Estatistica Basica, Notas de estudo de Estatística

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T e x t o 4 : T E S T E S D E H I P Ó T E S E S

• 1. INTRODUÇÃO.................................................................................................................................................................. SUMÁRIO
  • 1.1. G ENERALIDADES
  • 1.2. M ETODOLOGIA DO TESTE DE HIPÓTESES
  • 1.3. AS HIPÓTESES
  • 1.4. A ESCOLHA DO TESTE ESTATÍSTICO
  • 1.5. CONCEITOS ADICIONAIS DO TESTE DE HIPÓTESES
  • 1.6. A DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL
  • 1.7. T ESTES ESTATÍSTICOS PARAMÉTRICOS
  • 1.8. E TAPAS DO TESTE DE HIPÓTESES
• 1. TIPOS DE TESTES PARAMÉTRICOS..........................................................................................................................
  • 2.1. T ESTES PARA UMA AMOSTRA
    • 2.1.1. Teste para a média de uma população.................................................................................................................
    • 2.1.2. Teste para a proporção
    • 2.1.3. Teste para a variância........................................................................................................................................
  • 2.2. T ESTES PARA DUAS AMOSTRAS INDEPENDENTES
    • 2.2.1. Teste para a igualdade entre as variâncias de duas populações
    • 2.2.2. Teste para a diferença entre duas médias populacionais...................................................................................
  • 2.3. D UAS AMOSTRAS RELACIONADAS ( DEPENDENTES)
    • 2.3.1. Teste para a diferença entre duas proporções
• 1. EXERCÍCIOS
• 1. RESPOSTAS
• 1. REFERÊNCIAS

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A hipótese nula é a hipótese de igualdade. Esta hipótese é denominada de hipótese de nulidade e é representada por H 0 (lê-se h zero). A hipótese nula é normalmente formulada com o objetivo de ser rejeitada. A rejeição da hipótese nula envolve a aceitação de outra hipótese denominada de alternativa. Esta hipótese é a definição operacional da hipótese de pesquisa que se deseja comprovar. A natureza do estudo vai definir como deve ser formulada a hipótese alternativa. Por exemplo, se o teste é do tipo paramétrico, onde o parâmetro a ser testado é representado por θ, então a hipótese nula seria: H 0 : θ = θ 0 e as hipóteses alternativas seriam:

H 1 : θ = θ 1 (Hipótese alternativa simples) ou H 1 : θ ≠ θ 0 ; θ > θ 0 ou θ < θ 0. (Hipóteses alternativas compostas) No primeiro caso, H 1 : θ ≠ θ 0 , diz-se que o teste é bilateral (ou bicaudal), se H 1 : θ > θ 0 , diz-se que o teste é unilateral (ou unicaudal) à direita e se H 1 : θ < θ 0 , então, diz-se que o teste é unilateral (ou unicaudal) à esquerda.

1.4. A ESCOLHA DO TESTE ESTATÍSTICO

Existem inúmeros testes estatísticos tanto paramétricos quanto não paramétricos. Alguns itens devem ser levados em conta na escolha da prova estatística para determinada situação. A maneira como a amostra foi obtida, a natureza da população da qual se extraiu a amostra e o tipo de mensuração ou escala empregado nas definições operacionais das variáveis envolvidas, isto é, o conjunto de valores numéricos e ainda o tamanho da amostra disponível.

Uma vez determinados a natureza da população e o método de amostragem ficará estabelecido o modelo estatístico. Associado a cada teste estatístico tem-se um modelo estatístico e condições de mensuração, o teste é válido sob as condições especificadas no modelo e pelo nível da escala de mensuração. Nem sempre é possível verificar se todas as condições do modelo foram satisfeitas e neste caso tem-se que admitir que estas condições foram satisfeitas. Estas condições do modelo estatístico são denominadas suposições ou hipóteses do teste. Qualquer decisão tomada através de um teste estatístico somente terá validade se as condições do modelo forem válidas.

É óbvio que quanto mais fracas forem as suposições do modelo mais gerais serão as conclusões. No entanto, as provas mais poderosas, isto é, as que apresentam maior probabilidade de rejeitar H 0 quando for falsa, são as que exigem as suposições mais fortes ou mais amplas.

1.5. CONCEITOS ADICIONAIS DO TESTE DE HIPÓTESES

Além dos conceitos já vistos para o teste de hipóteses é necessário ainda definir os erros envolvidos e as regiões de rejeição e de aceitação.

Para ilustrar estes conceitos será suposto o seguinte teste a ser feito: Dispõem-se de duas moedas com aparência idêntica, só que uma (M 1 ) é equilibrada, isto é, P(Cara) = P(Coroa) = 50%, enquanto que a outra (M 2 ) é viciada de tal forma que favorece cara na proporção de 80%, ou seja, P(Cara) = 80% enquanto que P(Coroa) = 20%. Supõem-se que uma das moedas é lançada e que com base na variável X = número de caras, deve-se decidir qual delas foi lançada. Neste caso o teste a ser feito envolve as seguintes hipóteses:

H 0 : A moeda lançada é a equilibrada (M 1 ), ou seja, p = 50% H 1 : A moeda lançada é a viciada (M 2 ), ou seja p = 80%, onde “p” é a proporção de caras. Tem-se que tomar a decisão de apontar qual foi a moeda lançada, baseado apenas em uma amostra, por exemplo 5 lançamentos, de uma população infinita de lançamentos possíveis. A decisão, é claro, estará sujeita a erros, pois se está tomando a decisão em condições de incerteza.

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A decisão será baseada nas distribuições amostrais das duas moedas. A tabela 01 mostra as probabilidades de se obter os valores: 0, 1, 2, 3, 4 e 5, da variável X = número de caras, em 5 lançamentos de cada uma das moedas.

Tabela 01 - Probabilidades de se obter cara em 5 lançamentos de uma moeda

x P(X = x) sob H 0 P(X = x) sob H (^1) (^0) 1/32 → 3,125% 1/3125 → 0,032% (^1) 5/32 → 15,625% 20/3125 → 0,640% 2 10/32 → 31,250% 160/3125 → 5,120% 3 10/32 → 31,250% 640/3125 → 20,480% (^4) 5/32 → 15,625% 1280/3125 → 40,960% (^5) 1/32 → 3,125% 1024/3125 → 32,768% Total 1 →→→→ 100% (^1) →→→→ 100%

Para poder aceitar ou rejeitar H 0 e como conseqüência, rejeitar ou aceitar H 1 , é necessário estabelecer uma regra de decisão, isto é, é necessário estabelecer para que valores da variável X vai-se rejeitar H0, ou seja, afirmar H 1 , e para que valores da variável X, vai-se aceitar H 0 , ou seja, nesta situação particular, afirmar H 0.

Desta forma, estabelecendo-se que se vai rejeitar H 0 , se a moeda lançada der um número de caras igual a 3, 4 ou 5, pode-se então determinar as probabilidades de tomar as decisões corretas ou as probabilidades dos erros envolvidos. Assim o conjunto de valores que levará a rejeição da hipótese nula será denominado de região crítica (RC) e, neste caso, este conjunto é igual a: RC = { 3, 4, 5 }

A faixa restante de valores da variável é denominada de região de aceitação (RA) e, neste caso, este conjunto vale: RA = { 0, 1, 2 }

Evidentemente esta regra como qualquer outra permitirá decidir sob a H 0 , mas estará sujeita a erro. Está se tomando a decisão de aceitar ou rejeitar H 0 com base no número X de caras obtidas em 5 lançamentos, que é apenas uma amostra, muito pequena, do número infinito de lançamentos possíveis.

Com base em resultados amostrais, não é possível tomar decisões definitivamente corretas. Entretanto, pode-se calcular a probabilidade da decisão estar errada. Neste caso foi decidido rejeitar H 0 se X = “número de caras” assumir um dos valores do conjunto RC. No entanto, tais valores podem ocorrer sob H 0 , isto é, tais valores podem ocorrer quando se lança a moeda M 1 , conforme tabela. Então se H 0 for rejeitada porque X assumiu o valor 3, 4 ou 5, pode-se estar cometendo um erro. A probabilidade deste erro é igual a probabilidade de ocorrência destes valores sob H 0 , isto é, quando a moeda M 1 é lançada, que é conforme tabela igual a:

10/32 + 5/32 + 1/32 = 16/32 = 50% Lembrando que rejeitar H 0 é apenas uma das duas situações possíveis num teste de hipóteses, tem-se que se X assumir um valor do conjunto RA se aceitará Ho. Mas tais valores podem ocorrer sob H 1 , isto é, quando a moeda M 2 é lançada. Então se Ho for aceita porque X assumiu um dos valores: 1, 2 ou 3, pode-se estar cometendo um outro tipo de erro, cuja probabilidade é igual a da ocorrência destes valores sob H 1 que é de: 1/3125 + 20/3125 + 160/3125 = 181/3125 = 5,79%

A probabilidade de que a variável (número de caras) assuma um valor do conjunto RC é denominada de nível de significância do teste. O nível de significância do teste é, na realidade, a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula, quando ela é verdadeira, sendo então a probabilidade de se cometer um erro. Como este é apenas um dos dois tipos de erro possível de ser cometido num teste de hipóteses, ele é denominado de erro do tipo I. O outro tipo de erro possível de ser cometido é aceitar

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Pode-se ver então que o erro do tipo I diminui sensivelmente, mas em compensação tivemos um aumento substancial do erro do tipo II. Isto sempre vai ocorrer. A única forma de reduzir os dois tipos de erro simultaneamente é pelo aumento do tamanho da amostra. Neste caso, está se considerando uma amostra de apenas 5 lançamentos dos infinitos possíveis. É natural que os erros associados sejam grandes, pois a amostra é muito pequena. Aumentado-se o tamanho da amostra é possível com a mesma região crítica diminuir sensivelmente os dois tipos de erro.

1.6. A DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL

A distribuição amostral é uma distribuição de probabilidade, isto é, é uma distribuição teórica que descreve o comportamento de uma determinada estatística ou estimador. As principais estatísticas utilizadas nos testes de hipóteses possuem modelos conhecidos. Têm-se a distribuição normal, a distribuição t (de Student) a distribuição χ^2 (qui-quadrado), a distribuição F (de Snedkor) como as principais.

1.7. TESTES ESTATÍSTICOS PARAMÉTRICOS

Em termos gerais, uma hipótese é uma conjectura sobre algum fenômeno ou conjunto de fatos. Em estatística inferencial o termo hipótese tem um significado bastante especifico. É uma conjectura sobre uma ou mais parâmetros populacionais. O teste de hipóteses paramétrico envolve fazer inferências sobre a natureza da população com base nas observações de uma amostra extraída desta população.

Em outras palavras, testar hipóteses, envolve determinar a magnitude da diferença entre um valor observado de uma estatística, por exemplo a proporção p, e o suposto valor do parâmetro (π) e então decidir se a magnitude da diferença justifica a rejeição da hipótese. O processo segue o esquema da figura 01.

1.8. ETAPAS DO TESTE DE HIPÓTESES

Qualquer teste de hipóteses paramétrico segue os seguintes passos:

Questão a ser feita Decisão a ser tomada

μμ μμ = 455

Diferença pequena Selecionada Aleatoriamente Diferença grande

x = 435

Figura 01 - A lógica dos testes de hipóteses

População Valor hipotético do parâmetro. Qual é a magnitude da diferença entre o valor observado da estatística e o valor hipotético da parâmetro?

Não rejeitar a hipótese

Amostra Valor observado da estatística.

Rejeitar a hipótese

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1. Formular as hipóteses.

Estabelecer as hipóteses nula e alternativa. A construção de um teste de hipóteses pode ser colocado de forma geral do seguinte modo. Toma-se uma amostra da variável (ou das variáveis) X (no caso) de uma dada população, de onde se tem uma hipótese sobre um determinado parâmetro, por exemplo: θ. Esta hipótese é a hipótese nula ou hipótese de igualdade: H 0 : θ = θ 0

Tendo formulado a hipótese nula é conveniente determinar qual será a hipótese aceita caso a hipótese nula seja rejeitada, isto é, convém explicitar a hipótese alternativa. A hipótese alternativa vai depender de cada situação mas de forma geral tem-se:

H 1 : θ = θ 2 (hipótese simples), ou então o que é mais comum, hipóteses compostas: H 1 : θ > θ 0 (teste unilateral ou unicaudal à direita) θ < θ 0 (teste unilateral ou unicaudal à esquerda) θ ≠ θ 0 (teste bilateral ou bicaudal)as hipóteses são do tipo composto.

2. Estabelecer a estatística (estimador ) a ser utilizado.

Após fixar as hipóteses é necessário determinar se a diferença entre a estatística amostral e o suposto valor do parâmetro da população é suficiente para rejeitar a hipótese. A estatística utilizada deve ser definida e sua distribuição teórica determinada.

3. Fixar o nível de significância do teste.

Fixar a probabilidade de ser cometer erro do tipo I, isto é, estabelecer o nível de significância do teste. Fixado o erro do tipo I, é possível determinar o valor crítico, que é um valor lido na distribuição amostral da estatística considerada (tabela). Este valor vai separar a região de crítica (de rejeição) da região de aceitação.

4. Calcular a estatística teste (a estimativa).

Através da amostra obtida calcular a estimativa que servirá para aceitar ou rejeitar a hipótese nula. Dependendo do tipo de hipótese alternativa este valor servirá para aceitar ou rejeitar H 0. O procedimento é:

Teste estatístico = (Estatística - Parâmetro) / Erro padrão da Estatística

5. Tomar a decisão.

Se o valor da estatística estiver na região crítica rejeitar Ho, caso contrário, aceitar H 0.

5. Formular a conclusão.

Com base na aceitação ou rejeição da hipótese nula, enunciar qual a decisão a ser tomada na situação do problema.

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Tabela 03 - Valores de z para alguns níveis de significância

αα αα = Nível de significância = P(Erro do Tipo I) 10% 5% 1% Teste bilateral 1,64 1,96 2, Teste unilateral 1,28 1,64 2,

Exemplo A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas está preocupada com o tempo perdido em acidentes de trabalho, cuja média, nos últimos tempos, tem sido da ordem de 60 hora /homens por ano com desvio padrão de 20 horas/homem. Tentou-se um programa de prevenção de acidentes e, após o mesmo, tomou-se uma amostra de 9 indústrias e mediu-se o número de horas/homem perdidas por acidente, que foi de 50 horas. Você diria, ao nível de 5%, que há evidência de melhoria?

Solução As hipóteses a serem testadas são: H 0 : μ = 60 hora/homens H 1 : μ < 60 hora/homens A evidência amostral para sugerir que a média baixou é dada através da amostra de n = 9 (elementos) que forneceu x = 50 horas/homens. Vamos testar se esta diferença de 10 horas/homens é ou não significativa ao nível de 5%. Para isto é necessário padronizar o resultado amostral.

Z = (X - μ (^) X) / (^) σX = (X - μ) / σ/ n = (50 - 60) / 20/ 9 = -1, Para saber se este valor (-1,50) é pouco provável é necessário compará-lo com o valor crítico - zα (pois se trata de um teste unilateral à esquerda), que neste caso vale -1,64, já que o nível de significância foi fixado em 5%. Vê-se portanto que o valor amostral não é inferior ao valor crítico, não estando portanto na região de rejeição. Isto quer dizer que a diferença apresentada na amostra não é suficientemente grande para provar que a campanha de prevenção deu resultado. Então a conclusão é:

“Não é possível ao nível de 5% de significância afirmar que a campanha deu resultado, isto é, rejeitar H 0. ”

Convém lembrar que o fato de não rejeitar a hipótese nula, não autoriza a fazer afirmações a respeito da veracidade dela. Ou seja, não se provou H 0 , pois no momento que se aceita a hipótese nula, o risco envolvido é o do Tipo II, e este neste caso não está fixado (controlado). O teste de hipóteses é feito para rejeitar a hipótese nula e sua força está na rejeição. Assim quando se rejeita se prova algo, mas quando se aceita, nada se pode afirmar.

(b) σσσσ desconhecido

A distribuição t de Student

Quando o desvio padrão populacional (σ) é desconhecido é necessário estimá-lo através do desvio padrão da amostra (s). Mas ao substituir o desvio padrão da população na expressão:

Z = (X - μ X) / σX = (X - μ) / σ/ n

não teremos mais uma distribuição normal. De fato, conforme demonstrado por W. S. Gosset (Student) a distribuição da variável:

(X - μ X) / σ$X = (X - μ) / s/ n

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Não é mais normal padrão. Ao substituir σ por s na expressão teremos uma distribuição parecida com a normal, isto é, simétrica em torno de zero, porém com uma variabilidade maior. Desta forma a distribuição “t” é mais baixa no centro do que a normal padrão, mas mais alta nas caudas.

Assim:

(X - μ X) / σ$X = (X - μ) / s/ n = t n-1 , onde “n - 1” indica a distribuição “t” considerada, pois

cada tamanho de amostra produz uma distribuição de Student diferente.

A distribuição t de Student encontra-se tabelada em função de n = tamanho da amostra ou então em função de n - 1 denominado de graus de liberdade da distribuição. Neste caso cada linha de uma tabela se refere a uma distribuição particular e cada coluna da tabela a um determinado nível de significância. Conforme a tabela o nível de significância poderá ser unilateral ou bilateral. Em todo caso é necessário sempre ler no cabeçalho ou no rodapé da tabela as explicações sobre como ela está estruturada.

Desta forma a diferença entre o teste para a média de uma população com σ conhecido e um com σ desconhecido é que é necessário trocar a distribuição normal padrão pela distribuição “t “ de Student.

Exemplo O tempo médio, por operário, para executar uma tarefa, tem sido 100 minutos. Introduziu-se uma modificação para diminuir este tempo, e, após certo período, sorteou-se uma amostra de 16 operários, medindo-se o tempo de execução gasto por cada um. O tempo médio da amostra foi 85 minutos com desvio padrão de 12 minutos. Este resultado evidencia uma melhora no tempo gasto para realizar a tarefa? Apresente as conclusões aos níveis de 5% e 1% de significância e diga quais as suposições teóricas necessárias que devem ser feitas para resolver o problema.

Solução A suposição teórica necessária é admitir que a distribuição da população de onde foi extraída a amostra segue uma normal pois n < 30.

H 0 : μ = 100 H 1 : μ < 100 Considerando, então, um teste unilateral à esquerda e tendo α = 5% (α = 1%) tem-se que a região de rejeição é constituída por RC = [-∞, -1,753].(RC = [-∞, -2,602])

O valor de teste é:

t 15 = X s n

− μ (^) = 85 100 12 4

− = -

Como este valor pertence as duas regiões críticas, pode-se rejeitar a hipótese nula, aos níveis de 5% e 1% de significância, isto é, neste caso, pode-se afirmar que a modificação diminuiu o tempo de execução da tarefa.

2.1.2. T ESTE PARA A PROPORÇÃO

O teste para a proporção populacional é normalmente baseado na seguinte suposição: tem-se uma população e tem-se uma hipótese sobre a proporção π de elementos da população que possuem uma determinada característica. Esta proporção é supostamente igual a um determinado valor π 0. Assim a hipótese nula é:

H 0 : π = π 0 O problema fornece informações sobre a alternativa, que pode ser uma das seguintes:

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Em função do tipo de hipótese alternativa define-se a região de rejeição. No primeiro caso tem-se uma região de rejeição do tipo bilateral. Logo, fixado um nível de significância “α“, a região crítica será

RC = [0, χ 12 ] U [ χ 22 , ∞). Desta forma, aceita-se a hipótese nula se a estatística teste, acima, pertencer

ao intervalo [ χ 1 2 , χ 22 ].

Exemplo Uma das maneiras de controlar a qualidade de um produto é controlar a sua variabilidade. Uma máquina de empacotar café está regulada para encher os pacotes com desvio padrão de 10 g e média de 500g e onde o peso de cada pacote distribuí-se normalmente. Colhida uma amostra de n = 16, observou-se uma variância de 169 g^2. É possível afirmar com este resultado que a máquina está desregulada quanto a variabilidade, supondo uma significância de 5%?

Solução H 0 : σ^2 = 100 contra H 1 : σ^2 ≠ 100

c χ^2 = (15.169)/100 = 25,35. Como α = 5% a região de aceitação é a região compreendida entre os valores:

[ (^) 97 5% 2 χ (^) , , (^) 2 5% 2

χ , ] = [6,26, 27,49]. Como o valor calculado pertence a esta região, aceita-se H 0 , isto é,

com esta amostra não é possível afirmar que a máquina está desregulada, ao nível de 5% de significância.

Supõem-se a existência de duas populações. Uma população X com média μX e desvio padrão

σ X e uma população Y com média^ μ^ Ye desvio padrão^ σY. Da população X é extraída uma amostra de

tamanho “n” com média X e da população Y é extraída uma amostra de tamanho “m” com média Y. Define-se a variável D como sendo a diferença entre as duas médias amostrais. Assim D = X - Y e tem-se:

μ D = E(D^ ) = E(X^ -^ Y^ ) = E(X^ ) - E(Y^ ) =^ μX -^ μY

σD = V(D^ ) = V(X^ -^ Y^ ) = V(X^ ) + V(Y^ ) =^ n m σ σ 2 Y

2 X (^) +.

2.2. TESTES PARA DUAS AMOSTRAS INDEPENDENTES

Neste tipo de teste são retiradas duas amostras de forma independente, isto é, as medidas são obtidas em unidades amostrais diferentes.

2.2.1. T ESTE PARA A IGUALDADE ENTRE AS VARIÂNCIAS DE DUAS

POPULAÇÕES Supõem-se a existência de duas populações. Uma população X com média μX e desvio padrão

σ X e uma população Y com média^ μ^ Ye desvio padrão^ σY. Da população X é extraída uma amostra de

tamanho “n” com média X e variância (^) SX^2 e da população Y é extraída uma amostra de tamanho “m”

com média Y e variância (^) SY^2.

As hipóteses são:

H 0 : σ 2 X= σ^2 Y=σ^2

H 1 : σ 2 X≠ σ^2 Y

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Nestas condições sabe-se que: χ σ

−

2 n 1 X

2 (n 1 )SX (^) : e χ σ

−

2 m 1 Y

2 (m 1 )SY (^) :

Sob a hipótese de H 0 ser verdadeira (isto é, σ 2 X = σ^2 Y) tem-se:

Q = X

Y

X n

Y m

S

S

n

m

F n m

2 2

1

2 2

1

2 2

1

1

= − 1 1

−

= − −

−

−

σ χ

σ χ

( , ), isto é, o quociente entre as variâncias amostrais possui uma

distribuição F (de Snedekor) com “n-1” graus de liberdade no numerador e “m - 1” graus de liberdade no denominador.

Como a distribuição F depende de dois parâmetros ν 1 e ν 2 , uma tabela tridimensional será necessária para computar os valores de F correspondentes a diferentes probabilidades e valores de ν 1 e ν 2. Como conseqüência, somente os pontos da cauda à direita de 5% e 1% de área são tabelados, correspondendo a vários valores de ν 1 e ν 2 , isto é, encontram-se tabelados os valores P(F > f) = 0,01 e P(F > f) = 0,05. Para poder se obter valores bilaterais da distribuição F é necessário usar a propriedade que se F é tal que tem uma distribuição com ν 1 e ν 2 graus de liberdade, então F’ = 1 / F tem distribuição F’ com ν 2 e ν 1 graus de liberdade. Assim a probabilidade de que F < f pode ser calculada por:

P(F < f) = P(1 / F > 1 / f) = P(F’ > 1 / f) Lembrando que só são fornecidos valores com as significâncias de 1% e 5%. Outro valor entre estes dois poderá ser obtido aproximadamente por interpolação.

Assim por exemplo dados ν 1 = 5 (graus de liberdade do numerador) e ν 2 = 8 (graus de liberdade do denominador), o valor de f de F(5, 8) tal que P(F > f) = 5% é f = 3,69. Então o valor f’ de F(5, 8) tal que P(F < f’) = 5% é dado por: 1 / F(8, 5) = 1 / 4,82 = 0,21.

Fixado um nível de significância α a região crítica RC é encontrada através de dois valores F 1 e F 2 da distribuição F tais que:

P(F ∈ RC) = P(F < F 1 ou F > F 2 ) = α, onde F 1 e F 2 são encontrados na tabela de modo a satisfazer a igualdade: P(F < F 1 ) = P(F > F 2 ) = α/2.

Exemplo: (BUS81 - pg. 275) Quer se verificar se duas máquinas produzem peças com a mesma homogeneidade quanto à resistência à tensão. Para tal, sorteiam-se duas amostras de 6 peças de cada uma das máquinas e observa-se as resistências. Os resultados estão na tabela.

Máquina X^145 127 136 142 141 Máquina Y^143 128 132 138 142

Solução: Como n = m = 6, tem-se que:

Q = X Y

S

S

2 2 = F(5, 5) = 5,

A região crítica RC será: RC = (0; 1/5,05) U (5,05; ∝) = (0; 0,20) U (5,05; ∝) As amostras fornecem: S X^2 = 40 e^ SY (^2) = 37, portanto a distribuição do quociente Q calculado será:

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Portanto, rejeita-se a hipótese de igualdade entre as durações médias dos dois tipos de pneus. Com base nestas amostras, pode-se afirmar, ao nível de 4% de significância, que os dois tipos de pneus diferem quanto a durabilidade média.

(b) Variâncias σ^2 X e σ^2 Y desconhecidas mas supostamente iguais

Vamos supor que as duas populações tenham a mesma variância σ^2 = (^) σ^2 X = (^) σ^2 Y , porém

desconhecidas.

As hipóteses são: H 0 : μX - μY = ∆ contra H 1 : μX - μY ≠ ∆ ou μX - μY > ∆ ou ainda μX - μY < ∆ A variável teste anterior, para esta situação, será: Z =

m

n

X Y σ (^2) X σ^2 Y

− − ∆ , mas neste caso (^) σX^2 = (^) σY^2 = σ^2 (por suposição), então:

Z =

m

n

X Y σ (^2) X σ^2 Y

m

n

X Y σ 2 σ^2

m +^1 n σ^1

X − Y−∆ , como o valor σ^2 não é conhecido, deverá ser

substituído por um estimador não-tendencioso. Como (^) S^2 X e (^) S^2 Y são estimadores não tendenciosos do

mesmo parâmetro σ^2 , então, a média ponderada:

n m 2

(n 1 )S (m 1 )S

S

2 Y 2 2 X

= , também será um estimador não-tendencioso de σ^2.

Logo a expressão acima poderá ser escrita como:

m +^1 n S^1

X − Y−∆ , que terá uma distribuição não mais normal mas sim “t” com “n + m – 2” graus de

liberdade, desde que n, m sejam maiores ou iguais a 30, ou então que as amostras tenham sido extraídas de populações que tenham distribuições normais.

Desta forma, a expressão para testar a diferença entre duas médias populacionais, nesta situação será:

t (^) c = t (^) n+m-2 =

m +^1 n S^1

X −Y−∆

Assim fixando o nível de significância “α“, a hipótese nula será rejeitada se: |t (^) c | > tα/2 no teste bilateral; t (^) c > tα, no teste unilateral à direita e t (^) c < tα no teste unilateral à esquerda. Exemplo: As resistências de dois tipos de concreto foram medidas, mostrando os resultados da tabela. Fixado um nível de significância de 5%, existe evidência de que o concreto do tipo A seja mais resistente do que o concreto do tipo B.

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Tipo A 54 55 58 51 57 Tipo B 50 54 56 52 53

Solução: Antes de mais nada vamos testar se as duas populações possuem a mesma variância. Para tanto aplica-se o teste de igualdade de variâncias, utilizando as amostras acima e uma significância de 5%.

Tem-se: Graus de liberdade: 4 (numerador), 4 (denominador) F = 7,5/5,0 = 1,50. F2,5% = 0, F97,5% = 9, Significância do resultado obtido: 35,20%. Neste caso, não é possível afirmar que as variâncias populacionais são diferentes. As hipóteses são: H 0 : μA - μB = 0 ( μA = μB ) contra H 1 : μA - μB > 0 ( μA > μB ) Os dados obtidos da tabela são: X = 55,0 e Y = 53,

S X (^2) = 7,50 e SY (^2) = 5,0, então S 2 = n m 2

(n 1 )S^2 X (m 1 )S^2 Y

• −

− + − = 5 5 2

( 5 1 ). 7 , 5 ( 5 1 ). 5 , 0

• −

− + − = 6,25.

O valor da variável teste será:

t (^) c =

5

+^1 5

2 , 50.^1

Como α = 5%, e o grau de liberdade n - m - 2 = 10 - 2 = 8, então o valor de “t” tabelado será: 1,86.

Neste caso, com estas amostras não é possível afirmar que o concreto do tipo A seja mais resistente do que o concreto do tipo B.

(c) Variâncias σ^2 X e σ^2 Y desconhecidas e supostamente desiguais

As hipóteses são: H 0 : μX - μY = ∆ contra H 1 : μX - μY ≠ ∆ ou μX - μY > ∆ ou ainda μX - μY < ∆ Como as variâncias são desconhecidas é necessária estimá-las através das variâncias amostrais S X (^2) e SY (^2). Neste caso, ao se substituir as variâncias populacionais pelas amostrais na expressão:

m

n

X Y σ (^2) X σ^2 Y

− − ∆ não se terá mais uma distribuição normal, mas sim uma distribuição “t” com o

grau de liberdade fornecido pela seguinte expressão:

T e x t o 4 : T E S T E S D E H I P Ó T E S E S

t =

5

Com α = 5%, e o grau de liberdade ν =

n 1 m 1

m

S n

S

m

S n

S

2 Y 2 2 X

2

2 Y 2 X

2

− + −

÷÷ø

ö ççè

æ ÷÷ø

ö ççè

æ

÷÷ø

ö ççè

æ

• (^) =

4

5

2 , 5

4

5

17 , 3

5

2 , 5 5

17 , 3

2 2

2

÷ ø

ç ö è

æ

÷ ø

ç ö è

æ

÷ ø

ö ç è

æ (^) +

0 , 8125

então o valor de “t” tabelado será: 2,57.

Neste caso, com estas amostras não é possível afirmar que o concreto do tipo A seja mais resistente do que o concreto do tipo B.

2.3. DUAS AMOSTRAS RELACIONADAS (DEPENDENTES)

Quando se compara as médias de duas populações, pode ocorrer uma diferença significativa por causa de fatores externos não-controláveis. Um modo de contornar este problema é coletar observações aos pares, de modo que os dois elementos de cada par sejam homogêneos em todos os sentidos, exceto naquele que se quer comparar.

Por exemplo, para testar dois métodos de ensino A e B, pode-se usar pares de gêmeos, sendo que um recebe o método de ensino A e o outro o método de ensino B. Este procedimento controla a maioria dos fatores externos que afetam a aprendizagem e se houver diferença deve-se realmente ao método.

Outra forma é fazer as observações das duas amostras no mesmo indivíduo. Por exemplo, medindo uma característica do indivíduo antes e depois dele ser submetido a um tratamento.

A exemplo da comparação de duas médias com amostras independentes, neste caso, tem-se duas amostras: X 1 , X 2 , ..., Xn e Y 1 , Y 2 , ..., Yn , só que agora as observações estão emparelhadas, isto é, a amostra é formada pelos pares:

(X 1 , Y 1 ), (X 2 , Y 2 ), ..., (Xn , Yn ) Define-se a variável D = X - Y. Como resultado tem-se a amostra: D 1 , D 2 , ..., Dn

Supõem-se que D segue uma N( μD , (^) σD ). Então: (^) S (^2) D= 1 1 n (^1 ) D n i X^ Y i

n i i i

n = =

å = å ( − ) = X - Y

Terá uma distribuição: N D n ( μ , σD^ ). Definindo:

å (^ − )

=

n i 1

2 i 2 D D D n 1

S =^

n 1

D nD

n i 1

2 i −

å − = (^) , tem-se que a estatística:

t = ,

n

S

D

D

−μ (^) D tem uma distribuição “t” com “n - 1” graus de liberdade.

Exemplo: Cinco operadores de máquinas são treinados em duas máquinas de diferentes fabricantes, para verificar qual delas apresentava maior facilidade de aprendizagem. Mediu-se o tempo que cada um dos operadores gastou na realização de uma mesma tarefa com cada um dos dois tipos de máquinas. Os

T e x t o 4 : T E S T E S D E H I P Ó T E S E S

resultados estão na tabela ao lado. Ao nível de 10% é possível afirmar que a tarefa realizada na máquina X demora mais do que na máquina Y?

Solução: As hipóteses são: H 0 : μX - μY = 0 (μX = μY) contra H 1 : μX - μY > 0 (μX > μY ) Pela tabela vê-se que: di : 5, 2, 5, 6 e 7 Logo: d = 5 e S (^) D = 1,8708, logo t = 5,98. Como α = 10%, então tα = 1,54, pois o número de graus de liberdade é n - 1 = 4. Portanto, rejeita-se a hipótese nula, isto é, a 10% de significância pode-se afirmar que com a máquina X se demora mais do que com a máquina Y.

2.3.1. T ESTE PARA A DIFERENÇA ENTRE DUAS PROPORÇÕES

As hipóteses são: H 0 : π 1 - π 2 = π contra H 1 : π 1 - π 2 ≠ π ou π 1 - π 2 > π ou ainda π 1 - π 2 < π Se π = 0, então π 1 - π 2 = 0, isto é, π 1 = π 2. Extraídas uma amostra de cada uma das duas populações a variável P 1 - P 2 terá uma distribuição aproximadamente normal com média E(P 1 - P 2 ) = π 1 - π 2 e variância σ^2 p (^1) −P 2 =

π 1 ( 1 − π 1 ) (^) + π 2 ( 1 −π 2 ) n m , desde que nP^1 > 5 e mP^2 > 5.

A variável teste será, então: z = 1 2 1 1 1 2 1 2

P P

n m

− − − −

π π (^) ( π )^ π (^) ( π)

Como os valores de π 1 e π 2 não são conhecidos, deve-se utilizar suas estimativas P 1 e P 2. Desta forma, o valor de z será:

z =

1 2 1 1 1 2 1 2

P P P P n

P P m

− − − −

π

Assim fixando o nível de significância “α“, a hipótese nula será rejeitada se: |z| > zα/2 no teste bilateral; z > zα, no teste unilateral à direita e z < zα no teste unilateral à esquerda. Exemplo: Em uma pesquisa de opinião, 32 dentre 80 homens declararam apreciar certa revista, acontecendo o mesmo com 26 dentre 50 mulheres. Ao nível de 5% de significância os homens e as mulheres apreciam igualmente a revista?

Operador Fabricante 1 Fabricante 2 1 80 75 2 72 70 3 65 60 4 78 72 5 85 78