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ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL NÃO - PARAMÉTRICA ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL NÃO-PARAMÉTRICA 3.a edição Humberto de Oampos Professor Adjunto Departamento de Matemática e Estatística E.S.A. “Lulz de Queiroz" - USP PIRACICABA Estado de São Paulo - Brasil 1979, il é Procuramos dar aos testas um cunho mais prático do que teórico, tentando assim, facilitar a sua imediata aplica ção. Os exemplos apresentados são todos referentes às nossas condições e foram, tanto quanto possível, extraídos de resul tados de pesquisas realizadas em nosso meio. Finalmente, somos imensamente gratos ao Professor e amigo Douglas A. Wolfe, pela excelente acolhida e eficiente orientação que sempre nos dispensou durante a nossa estada na Universidade de Ohio. “Humberto de Campos PREFÁCIO DA 2º EDIÇÃO Devido a boa aceitação em nosso meio da 12 edição de “Testes Não Paramétricos", ficamos eancorajados para proceder a uma cuidadosa revisão daquele trabalho, procurando melho- rá-lo e empliá-lo. Dois novos capítulos sobre as Análises de Variância, além de novos testes nos capítulos já existentes, foram in- cluídos. Foram também inseridas, no final, as tabelas para in terpretação dos testes. Encaramos este trabalho, não como um substituto dos métodos paramétricos, mas apenas como uma ferramenta a mais para o Estatístico, na análise e interpretação dos resulta- dos de experimentos. Julgamos interessante a mudança do nome para "Esta- tística Experimental Não-Paramétrica”, por achá-lo mais con- dizente com o conteúdo do trabalho. Piracicaba, março de 1976, Humberto de Campos xi. ' EN DICE PREFÁCIO DA 32 EDIÇÃO i Eisina fiz ANTRODUÇÃO ms sussa ama Aproveitando a maior experiência adquirida no lecio- : É é = 1.1 - Generalidades .....ccemeses . 1 namento, a nível de pós-graduação, da disciplina "Testes Não- 1.2 - Algumas Razões Para o Seu Uso . . 2 5 " n] + já «3 - Algumas Restrições ao Seu Uso . a 3 -Paramétricos", no curso de "Experimentação e Estatística" da 1 E a . E a 1.4 - Definições e Notações Estatísticas Básicas 3 ESALQ, foi feita uma nova revisão e ampliação do trabalho di 1.4.1 - Amostra casualizada . a Sa 4 vulgado nas edições anteriores. ai ã ARES TERnER Rad inn A á E os E 43 - o “ Nos capítulos referentes às enálises de variância fo LA dra Pardnntias à 5 ram incluídos os testes de Jonckheere e de Page, relativos a aa e Cosa ten a e . ê 14.6 - cien confiança . hipóteses alternativas com os tratamentos ordenados. 1.4.7 - Hipótese de nulidade (H,) E 6 Procuramos dar um formato mais adequado, visando a as e tinótena pstornatilva [E ) « ê 7 «4.9 - Teste de hipótese . y mais fácil manipulação do trabalho e, também, aproximando-se 1.4.10 - Região crítica . E 6 | a 1.4,11 - Teste simétrico . . 7 mais da edição de um livro propriamente dito. t 1.4.12 - Erros tipo I e tipo II - Poder do N Somos gratos a todos aqueles que nos incentivaram a o gn 7 ) á «4.13 - Consistência de teste 12 ir na tarefa de oferecer aos usuários da Estatística p! onsistência de um tes 5 1h Fe E 1.4,14 - Testes equivalentes ... a B | Não-Paramétrica uma obra, em nossa língua, e que reuna um nú 1.4.15 - Estatísticas de ordem ("Order Sta Dt considerável de exemplos ilustrativos, condizentes com g tistios") ... 1z JE mero) ã A 1.4.16 - Ordem ou posto ( 13 ) as nossas condições. 1.4,17 - Distribuição nula 13 E 1.4.18 - Distribuição livre . E al Piracicaba, janeiro de 1979, ' “14,19 - Distribuição simétrica .... o 1.4.20 - Distribuição assintótica . 6 : 1.4.21 - Distribuição uniforms .. 16 Humberto de Campos : 1.4.22 - Função empírica de distribuição Y | Ê 1.4,23 - Eficiência relativa ......s 17 ] i 1.4.24 - Tentativa de Bernoulli 18 ' ] 1.4.25 - Tentativas ou provas repe' mM | dependentes de Bernoulli 18 : É 1.4.26 - Escalas de medidas 18 | a) Nominal ... 19 j b) Ordinal . pdoe 19 ! c) Intervalo de medida 19 E | d) Relação de medidas . 20 xv. xd, Página Página E 5.2 - Teste de Moses seres 171 » . 3 PRE E E des te as : 5.2.1 - Generalidades ....c.e 11 4.2.5 - Aproximação normal . 138 Bs ORI en dz) 4.2.7 - Estimativa do efeito de tratamento pega = das etiva mntenno-de ponficnça e 139 e y cereename nene rrnenennato . ajomucintarvalo de-comtionça 5.2.4 - Complementações sobre o teste 173 4.3 - Teste de Kolmogorov-Smirnov . , a 5.2.5 <“Exempão ausiineaacnrasainaseaça 19 is. ro isidsas po . uo , 6. TESTES DE CORRELAÇÃO ecesscecerecerrecrercasso 177 4.3,3 - Hipóteses . MO 6.1 - Teste de Kendall . 178 4.3.4 - Método .. E 8.1.1 - Método 178 4.3.5 - Uso das tabelas .. 4 142 8.1.2 - Aproximação normal . e 9 4.3.6 - Distribuições nulas de D, D e D 144 6.1.3 = Empates .ecersenercrnaaca mos 80; 4.3.7 - Processo gráfico de determinação dos 8.1.4 - Distribuição nula de K .. = BI supremos D, D' eD .. 145 6.1.5 - Estimativa de T e seu intervalo de 4.3.8 - Exemplo .ececmesaes 146 confiança e 193 4,3.9 - Exercícios propostos ... 148 8.1.6 - Exemplo .. sea . 184 4.4 - Teste Exato de Fisher .. 149 6.1.7 - Exercícios propostos .. . 186 4.4.1 - Generalidades 149 6.2 - Teste de Spearmen escuras ae OR 4,4.2 - Pressuposições .. 150 B.2:1 = Método emu qusgãos 188 4.4.3 - Hipóteses . 150 8.2.2 - Aproximação normal ..... . 89 4.4.4 - Método. 1a RaRoa Cr Emaatam uai quarta 190 4.4.5 - Exemplo . 154 i 8.2.4 - Distribuição nula der ,. a Bi 4.4.6 - Exercícios propostos . 156 6-045 Exemplo sapiens cegos a HAS , p 5 5. TESTES DE DISPERSÃO APLICÁVEIS A DUAS AMOSTRAS IN i i “=s 7. ANALISE DE VARIÂNCIA - CLASSIFICAÇÃO SIMPLES DEPENDENTES .eccereetos assiajesinapreeo muros ISA Í (k amostras independentes) ..cicccremeeo 195 ! p 5.1 - Teste de Ansari-Bradley « pu | 7.1 - Teste de Kruskal-Hallis = 195 5.1.1 - Generalidades . a | - 7.1.1 - Generalidades . 96 5.1.2 - Pressuposições E j 7.1.2 - Pressuposições 197 5.1.3 - Hipóteses a 7.1.3 - Hipóteses . 97 5.1.4 - Método .. y a 7.1.4 - Método 197 5.1.5 - Aproximação normal - E 7.1.5 - Empates 99 5.1.6 - Empates .eeeseee . a 7.1.6 - Exemplos .. “200 5.1.7 - Distribuição nula a á E EE 7.1.7 - Exercícios propostos 203 - teste di Ds E RE sa já 166 7.2 - Teste de Jonckheere ... 205 5.1.10 - Exercícios propostos «.« as 7.2.1 - Generalidades 205 amp, 8.3.1.2 - Caso de grandes amostras xvis xvid. Página a Página 7.2.2 - Hipóteses . 0] a E 7.2.3 - Eca dade a 8.3.2 - Comparações múltiplas: tratamentos 7.2.4 - Empates «+ 207 Nes Grana cmcrrcr rare rnenenado 246 7.2.5 - Aproximação normal 208 ar - faso de pequenas amostras 246 7.2.6 - Exemplos essere 208 «3.2.2 - Caso de grandes amostras 246 7.3 - Comparações Múltiplas ecc 212 &. BIBLICARARIA. 4 sorsanesaceanes a 258 7.3.1 - Comparações envolvendo todos os par 10. TABELAS ..ceccsercesensascess 255 res de tratamentos estremecer 213 , : 7.3.1.1 - Caso de pequenas amostras 213 7.3.1.2 - Caso de grandes amostras 216 ? 7.3.2 - Comparações múltiplas: tratamentos 1 vs testemunha 220 e 8. ANÁLISE DE VARIÂNCIA - CLASSIFICAÇÃO DUPLA ..... 227 : B.1 - Teste de Friadman (x) de Friedman) 228 8.1.1 - Generalidades . 228 : 8.1.2 - Pressuposições o 1228 f 8.1.3 - Hipóteses ..+ . 229 8.1.4 - Método +... . 229 8.1.5 - Empates . 230 i 8.1.8 - Exemplos . . 23 8.1.7 - Exercícios propostos 236 8.2 - Teste ce Page us . 238 É 8.2.1 - Generalidades 238 f 8.2 - Hipóteses - 238 ' 8.2 - Método .. 238 8.2. - Empates . 239 8.2.5 - Aproximação normal «+ 239 2.2.º - Associação com o tests Ce correlação de Spearman ao HO, 8.2.7 - Exemplos ++ a (DAM 8.3 - Comparações Múltiplas ainnsaç 245 8.3.7 - Comparações envolvendo todos os par res de tratamentos «rev 243 8.3.1.1 - Caso de pequenas amostras ss 24 nx TABELA 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Limites inferiores de K no teste de Kendall Limites unilaterais de r no teste de cor- relação de Spearman ... Limites da distribuição de no teste de Kruskal-Wallis (k = 3) comn,
mM Hm, É m, Neste caso, , e H, são unilaterais e 1, é bilateral. 1.4.9 - Teste de hipótese E uma regra decisiva, que, com base nas observações, aceita ou rejeita Ho. Poderíamos ter, por exemplo: gs my E mo “vas H m >m, 1.4.10 - Região crítica A região crítica para um teste de hipótese é a. que nos leva à rejeição de H,. região critica Ga ZE77 N N Figura 1.2 - Região crítica para um teste de hipóte- se unilateral. = 1.4.1] - Teste simétrico Consideremos um teste bilateral, num nível de signi- ficância a. Suponhamos que ele seja baseado num valor 5, e que rejeita H, se 528, ou S<8 Então, ele é simétrico se satisfaz à propriedade P(s>8,) = P(scs,) =D. = —'2 2 O teste t, por exemplo, quando considerado bilateral mente, é simétrico. ' Ba NS ESSES 8, 8, Figura 1.3 - Regiões críticas num teste simótrico. 10. 1; GB IT À 0 Va 15,00 15,33 Figura 1.5 - Região do erro Tipo I. (a = 0,05). Por outro lado, admitamos que & verdadeira média se- ja u = 15,50,isto é, que HU = 15,00 seja falsa. Então, X-15,50 nç0,1) 1 V55 De conformidade com O teste admitido, H,: U = 15,00 33. Qual é então, a pro- aceitar H, quando ela é é aceita para valores abaixo de 15, babilidade do erro tipo II, isto é, falsa? Neste caso temos: 7 = 15,33 - 15,80 = — 0,85 1 v25 e, pela Tabela 1 obtemos: p[-e<2s - 0,85] =P (Ec 15,55) = 0,197. 15,33 15,50 Figura 1.6 - Erro Tipo II (B = 0,1977), Assim, temos: Probabilidade do erro tipo II: B=0,1977 Poder do teste: 1-B=0,8023 Podemos representar graficamente A RE NTE O Ná j 15,00 4 15,83 “15,50 8 = 0,197? Figura 1.7 - Erros tipo 1 (a) e tipo II (8). Observamos que diminuindo a, aumentamos B e corsa- quentemente diminuimos o poder do teste. 12. 1.4.13 - Consistência de um teste Dizemos que um teste é consistente para uma determi- nada alternativa, se o seu poder tende para 1 (um), quando o tamanho da amostra tende para infinito. 1.4.14 - Testes equivalentes Dois testes são equivalentes quando têm o mesmo pos der, isto é, um rejeita H,+ quando o outro rejeita, e, acei- ta quando o outro aceita. Assim, conforme veremos, o teste de Wilcoxon e o de Mann-Whitney, são equivalentes . 1.4.15 - Estatísticas de ordem (“Order statistics!) Xp observações, constituindo uma Sejam X, Kero obtidos das obser amostra. Os valores Kyo aa es fi *m) vações, quando rearranjadas em ordem crescente, constituem as estatísticas de ordem. Assim, por exemplo, se temos x=3 nz: 5:15 x,=10 ma 5 as estatísticas de ordem serão: Xa) =5 Ka) =23 X) =10 *s) =41 Ka) =15 é Assim, temos sempre: x Hoy É (1) 13, 1.4.16 - Ordem ou posto ("'rank!!) Quando classificamos um grupo de variáveis, de con- formidade com seus valores, e atribuimos a elas,números cor- respondentes às suas posições na classificação conjunta do grupo, cada número é denominado “ordem” (posto). Usualmente classíficamos numa ordem crescente. Para um grupo de N observações de valores distintos, os postos serão os inteiros 1, 2, ..., N. Quando ocorrem empates na classificação atribuimos às variáveis empatadas, uma ordem média, que é obtida conside- rando a média das ordens que elas receberiam se não ocorres- se o empate. Temos, por exemplo: X; Ordem 10 12 12 15 16 16 16 18 DS na a a ma 1.4.17 - Distribuição nula É a distribuição de uma estatística quando E, é ver- dadeira. ' Admitamos, por exemplo, duas populações (P e P,Jre- i 2 16. 1.4.20 - Distribuição assintótica A distribuição de uma estatística T é assintótica, quando o tamanho da amostra é infinito. As distribuições as- sintóticas são teóricas; na prática ocorrem apenas as "apro- ximadamente” assintóticas. Esta aproximação cresce à medida que o tamanho da amostra cresce. 1.4.2] - Distribuição uniforme É definida pela função de densidade: (ai pará 0<2<1 (a) = o fora do intervalo [0;1] + Seu gráfico é: 1 E o Figura 1.9 - Representação gráfica da distribuição uniforme. Easa distribuição é também denominada distribuição re genericamente definida como se segue: tangular e é mais 1 poraczeb fla) =9 b-a 0 fora do intervalo [a;b] 7. 1.4.22 - Função empírica de distribuição Se XX é uma amostra casualizada de uma população, a função empírica de distribuição (f.e.d.), para um dado valor X, é: k Stu) =— m onde k é o número de observações X, < 2. 1.4.23 - Eficiência relativa Suponhamos dois testes 4 e B, como mesmo nível de significância à e com a mesma H,: O =0,. A eficiência rela- tiva do teste B, em relação ao teste 4, é dada pela relação: onde: MR tamanho da amostra relativa ao teste 4, para uma dada alternativa; n, = tamanho requerido da amostra relativa ao teste D, para se alcançar o mesmo poder obtido com o teste A para a dada alternativa. “Assim, se temos, por exemplo, para um mesmo nível a de significância: H: 0 =6, Teste A —+ no = 4 Teste B — n, = 100 então, a eficiência relativa de B para A será de 40% e, evi- dentemente ce 4 para B, será de 250%. 18. 1.4.24 - Tentativa de Bernoulli É uma tentativa com apenas dois possíveis resultados: Assim, podemos caracterizá-la por: | sucesso ou falha. | A - realização do acontecimento favorável, com probabi- lidade Pp; , B - realização do acontecimento contrário, com probab lidade q. E evidente que: ptq=1. 1.4.25 - Tentativas ou provas repetidas e independen i tes de Bernoulli Descrevem um experimento consistindo de tentativas, já onde: a) Cada tentativa tem dois possíveis resultados: sucesso | j' ou falhas di b) A probabilidade de sucesso permanece a mesma para cada tentativa; c) As n tentativas são independentes. Cumpre observar que essas tentativas têm distribui- ção binomial, ou seja: m=np ER ot=npq. 1.4.26 - Escalas de medidas Nos testes não-paramétricos são empregadas as seguin Lo tes escalas: a) Nominal Usa números apenas como um meio de distinguir elemen tos ou suas propriedades em diferentes classes ou categorias. Se tomamos, por exemplo, uma função discriminante: A. = lser>Y * dJoser
