APOSTILA SOBRE PROBABILIDADE, Notas de estudo de Probabilidade e Estatistica

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PEQUENA APOSTILA DE PROBABILIDADE

CONTEÚDOS: Probabilidade condicional; Independência de eventos; Teorema da probabilidade total; Teorema de Bayes;

III.

n k = 1

k = 1 n

Vamos agora realizar uma análise: BB → 2 5 x 1 4

2 20 BV → 2 5 x 3 4

6 20 VB → 3 5 x 2 4

6 20 VV → 3 5 x 2 4

6 20 Temos que: P(A) = 2 20

6 20

2 5 e P(A|C) = 1 4 Considere agora que as extrações são feitas com reposição, ou seja, a 1ª bola sorteada é reposta na urna antes da 2ª extração. Nessa situação, temos:

B

V

B

B

V

V

𝟐 𝟓 𝟑 𝟓 𝟏 𝟒 𝟐 𝟒 𝟑 𝟒 𝟐 𝟒 Temos agora que a soma de todos os resultados é igual a 1.

P(B) = P(A 1  B) + P(A 2  B) + ... + P(An  B) E a regra da multiplicação nos dá que: P(B) = P(A 1 )P(B|A 1 ) + P(A 2 )P(B|A 2 ) + ... + P(An)P(B|An) Seja A 1 , A 2 , ..., An uma partição do espaço amostral  e seja B um evento qualquer em . Então: Vamos ver a seguinte demonstração: P(B  Ai) Sendo que última igualdade segue o fato de que os Ai são disjuntos, vemos que: P(B  Ai) = P(B|Ai)P(Ai) Portanto, P(B) = P(Ai)P(B|Ai)

n i = 1 P(B) = P(B   ) = P B  Ai

U

n i = 1

( [

n

])

n i = 1

EXEMPLO: temos três urnas com a seguinte composição: URNA 1 – 3 bolas brancas e 5 bolas vermelhas; Urna 2 – 4 bolas brancas e 2 bolas vermelhas; Urna 3 – 1 bola branca e 3 bolas vermelhas; Escolhe-se umas das três urnas de acordo com a seguinte probabilidade: urna 1 com probabilidade 𝟐 𝟔

, urna 2 com probabilidade

𝟑 𝟔 e urna 3 com probabilidade 𝟏 𝟔

. Uma bola é retirada da urna selecionada. Qual a

probabilidade de se obter uma bola branca? Vamos definir os eventos: B – Uma bola branca foi selecionada E, para i  {1, 2, 3} Ui: A urna i foi selecionada Usando a fórmula das probabilidades totais temos: P(B) = P(B|U 1 )P(U 1 ) + P(B|U 2 )P(U 2 ) + P(B|U 3 )P(U 3 ) P(B) = 3 8 x 2 6

4 6 x 3 6

1 4 x 1 6

3 24

2 6

1 24

1 2 P(B) = P(Ai)P(B|Ai)

n i = 1

são as probabilidades a priori. Em geral, são essas probabilidades que identificam a partição de . Vamos considerar mais um exemplo para ilustrar esses pontos. EXEMPLO: em uma turma de administração, 65 % dos alunos são do sexo masculino. Sabe-se que 30 % dos alunos tem carro, enquanto que essa proporção entre as alunas se reduz para 18 %. Sorteia-se ao acaso um estudante dessa turma usando o seu número de matrícula e constata-se que possui um carro. Qual a probabilidade de que a pessoa sorteada seja do seja do sexo feminino? H = homem C = possui carro M = mulher C.. = não possui carro P(H) = 0,65 → P(M) = 0, P(C|H) = 0,30 → P(C..|H) = 0, P(C|M) = 0,18 → P(C..|M) = 0, O problema pede P(M|C) e para calcular essa probabilidade, temos que calcular P(C). Pelo teorema da probabilidade total, sabemos que: P(C) = P(C  M) + P(C  H) P(C) = P(M)P(C|M) + P(H)P(C|H) P(C) = 0,35 x 0,18 + 0,65 x 0, P(C) = 0,

Logo, P(M|C) =