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PRPROOBBAABBIILLIIDDAADDEE
1. INTRODUÇÃO
Embora o cálculo das probabilidades pertença ao campo da Matemática, sua inclusão aqui se justifica pelo fato da maioria dos fenômenos de que trata a Estatística ser de natureza aleatória ou probabilística. Consequentemente, o conhecimento dos aspectos fundamentais do cálculo de probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo da Estatística Inferencial.
Procuramos resumir aqui os conhecimentos que julgamos necessários para termos um ponto de apoio em nossos primeiros passos no caminho da Estatística Inferencial. Esses passos serão apresentados no capítulo seguinte, que trata da conceituação de variável aleatória e das principais distribuições de probabilidades de variáveis discretas e contínuas.
2. EXPERIMENTO ALEATÓRIO
Todo oprocesso de realizar observações e obter dados é denominado experimento.
Experimentos Determinísticos:‐ são aqueles cujos resultados podem ser determinados antes de sua realização. Por exemplo: quanto tempo levará um carro para percorrer um trajeto de 200 km numa velocidade média de 100 km/h? Não é necessário executar o experimento para determinar a resposta: 2 horas.
Experimentos Estocásticos ou Aleatórios^1 :‐ Em quase todas as observações, em maior ou menor grau, vislumbramos o acaso. Assim, da afirmação “é provável que o meu time ganhe a partida de hoje” pode resultar: a. que, apesar do favoritismo, ele perca; b. que, como pensamos, ele ganhe; c. que empate. Como vimos, o resultado final depende do acaso. Fenômenos como esses são chamados fenômenos aleatórios e os experimentos associados a eles de experimentos aleatórios.
Experimentos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
3. ESPAÇO AMOSTRAL
A cada experimento aleatório correspondem, em geral, vários resultados possíveis. Assim, ao lançarmos uma moeda, há dois resultados possíveis: ocorrer cara ou ocorrer coroa. Já ao lançarmos um dado há seis resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Ao conjunto formado por todos os possíveis e diferentes resultados de umexperimento aleatório dá‐se o nome de
espaço amostral ou conjunto universo, representado^2 por S.
Os dois experimentos citados anteriormente têm os seguintesespaços amostrais:
‐ lançamento de uma moeda: S ൌ ሼCa, COሽ; ‐ lançamento de um dado: Sൌ ሼ1, 2, 3, 4, 5, 6ሽ
Outros dois exemplos são:
‐ dois lançamentos sucessivos de uma moeda: S ൌ ሼሺCa,Caሻ, ሺCa,Coሻ, ሺCo,Caሻ, ሺCo,Coሻሽ ‐ lançamento simultâneo de dois dados: S ൌ ሼሺ1,1ሻ, ሺ1,2ሻ, ሺ1,3ሻ, ሺ1,4ሻ, ሺ1,5ሻ, ሺ1,6ሻ, ሺ2,1ሻ, ...., ሺ6,6ሻሽ
Cada um dos elementos de S que correspondem a um resultado recebe o nome ponto amostral. Assim:
2 ∈ S ⇒ 2 é um ponto amostral de S;
ሼCa, Coሽ ∈ S ⇒ ሼCa, Coሽ é um ponto amostral de S.
1 Do latimalea ൌ sorte
(^2) Alguns autores usam a letra Ω
TMA ሾBASICÃO DE PROBABILIDADESሿ
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
- Determinar o espaço amostral relativo aos experimentos abaixo:
a. Três lançamentos consecutivos de uma moeda comum.
Solução
Sendo ca = cara e co = coroa, temos:
b. Duas retiradas consecutivas e sem reposição de bolas de uma urna que contém 3 bolas brancas, 2 bolas azuis e 4 bolas vermelhas.
Solução
4. EVENTOS
Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório.
Assim, qualquer que seja E, se E ⊂ S ሺE está contido em Sሻ, então E é um evento de S.
Se E ൌ S, E é chamado deevento certo
Se E ⊂ S e E é um conjunto unitário, E é chamadoevento elementar.
Se E ൌ ∅, E é chamadoevento impossível.
No lançamento de um dado, onde S ൌ ሼ1, 2, 3, 4, 5, 6ሽ, temos:
A ൌ ሼ2, 4, 6ሽ ⊂ S; logo, A é um evento de S
B ൌ ሼ1, 2, 3, 4, 5, 6ሽ ⊂ S; logo, B é um evento certo de S ሺB ൌ Sሻ
Resposta:
S ou Ω = {(ca, ca, ca), (ca, ca, co), (ca, co, ca), (ca, co, co), (co, ca, ca), (co, ca, co), (co, co, ca), (co, co, co)}
Resposta:
Ω = {(b, b), (b, a), (b, v), (a, b), (a, a), (a, v), (v, b), (v, a), (v, v)}
TMA ሾBASICÃO DE PROBABILIDADESሿ
b. o evento A ൌ a soma dos resultados é 5; c. o evento B ൌ os resultados são iguais; d. o evento C ൌ o produto dos resultados é ímpar.
- Considerando o experimento: fazer um lançamento de dois dados comuns, honestos e indistinguíveis e anotar as faces que ficarão voltadas para cima, determinar: a. o espaço amostral S; b. o evento A ൌ a soma dos resultados é 5; c. o evento B ൌ os resultados são iguais; d. o evento C ൌ o produto dos resultados é ímpar.
5. PROBABILIDADE
Dado umexperimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos de S
tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que S é um conjunto equiprovável.
Chamamos de probabilidade de um evento A ሺA ⊂ Sሻ o número real PሺAሻ, tal que: ܲ
ሺܣሻ ൌ ݊
Onde:
nሺAሻ é o número de elementos de A; nሺBሻ é o número de elementos de S.
EXEMPLOS
a. Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara”, temos:
S ൌ ሼCa,Coሽ ⇒ nሺSሻ ൌ 2 A ൌ ሼCaሽ ⇒ nሺAሻ ൌ 1
Logo:ܲ ሺܣሻ ൌ ଵ ଶ
O resultado acima nos permite afirmar que, ao lançarmos uma moeda equilibrada, temos 50% de chance de que apareça cara na face superior.
b. Considerando o lançamento de um dado, vamos calcular:
‐ a probabilidade do evento A “obter um número par na face superior”. Temos:
S ൌ ሼ1, 2, 3, 4, 5, 6ሽ ⇒ nሺSሻ ൌ 6
A ൌ ሼ2, 4, 6ሽ⇒ nሺAሻ ൌ 3 Logo:ܲ ሺܣሻ ൌ ଷ ൌ^
ଵ ଶ ‐ a probabilidade do evento B “obter um número menor ou igual a 6 na face superior”. Temos: S ൌ ሼ1, 2, 3, 4, 5, 6ሽ ⇒ nሺSሻ ൌ 6
B ൌ ሼ1, 2, 3, 4, 5, 6ሽ⇒ nሺBሻ ൌ 6 Logo:ܲ ሺܣሻ ൌ ൌ 1 ‐ a probabilidade do evento C “obter o número 4 na face superior”. Temos:
S ൌ ሼ1, 2, 3, 4, 5, 6ሽ ⇒ nሺSሻ ൌ 6
C ൌ ሼ 4 ሽ⇒ nሺCሻ ൌ 1 Logo:ܲ ሺܣሻ ൌ ଵ ‐ a probabilidade do evento D “obter um número maior que 6 na face superior”.
ሾBASICÃO DE PROBABILIDADESሿ TMA
Temos: S ൌ ሼ1, 2, 3, 4, 5, 6ሽ ⇒ nሺSሻ ൌ 6
B ൌ ∅ ⇒ nሺDሻ ൌ 0 Logo: ܲ ሺܣሻ ൌ
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
- Dados os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, construímos todos os números que podem ser representados usando dois deles ሺsem repetirሻ. Escolhendo ao acaso ሺaleatoriamenteሻ um dos números formados, qual a probabilidade de o número sorteado ser: a. par Temos 7 possibilidades de escolha do primeiro algarismo dos números e seis escolhas do segundo algarismo (os números não podem ter algarismos repetidos). Assim, temos 7. 6 = 42 caso possíveis. Para o número ser par deverá terminar (unidade) em 2, 4 ou 6. Devemos ter 3 possibilidades (2, 4, 6) associadas a 6 possibilidades (não podem ter algarismos repetidos). Assim, temos 3. 6 = 18 casos favoráveis. Logo a probabilidade será:
ܲ ൌ ሻ ݎܽሺ
b. múltiplo de 5? Casos possíveis = 42 Casos favoráveis = 1. 6 = 6
ܲ 5 ݁݀ ݈݅ݐ݈ú݉ሺ ሻ ൌ
Pelos exemplos que acabamos de ver, podemos concluir que, sendo nሺSሻ ൌ n:
a. a probabilidade do evento certo é igual a 1:
PሺSሻ ൌ 1
b. a probabilidade do evento impossível é igual a zero:
Pሺ∅ሻ ൌ 0
c. a probabilidade de um evento E qualquer ሺE ⊂ Sሻ é um número real PሺEሻ, tal que:
0 ≤ PሺEሻ ≤ 1
d. a probabilidade de um evento elementar E qualquer é, lembrando que nሺEሻ ൌ 1:
PሺEሻ ൌ ଵ
6. EVENTOS COMPLEMENTARES
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra ሺsucessoሻ e q a probabilidade de que ele não ocorra ሺinsucessoሻ, para um mesmo evento existe sempre a relação:
p q ൌ 1 ⇒ q ൌ 1 – p
Assim, se a probabilidade de se realizar um evento é p ൌ ଵ ହ , a probabilidade de que ele não ocorra é: q ൌ 1 – p ⇒ q ൌ 1 ‐ ଵ ହ ൌ^
ସ ହ Sabemos que a probabilidade de tirar o 4 no lançamento de um dado é p ൌ ଵ . Logo, a probabilidade de não tirar o 4 no lançamento de um dado é:
q ൌ 1 ‐ ଵ ൌ^
ହ
ሾBASICÃO DE PROBABILIDADESሿ TMA
cሻ Considerando o item a, calcule a probabilidade de um resultado par e maior do que 4. dሻ Considerando o item b, calcule a probabilidade de um resultado maior do que 4 e múltiplo de 3. Solução Ω = espaço amostral ⇒ Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} I = {2, 4, 6} II = {5, 6} III = {3, 6} I ∩ II = {6} II ∩ III = {6}
Temos as probabilidades: ܲ ሺܫሻ ൌ ଷ ൌ^
ଵ ଶ ܲ
ൌ^
ଵ ଷ ܲ
ൌ^
ଵ ଷ ܲ
a. Como P(I∩II) = P(I). P(II), os eventos I e II são independentes entre si. b. Como P(II∩III) ≠ P(II). P(III), os eventos II e III não são independentes entre si.
c. P(I∩II) = P(I). P(II) = ଵ ଶ ݔ^
ଵ ଷ ൌ^
ଵ d. P(II∩III) = P(II). P(III/II) = ଵ ଷ ݔ^
ଵ ଶ ൌ^
ଵ
- Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra a um jogador. A probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é: a. 1/2 b. 2/5 c. 1/5 d. 2/3 e. 1/
Solução Sejam: A = evento cartão com as duas cores e B = evento face vermelha para o juiz, tendo ocorrido o cartão de 2 cores.
P(A∩B) = P(A). P(B/A)
ܲ ሺܣሻ ൌ ଵ ଷ e^ ܲ
ଶ (Probabilidade condicional – ocorre B, se ocorrer A) P(A∩B) = ଵଷ ݔ ଵଶ ൌ ଵ Alternativa E
8. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização doሺsሻ outroሺsሻ.
Assim, no lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza.
Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize:
p ൌ p 1 p (^2)
EXEMPLO
Lançamos um dado. Qual a probabilidade de se tirar o 3 ou o 5?
Solução
Como os dois eventos são mutuamente exclusivos, temos:
p = ଵ +^
ଵ =^
ଶ =^
ଵ ଷ
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
- Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 a 100. A probabilidade de o bilhete sorteado ser maior que 40 ou número par é: a. 60% b. 70% c. 80% d. 90% e. 50%
Solução
n(U) = 100 A = maior que 40 ⇒ n(A) = 60 e B = ser par ⇒ n(B) = 50
ܲ ሺܣሻ ൌ ଵ ൌ^
ଷ ହ ܲe^
ଵ ൌ^
ଵ ଶ
nሺA ∩Bሻ ൌ 30 ...... existem 60 números maiores que 40 e a metade deles, 30, são pares ⇒ ܲ ൌ ሻܤ ת ܣሺ (^) ଵଷ ൌ (^) ଵଷ
TMA ሾBASICÃO DE PROBABILIDADESሿ
PሺA∪Bሻ ൌ PሺAሻ PሺBሻ – PሺA ∩Bሻ ൌ ଷ
ହ
ଶ
ଵ
ଵ ൌ 80% Resp: Alternativa C
- Num único lance de um par de dados honestos, a probabilidade de saírem as somas “múltiplo de 4” ou “primo” é:
a. 1/3 b. ¼ c. 1/5 d. 2/3 e. 2/
Solução
A = soma ser múltiplo de 4 B = soma ser primo
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12
- Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face 6 saía com o dobro de freqüência da face 1, e que as outras faces saíam com a freqüência esperada em um dado não viciado. Qual a freqüência da face 1?
Solução
P(1) = x P(6) = 2x P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = ଵ
P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 ⇒ x + ଵ +^
ଵ +^
ଵ +^
ଵ + 2x = 1
3x = ଶ ⇒^ x =^
ଵ ଽ ∴^ P(1) =^
ଵ ଽ
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ሺREVISÃOሻ
1. Qual a probabilidade de sair oás de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?
Solução:
Num baralho comum há 52 cartas, sendo 13 de cada naipe.
As cartas são: A (ás), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (valete), Q (dama) e K(rei).
Os naipes são: Os naipes são: 13 copas: ♥ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A 13 ouros: ♦ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A 13 naipe de paus: ♣ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A 13 espadas: ♠ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A
Como só há um ás de ouros, o número de elementos do evento é 1; logo: P = ଵ ହଶ
2. Qual a probabilidade de sair umrei quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?
Solução:
Como há 4 reis, o número de elementos do evento é 4; logo:
P = ସ ହଶ =^
ଵ ଵଷ
- Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosos. Sendo retirada uma peça, calcule:
a. a probabilidade dessa peça ser defeituosa b. a probabilidade dessa peça não ser defeituosa
Solução:
a.Temos: P = ସ ଵଶ =^
ଵ ଷ
ܲ ሺܣሻ ൌ (^) ଷଽ e ܲ ሺܤሻ ൌ ଵହଷ P(A∩B) = 0
P(A∪B) = P(A) + P(B) ⇒ P(A∪B) = (^) ଷଽ + ଵହଷ = ଶଷ
ALTERNATIVA D
TMA ሾBASICÃO DE PROBABILIDADESሿ
- São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual é a probabilidade de tirarmos uma dama e um rei, não necessariamente nessa ordem?
Solução:
A probabilidade de tirarmos uma dama do primeiro baralho (4/52) e um rei do
segundo (4/52) é, de acordo com o problema 7: P 1 = ସ ହଶ x^
ସ ହଶ =^
ଵ ଵଷ x^
ଵ ଵଷ =^
ଵ ଵଽ A probabilidade de tirarmos um rei do primeiro baralho e uma dama do segundo é:
P 2 = ସ ହଶ x^
ସ ହଶ =^
ଵ ଵଽ Como esses dois eventos são mutuamente exclusivos, temos: P = ଵ ଵଽ +^
ଵ ଵଽ =^
ଶ ଵଽ
- Dois dados são lançados conjuntamente. Determine a probabilidade da soma ser 10 ou maior que 10.
Solução: A soma deverá ser, então, 10, 11 ou 12. Para que a soma seja 10, a probabilidade é: (4, 6) (5, 5) ⇒ n(10) = 3 ⇒ p 10 = ଷ ଷ (6, 4) Para que a soma seja 11, a probabilidade é: (5, 6)
⇒ n(11) = 2 ⇒ p 11 = ଶ ଷ (6, 5)
Para que a soma seja 12, a probabilidade é: (6, 6) ⇒ n(12) = 1 ⇒ p 12 = ଵ ଷ Com esses três eventos são mutuamente exclusivos, temos:P = ଷ ଷ +^
ଶ ଷ +^
ଵ ଷ =^
ଷ =^
ଵ
- Numa pequena cidade, realizou‐se uma pesquisa com certo número de indivíduos do sexo masculino, na qual procurou‐se obter uma correlação entre a estatura de pais e filhos. Classificaram‐se as estaturas em 3 grupos: alta ሺAሻ, média ሺMሻ e baixa ሺBሻ. Os dados obtidos na pesquisa foram sintetizados, em termos de probabilidades, na matriz:
a. 13/32 b. 9/94 c. 3/4 d. 25/64 e. 13/
Solução: Pai Filho Neto M B A ⇒ ଵ ସ ݔ^
ଵ଼ ൌ ଵ ଷଶ M M A ⇒ ଷ଼ ݔ ଷ଼ ൌ ଽ ସ ⇒^ P =^
ଵ ଷଶ +^
ଽ ସ +^
ଵହ ସ =^
ଶ ସ =^
ଵଷ ଷଶ Alternativa A M A A ⇒ ଷ଼ ݔ ହ଼ ൌ ଵହ ସ
O elemento da primeira linha e segunda coluna da matriz, que é 1/4, significa que a probabilidade de um filho de pai alto ter estatura média é 1/4. Os demais elementos interpretam‐se similarmente. Admitindo‐se que essas probabilidades continuem válidas por algumas gerações, a probabilidade de um neto de um homem com estatura média ter estatura alta é:
ሾBASICÃO DE PROBABILIDADESሿ TMA
EXERCÍCIOS
- Determine a probabilidade de cada evento:
a. Um número par aparece no lançamento de um dado. b. Uma figura aparece ao se extrair uma carta de um baralho de 52 cartas. c. Uma carta de ouros aparece ao se extrair uma carta de um baralho de 52 cartas. d. Uma só coroa aparece no lançamento de três moedas.
- Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2, 3, ..., 49, 50. Determine a probabilidade de:
a. o número ser divisível por 5. c. o número ser divisível por 6 ou por 8; b. o número terminar em 3; d. o número ser divisível por 4 e por 6.
- Dois dados são lançados simultaneamente. Determine a probabilidade de:
a. a soma ser menor que 4; b. a soma ser 9; c. o primeiro resultado ser maior que o segundo; d. a soma ser menor ou igual a 5.
- Uma moeda é lançada duas vezes. Calcule a probabilidade de:
a. não ocorrer cara nenhuma vez; b. obter‐se cara na primeira ou na segunda jogada.
- Um inteiro entre 3 e 11 será escolhido ao acaso.
a. qual a probabilidade de que esse número seja ímpar? b. qual a probabilidade de este número seja ímpar e divisível por 3?
- Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de que a carta retirada seja uma dama ou uma carta de copas?
- No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de se obter um par de pontos iguais?
- Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retiradas aleatoriamente 2 peças, calcule:
a. a probabilidade de ambas serem defeituosas; b. a probabilidade de ambas não serem defeituosas; c. a probabilidade de ao menos uma ser defeituosa.
- No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair o número 6 ou um número ímpar?
- Duas cartas são retiradas ao acaso de um baralho de 52 cartas. Calcule a probabilidade de se obterem:
a. dois valetes; b. um valete e uma dama.
- Um casal planeja ter três filhos. Determine a probabilidade de nascerem:
a. três homens; b. dois homens e uma mulher.
- Uma moeda é lançada três vezes. Calcule a probabilidade de obtermos:
a. três caras; b. duas caras e uma coroa; c. uma cara somente; d. nenhuma cara; e. pelo menos uma cara; f. no máximo uma cara.
- Um dado é lançado duas vezes. Calcule a probabilidade de:
a. sair um 6 no primeiro lançamento; b. sair um 6 no segundo lançamento; c. não sair 6 em nenhum lançamento; d. sair um 6 pelo menos.
ሾBASICÃO DE PROBABILIDADESሿ TMA
9. PROBABILIDADE NO EXCEL
A probabilidade PሺAሻ do evento A de um experimento aleatório pode ser obtida como a porcentagem de ocorrência do evento A depois de repetir o experimento um número muito grande de vezes. Por exemplo, repetindo um
número muito grande de vezes o lançamento de uma moeda, afreqüência relativa do evento cara poderá ser obtida do
resultado de dividir o número de caras observadas pelo número de repetições do experimento. Neste caso, afreqüência
relativa do evento cara é a probabilidade do evento cara. A simulação do lançamento de uma moeda foi realizada na
planilha Simulação incluída na pasta Probabilidade01.xlsm. A planilha Simulação realiza 1.500 lançamentos de uma moeda,
FIGURA 01
Na simulação do lançamento da moeda utilizamos a ferramenta deGeração de número aleatório para gerar os dígitos
aleatórios 0 e 1 que representam, respectivamente, os eventoscoroa ecara. Para facilitar a obtenção das simulações, o
procedimento de amostragem foi mecanizado com a construção da macro SSiimmuullaaççããoo no ambiente VBA do Excel 2007 4.
A planilha Simulação foi construída orientada para calcular afreqüência relativa do evento cara do lançamento de uma
moeda.
Sub Simulação()
Application.Run "ATPVBAEN.XLAM!Random", ActiveSheet.Range("$C$5"), 1, 1500 _ , 7, , ActiveSheet.Range("$E$10:$F$11") Application.ScreenUpdating = False Range("C5:C1504").Select Selection.Copy Range("B5").Select Selection.PasteSpecial Paste:=xlValues, Operation:=xlNone, SkipBlanks:= _ False, Transpose:=False Calculate Range("C5:C1504").Select Selection.ClearContents Range("B5").Select Application.ScreenUpdating = True
(^4) Cuidado no Excel 2003 e anteriores, use “ATPVBAEN.XLA!Random”
TMA ሾBASICÃO DE PROBABILIDADESሿ
End Sub
- No intervalo B5:B1504 são registrados os resultados de 1.500 lançamentos de uma moeda. Esse intervalo é
preenchido de uma vez pela ferramenta de análiseGeração de números aleatórios.
- A quantidade de caras dos primeiros cinqüenta lançamentos é registrada na célula E5 ሺatravés da função =SOMA($B$5:B54) definida nesta célula E5ሻ. Da mesma forma, a quantidade de caras dos primeiros cem lançamentos é registrada na célula F5 ሺalterando o intervalo da função SOMA pra $B$5:B104ሻ.; neste resultado estão incluídos os resultados dos primeiros cinqüenta lançamentos. Procedemos da mesma forma até completar a quantidade de caras de 1.500 lançamentos na célula AH5.
- No intervalo E6:AH6 são calculadas as quantidades de coroas pela fórmula =E4-E5.
- No intervalo E7:AH7 são calculadas asproporções de caras oufreqüências relativas de caras utilizando a fórmula =E5/E4.
- Com asfreqüências relativas construímos o gráfico dafreqüência relativa do eventocara em função do número de lançamentos. Definimos duas séries de dados: Série1 – com os valores de X dados por: =’Simulação’!$E$4:$AH$4 e os valores de Y dados por: ='Simulação '!$E$7:$AH$7 e Série2 – com valores de X dados por: ='Simulação '!$G$10:$G$11 e os valores de Y dados por: ='Simulação '!$H$10:$H$11.
- Pressionando o botão Nova Simulação o modelo realiza um novo grupo de 1.500 lançamentos e constrói o gráfico, como mostrado na Figura.
Aprobabilidade de obtercara no lançamento de uma moeda é 0,50. Entretanto, esse resultado não significa que depois
de lançar uma moeda cinqüenta vezes seguidas sempre ocorrerão vinte e cinco caras e vinte e cinco coroas. Os gráficos
abaixo mostram que afreqüência relativa do eventocara é variável.
FIGURA 02
FIGURA 03
- O gráfico dasfreqüências relativas de caras da Figura 01 começa com 56%, oscila um pouco abaixo de 50% e termina perto de 50%.
- O gráfico dasfreqüências relativas de caras da Figura 02 começa com 52%, oscila abaixo e acima de 50% e termina perto de 52%.
- O gráfico dasfreqüências relativas de caras da Figura 03 começa com 58%, oscila ligeiramente em torno de 50% e termina perto de 48%. Se o experimento for repetido um número muito grande de vezes, bem maior que 1.500, a diferença entre a freqüência relativa do evento cara e a probabilidade teórica 50% será cada vez menor. Qual o significado de um número muito grande de vezes? Quanto maior o número n de lançamentos, mais próximo o resultado estará de 50%. Em termos matemáticos n tende a infinito, lei dos grandes números, e a probabilidade do evento cara é obtida com a fórmula:
TMA ሾBASICÃO DE PROBABILIDADESሿ
- Utilizando os algarismos 0, 1, 2, 3, 6, 9, quantos números pares de 5 algarismos distintos podem ser formados?
Solução
- 1 = 120 4. 4. 3. 2. 2 = 192
0 ≠ 0 4,
Podem ser formados 312 números pares com 5 algarismos distintos. Outra solução: x = total – ímpares ⇒ x = 600 – 288 = 312
- Quantos números de 4 algarismos apresentam pelo menos 2 algarismos iguais?
Solução
Total = 9 · 10 · 10 · 10 = 9. 4 distintos = 9 · 9 · 8 · 7 = 4. x = 9.000 – 4. x = 4.
- Sete pessoas, entre elas Bento e Paulo, estão reunidas para escolher, entre si, a diretoria de um clube formada por um presidente, um vice‐presidente, um secretário e um tesoureiro. Determine o número de maneiras de compor a diretoria, onde Paulo é vice‐presidente e Bento não é presidente nem tesoureiro. Solução
U = {Bento, Paulo, P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P 5 }
- 4 = Presidente v. presidente secretário tesoureiro Exceto Paulo Resto Exceto Paulo e Paulo, Bento Bento e o escolhido p/presidente
10. ARRANJOS
Os resultados dos Exemplos 9.1 e 9.2 mostram que afórmula da multiplicação dá o número de resultados associados de
dois ou mais grupos. Afórmula do arranjo dá o número de arranjos de um mesmo grupo.
EXEMPLO 10.
Qual o número de arranjos de 5 objetos identificados pelas letrasa,b,c,d ee, tomados três a três?
Solução
Para contar o número de permutações procedemos como segue:
- O primeiro objeto pode ser qualquer um dos cinco objetos a , b , c , d e e.
- O segundo objeto será um dos quatro objetos restantes.
- O terceiro objeto poderá ser um dos três objetos restantes.
- Pela fórmula da multiplicação há 5 x 4 x 3 = 60 palavras de três letras distintas.
O resultado do Exemplo 10.1 é o número de permutações de cinco objetos tomados 3 a 3. De forma geral, o número Aሺn,rሻ de permutações de n objetos associados em grupos de r é calculado com a fórmula:
Aሺn,rሻ ൌ n x ሺn – 1ሻ x... x ሺn – r 1ሻ
Utilizando a notação fatorial: n! ൌ n x ሺn – 1ሻ x ሺn – 2ሻ x... x 3 x 2 x 1, com 0! ൌ1:
݊ ൌ ሻ ݎ ,݊ሺܣ
Aplicando esta última fórmula para calcular o resultado do Exemplo 10.1:
ܣሺ5,3ሻ ൌ
O Excel dispõe das funções estatísticas FATORIAL e PERMUT cujas sintaxes são as seguintes:
ሾBASICÃO DE PROBABILIDADESሿ TMA
FATORIALሺnሻ
A função FATORIAL dá o fatorial do número n sendo n um número não‐negativo^6. Por exemplo, o fatorial de n ൌ 3 é:
3! ൌ 3 x 2 x 1 ൌ 6
EXEMPLO 1
- Um casal e seus quatros filhos, ao posarem para uma fotografia, ficaram em pé, um ao lado do outro. O número de modos que eles poderão se dispor, se os pais deverão ficar juntos é: aሻ 60 dሻ 720 bሻ 36 eሻ 120 cሻ 240.
Solução
P M F 1 F 2 F 3 F 4 = 5! 2! = 240... Alternativa C
PERMUTሺn;rሻ
A função PERMUT dá o número de arranjos de n elementos tomados em grupos de r. Por exemplo, o número de permutações de cinco objetos tomados 3 a 3 do Exemplo 10.1 é obtido como =PERMUT(5;3) → 60.
Vejamos um caso especial da permutação. Se x ൌ r o número de permutações será igual a: ܲ ݊,݊ሺ ሻ ൌ ! ሺି ሻ! ൌ݊! que é a
própria expressão do fatorial den, que representa o número de permutações den objetos tomados todos ao mesmo
tempo. Por exemplo, se os cinco objetosa,b,c,d ee do Exemplo 10.1 forem tomados ao mesmo tempo, o número de
permutações seria igual a 120, resultado obtido com a fórmula da multiplicação ou utilizando a função do Excel: =PERMUT(5;5) → 120.
EXEMPLO 2
As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 73ª palavra nessa lista é: aሻ PROVA dሻ ROVAP bሻ VAPOR eሻ RAOPV cሻ RAPOV.
Solução Começados por A: 1 4 3 2 1 = 24 anagramas A Começados por O: 1 4 3 2 1 = 24 anagramas O Começados por P: 1 4 3 2 1 = 24 anagramas P ______ 72 anagramas O próximo é o primeiro começando com R. R A O P V ⇒ Este é o de número 73.
EXEMPLO 3
Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as possíveis sequências dessas músicas, serão necessárias aproximadamente: a. 100 dias b. 10 anos c. 1 século. d. 10 séculos. e. 100 séculos.
Solução Permutação das 10 músicas = 10! Considerando, aproximadamente, 1 ano por 360 dias, temos: ଵ .ଽ .଼ . . .ହ .ସ .ଷ .ଶ .ଵ ଷ ൌ 10.080 ؆ 10.000 ݏ ݊ܽ^ 100 séculos^ Alternativa E
11. COMBINAÇÕES
O resultadob,c,d como os resultadosc,b,d ed,c,b fazem parte dos sessenta resultados da permutação de cinco
objetos identificados pelas letrasa,b,c,d ee tomados três a três. Como estes três resultados têm os mesmos objetosb,c
(^6) Se n não for inteiro será truncado antes de realizar o cálculo. O Excel dispõe também das funções FACTDOUBLE e
MULTINOMIAL.
ሾBASICÃO DE PROBABILIDADESሿ TMA
2.Suponha que depois de lançar uma moeda trinta mil vezes seguidas a freqüência relativa do evento cara seja igual a 0,70. É razoável aceitar esse resultado?
- Jogue um dado e observe o resultado. Se o experimento for repetido um número muito grande de vezes, que proporção do total de lançamentos terá o resultado observado no primeiro lançamento do dado?
- Se depois de lançar um dado 12 vezes seguidas a freqüência relativa do resultado 5 for 75% é razoável aceitar esse resultado?
- Continuando com o lançamento de uma moeda 3 vezes seguidas, qual a probabilidade de obter pelo menos 2 coroas?
- Continuando com o lançamento de uma moeda 3 vezes seguidas, qual a probabilidade de obter as 3 moedas com a mesma face?
- No lançamento de um dado, qual a probabilidade de obter: aሻ um número menor que cinco e bሻ um número par.
- Uma moeda é lançada duas vezes seguidas. Sabendo que o resultado de uma das moedas foi cara, qual a probabilidade que a outra moeda seja também cara?
- Um homem tinha dois gatos, um preto e um branco. O branco era macho. Qual é a probabilidade de que o outro fosse macho?
- Um homem tinha dois gatos. Um deles, pelo menos, era macho. Qual a probabilidade de que os dois fossem machos?
- Semanalmente são sorteados seis números de um grupo de 60 números. Quantos são os resultados possíveis de um sorteio semanal?
- Continuando com o problema 11. Se você concorrer nesse sorteio, qual a probabilidade de acertar o prêmio?
- Semanalmente são sorteados 5 números de um grupo de 80 números. Quantos são os resultados possíveis de um sorteio semanal e qual a probabilidade de acertar o prêmio?
- O fabricante de microcomputadores decidiu vender pela internet unidades padronizadas definidas pelo computador. Para começar estabeleceu as seguintes alternativas: dois tipos de CPU, duas memórias RAM, três capacidades de discos rígidos e quatro tipos de monitores. Quantas configurações são possíveis de montar?
15.Lei de Benford^7.
“O professor Theodore P. Hill pede sempre uma lição de casa especial para seus alunos de matemática, no Instituto de Tecnologia da Geórgia. Parte deles deve lançar uma moeda duzentas vezes e registrar fielmente seu resultado, enquanto a outra simplesmente deve fingir que jogou a moeda e inventar um resultado para os duzentos supostos arremessos. No dia seguinte, para espanto dos alunos, Hill consegue, com breve olhada nos trabalhos, apontar quase
todos os que fraudaram os lançamentos. A verdade, disse ele em uma entrevista, é que a maioria das pessoas não sabe
quais são as reais probabilidades de um exercício como esse e, portanto, não consegue inventar dados convincentes. ...
Em algum ponto de uma série de duzentos arremessos de moeda, ou cara ou coroa aparecerá seis ou mais vezes seguidas. Aqueles que fraudaram um resultado não sabiam disso e evitaram simular longas sequências de caras ou coroas, porque, erroneamente, pensaram ser improvável.” Verifique a afirmação do professor Hill na coluna B do
modelo Simulação.
7 Do artigoAplicação do teorema pode indicar fraudes de Malcom W. Browne publicado no jornal O Estado de São
Paulo, 9/8/1998.
