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CURSO: ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
- Objetivo da Estatística É o ramo da Matemática que, através de metodologia científica, preocupa-se, a partir da coleta de dados reais, em analisar, organizar e simplificar fenômenos orientando- nos da melhor forma possível na tomada de decisões. Por exemplo, a partir dos dados relativos ao aumento de população dos últimos 10 anos, é possível prever o aumento que poderá ocorrer nos próximos 10 anos.
Em outras palavras: Estatística pode ser pensada como a ciência de aprendizagem a partir de dados. Preocupa-se com a coleta, organização, descrição, análise e interpretação dos dados, a fim de extrair informações a respeito de uma população. Estatística fornece métodos que auxiliam o processo de tomada de decisão através da análise dos dados que possuímos.
Dentro dessa idéia, podemos considerar a Ciência Estatística como dividida basicamente em duas partes: 1.1 Estatística Descritiva – Preocupa-se com a coleta, organização, descrição e representação dos dados experimentais. O seu objectivo é informar, prevenir, esclarecer.
1.2 Estatística Inferencial – É a parte mais importante da Estatística que, a partir da observação de alguns dados experimentais, realiza a análise e interpretação dos mesmos com o objetivo de generalizar e prever resultados (a partir de uma amostra da população, permite estender os resultados à população inteira), utilizando-se para isto da Teoria das Probabilidades. É o ramo da Estatística que cuida da análise e interpretação.
2. Definições e Noções Básicas Fundamentais:
2.1. POPULAÇÃO E AMOSTRA:
POPULAÇÃO:
É um conjunto de todos os elementos (pessoas, objetos, etc) que possuem pelo menos uma característica em comum, a(s) qual(is) os relacionam ao problema que está sendo estudado.
Exemplo 1. Se o problema a ser pesquisado está relacionado com a qualidade de um certo produto produzido numa indústria, a população pode ser composta por todas as
peças produzidas numa determinada hora, turno, dia ou mês, dependendo dos objetivos;
Exemplo 2. Se o objetivo de um estudo é pesquisar o nível de renda familiar de uma certa cidade, a população seria todas as famílias desta população. Mas, se o objetivo fosse pesquisar apenas a renda mensal do chefe da família, a população a ser pesquisada seria composta por todos os chefes de família desta cidade.
A População pode ser:
1. Finita - quando o número de unidades de observação pode ser contado e é limitado; O conjunto formado pelos alunos que cursam a disciplina de estatística num determinado semestre da ANHANGUERA.
- Infinita - quando a quantidade de unidades de observação é ilimitada;
Um exemplo de população infinita seria o conjunto formado por todos os alunos de estatística do Brasil, pois este conjunto é composto por um número incontável de elementos.
AMOSTRA (OU ESPAÇO AMOSTRAL):
A amostra é apenas uma parte da população, ou seja, é um subconjunto da população. Amostragem: Técnica especial de recolher amostras, que garante, tanto quanto possível, o acaso na escolha. Dessa forma, cada elemento da população passa a ter a mesma chance de ser escolhido.
Exemplos:
- (^) Uma indústria produziu 10.000 parafusos. Se tornarmos dessa população apenas 100 elementos representativos, o subconjunto assim formado é uma amostra dessa população.
- Teste destrutivo para controle de qualidade de determinada peça.
- Estudo de alguma característica da população brasileira.
Vários motivos levam à necessidade de se observar apenas uma parte da população, como por exemplo: a falta de tempo, recursos financeiros e/ou humanos. A amostra deve ser obtida através de técnicas de amostragem, as quais tem como objetivo principal garantir a representatividade da população, ou seja, fazer com que a amostra seja um retrato fiel da população.
Amostragem Casual ou Aleatória: É equivalente a um sorteio lotérico. Numera-se a população de “1” a “n” e sorteia-se, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, “K” números dessa sequência os quais corresponderão aos elementos pertencentes à amostra. Somente para populações pequenas.
de 01 a 18, o qual indicaria o primeiro elemento sorteado para a amostra; os demais elementos seriam periodicamente considerados de 18 em 18. Assim, suponhamos que o número sorteado fosse 4 a amostra seria: 4ª casa, 22ª casa, 40ª casa, 58ª casa, 76ª casa, etc
Note ainda que a amostra precisa ser:
- Representativa: deve conter indivíduos de todos os extratos da população; - Não viciada: o número de elementos de cada extrato deve ser proporcional à população desse extrato; - Aleatória: em cada extracto os indivíduos devem ser escolhidos aleatoriamente; - Ampla: deve ser bastante grande, para poder apresentar características semelhantes às da população total que pretende representar.
2.2 PARÂMETROS E ESTATÍSTICA:
Dois novos conceitos estreitamente relacionados com os de população e amostra são os de Parâmetro e Estatística, tendo em vista que: PARÂMETRO: É uma medida numérica que descreve uma característica da população. ESTATÍSTICA: É uma medida numérica que descreve uma característica da amostra. Exemplos de algumas medidas numéricas são: proporção, média, moda, índices, etc.
2.3 VARIÁVEIS (OU DADOS) E TIPOS DE VARIÁVEIS:
Chamamos de variáveis as características a serem analisadas (sexo, raça,estatura,renda, quantidade, etc.). As variáveis podem ser qualitativas ou quantitativas.
- Variáveis Qualitativas - Quando os valores que elas podem receber são referentes à qualidade, atributo ou categoria. Exemplos são:
- Raça: podendo assumir os valores Branco ou Negro;
- Resultado de um teste: aprovado ou reprovado;
- Escolaridade: 1◦ grau completo, 2◦ grau completo, superior, pós-graduado;
- Conceito de qualidade: péssima qualidade, regular ou boa qualidade.
As variáveis qualitativas podem, ainda, ser classificadas como: Nominais ou Ordinais. (a) Variáveis Qualitativas Nominais - são caracterizadas por dados que se apresentam apenas sob o aspecto qualitativo (Ex: raça e resultado de um teste).
(b) As variáveis qualitativas Ordinais - são caracterizadas por categorias que aprentam uma ordenação natural. Por exemplo: escolaridade e conceito de qualidade.
2. Variáveis Quantitativas - Quando os valores que ela pode assumir são numéricos, os quais podem ser obtidos através de uma contagem ou mensuração.
As variáveis quantitativas podem ser classificadas de acordo com o processo de obtenção; podendo ser: discretas ou contínuas. (a) Variáveis Quantitativas Discretas - são variáveis numéricas obtidas a partir de procedimento de contagem. Por exemplo: Quantidade de pessoas numa família, quantidade de acidentes numa indústria, etc.
(b) Variáveis Quantitativas Contínuas - são variáveis numéricas cujos valores são obtidos por um procedimento de mensuração, podendo assumir quaisquer valores num intervalo dos números reais, como por exemplo, a temperatura, altura, salário, etc..
Observação 1. O fato de uma variável ser expressa por números não significa que ela seja necessariamente quantitativa, por que a classificação da variável depende de como foi medida, e não do modo como se manifesta. Por exemplo, para a variável peso de um lutador de boxe, se for anotado o peso marcado na balança, a variável é quantitativa contínua; por outro lado, se esse peso for classificado segundo as categorias do boxe, a variável é qualitativa ordinal.
2.4 DADOS BRUTOS E ROL Dados Brutos são aqueles colhidos em determinada amostra sem serem numericamente organizados.
Quando os dados são organizados em ordem crescente ou decrescente de grandeza chamamos de Rol.
Exemplos:
- Numa pesquisa de preço de certo produto, em 20 supermercados diferentes, foram obtidos os seguintes dados brutos.
Supermercado 01 - R$ 201,00 Supermercado 11 - R$ 200,00 “ 02 - R$ 210,00 “ 12 - R$ 201, “ 03 - R$ 202,00 “ 13 - R$ 201, “ 04 - R$ 198,00 “ 14 - R$ 200, “ 05 - R$ 202,00 “ 15 - R$ 201, “ 06 - R$ 203,00 “ 16 - R$ 201, “ 07 - R$ 200,00 “ 17 - R$ 205, “ 08 - R$ 203,00 “ 18 - R$ 198, “ 09 - R$ 202,00 “ 19 - R$ 200, “ 10 - R$ 205,00 “ 20 - R$ 195,
Organizando-se os dados brutos acima, por exemplo, em ordem crescente de preço, resulta o seguinte rol.
Preço (R$) Número de Supermercado s 195,00 1 198,00 2 200,00 4 201,00 5 202,00 3 203,00 2 205,00 2 210,00 1
Total 20
cada 50 famílias paulistanas 14 não tem filhos. Neste caso ocorre 14 vezes o evento não ter filhos, ou seja, a freqüência é 14.
2.1. Freqüência absoluta ( Representação: fi ) Chama-se freqüência absoluta , ao número que representa a repetição de um determinado evento dentro da característica analisada.
Exemplos:
- Tab. 1: O evento R$ 205,00 ocorreu 2 vezes e portanto e freqüência absoluta desse evento é 2.
- Tab. 2: A freqüência absoluta da 2ª. classe corresponde a 18, pois há ocorrência de 18 estudantes cujas alturas se enquadram dentro daquele intervalo de classe. Neste caso f 2 = 18.
- A freqüência absoluta da 4ª. classe da Tab. 2 é 27. Neste caso f 4 = 27.
- A freqüência absoluta para a tabela 1, referente ao valor R$ 198,00 é 2.
- Freqüência relativa ( Representação: f ri ) Freqüência relativa é o quociente entre a freqüência absoluta e o espaço amostral. Exemplos:
- Na Tab. 2 a freqüência relativa da 4º. classe é o quociente entre sua freqüência absoluta e a amostra ou melhor:
f4 27 fr 4 = ---------- = --------- = 0,27 ou 27% 100 100 f2 18 Na Tab. 2, a freqüência relativa da 2ª. classe será: fr 2 = ------- = ------ = 0,18 ou 18%. 100 100
A freqüência relativa também pode ser expressa em porcentagem como acima. Neste caso, chamamos de freqüência relativa percentual.
- Freqüência acumulada (Representação Fi ) Freqüência acumulada de uma classe constitui a soma das freqüências absolutas das classes anteriores com a da própria classe. Por exemplo, na Tab. 2, a freqüência acumulada da 4ª. classe é a soma de todas as freqüências absolutas das classes de 1 a 4 inclusive a 4ª. ou:
F 4 = f 1 + f 2 + f 3 + f F 0 5 C 4 F 0 2 0F 4 = 5 + 18 + 42 + 27 = 92.
A freqüência acumulada da 3ª. classe dessa mesma tabela será:
F 3 = f 1 + f 2 + f 3 F 0 5 CF 0 2 0F 3 = 5 + 18 + 42 = 65.
- Freqüência acumulada relativa (Representação F ri ) Freqüência acumulada relativa de uma classe constitui o quociente entre a freqüência acumulada dessa classe e a amostra. Por exemplo, na Tab. 2, a freqüência acumulada relativa da 4ª classe será
F 4 92
Fr 4 = -------- = ------- = 0,92 ou 92%. 100 100
A freqüência acumulada relativa da 3ª. classe será
F 3 65 Fr 3 = -------- = ------- = 0,65 ou 65%. 100 100
RESUMO DAS FREQUÊNCIAS
Exercícios
- Dada a tabela abaixo que relaciona o número de pedidos com os pesos das mercadorias, determinar todos os tipos de freqüência dados para 2ª. e para a 4ª. classes (absoluta, relativa, acumulada e acumulada relativa)
864.000.000 = 8,64 x 10^
0,00003416 = 3,46 x 10^-
0,01 = 10^-
0,00001 = 10^-
Fixação:
Faca as conversões abaixo:
a) Escreva os números abaixo em notação científica: i) 102,345 = 102345 x 10^- ii) 0,0034 = 34 x 10^- iii) 1234,88 = 123488 x 10^- iv) 0,12 = 12 x 10^-
b) Arredonde os números para 2 casas decimais: i) 1234,345 = 1234, ii) 809,3606 = 806, iii) 999,9999 = 1000, iv) 203,2488 = 203,
Medidas Estatísticas
- Medidas de Tendência Central (Medidas de Posição):
Média Aritmética Simples Dos vários tipos de médias utilizados, o mais simples e o mais comum é a média aritmética simples. Dados os números 1200, 1400, 1000 e 1600 , para apurarmos o valor médio artimético deste conjunto, simplesmente o totalizamos e dividimos o total obtido pela quantidade de valores do conjunto:
Agora preste atenção neste conjunto de números após o colocarmos em ordem crescente:
1000, 1200, 1400, 1600
Observe que se fôssemos inserir o valor médio de 1300 neste conjunto de números ordenados, a sua posição seria exatamente no meio da sequência, ou seja, seria o valor médio.
Propriedade Fundamental da Média Aritmética:
Note ainda que, se o valor médio for inserido ao conjunto de números originais, a média ainda continuará a mesma:
Genericamente:
Dado um subconjunto populacional :
Onde “n” é o número de elementos do conjunto, e usando-se um símbolo de soma, chamado somatório Σ que é a letra Sigma no alfabeto grego, define-se Média Aritmética como:
Média Aritmética Ponderada É o somatório do produto de cada elemento pelo seu respectivo peso, dividida pela soma dos pesos totais.
Exemplo: Pedro teve as seguintes notas nas provas de Matemática no ano de 2011: 8,5; 7,0; 9, e 9,0, nas quais os pesos das provas foram 1, 2, 3 e 4, respectivmente. Para obter uma nota que representará seu aproveitamento no bimestre, calculamos a média aritmética ponderada (MP).
Média Geométrica Este tipo de média é calculada multiplicando-se todos os valores e extraindo-se a raiz de índice n deste produto. Digamos que tenhamos os números 4, 6 e 9 , para obtermos o valor médio aritmético deste conjunto, multiplicamos os elementos e obtemos o produto 216. Pegamos então este produto e extraímos a sua raiz cúbica, chegando ao valor médio 6. Extraímos a raiz cúbica, pois o conjunto é composto de 3 elementos. Se fossem n elementos, extrairíamos a raiz de índice n.
Neste exemplo teríamos a seguinte solução:
Uma das utilizações deste tipo de média, é na definição de uma progressão
geométrica que diz que em toda P.G., qualquer termo é média geométrica entre
o seu antecedente e o seu consequente:
Tomemos como exemplo três termos consecutivos de uma P.G.:
