 1.

Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine:

Tabela de contingência

Para determinar a probabilidade de que dois eventos, A e

B , ocorram em seqüência, multiplique a probabilidade de A

ocorrer pela probabilidade condicional de B ocorrer, dado

que A já ocorreu.

P ( A e B ) = P ( A ) x P ( B | A )

Dois carros são selecionados em uma linha de produção

com 12 unidades, 5 delas defeituosas. Determine a

probabilidade de ambos os carros serem defeituosos.

A = o 1

o

carro é defeituoso. B = o 2

o

carro é defeituoso.

P ( A ) = 5/12 P ( B | A ) = 4/

P ( A e B ) = 5/12 x 4/11 = 5/33 = 0,

Regra da Multiplicação

Dois dados são lançados. Determine a probabilidade de sair 4 em ambos. A = sair 4 no primeiro dado e B = sair 4 no segundo dado. P ( A ) = 1/6 P ( B | A ) = 1/ P ( A e B ) = 1/6 x 1/6 = 1/36 = 0, Quando dois eventos A e B são independentes, P ( A e B ) = P ( A ) x P ( B ) Observe que para eventos independentes P ( B ) e P ( B | A ) são as mesmas.

Regra da Multiplicação

Compare “ A e B ” a “ A ou B ” O evento composto “ A e B ” significa que tanto A quanto B ocorreram na mesma tentativa. Para definir P ( A e B ), usa-se a Regra da Multiplicação. O evento composto “ A ou B ” significa que A pode ocorrer sem B , assim como B pode ocorrer sem A, ou ainda tanto A quanto B podem ocorrer. Para definir P ( A ou B ), usa-se a Regra da Adição. A B A ou B A e B

A B

Eventos mutuamente exclusivos Dois eventos, A e B , serão mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer na mesma tentativa. A = ter menos de 21 anos. B = estar concorrendo ao Senado dos Estados Unidos. A = ter nascido na Filadélfia. B = ter nascido em Houston. A B Exclusão mútua P ( A e B ) = 0 Se o evento A ocorre, isso exclui o evento B da tentativa.