Cap´ıtulo 12
Estruturas Alg´ebricas
12.1 Introdu¸c˜ao
Exemplo 12.1.1. Verifique se os an´eis 2Ze 4Zs˜ao isomorfos.
Solu¸c˜ao: Inicialmente, seja f: 2Z→4Zum homomorfismo de an´eis. Portanto,
temos f(4) = f(2 + 2) = f(2) + f(2) e f(4) = f(2.2) = f(2)f(2). Logo, vem
que f(2) + f(2) = f(2).f(2). Al´em disso, fazendo f(2) = p. Logo, encontramos
2p=p2, onde p∈Z. Assim, obtemos p= 0 ou p= 2. Mas, n˜ao podemos
ter p= 2, pois 2 /∈4Z. Dessa forma, resulta que f(2) = 0. Portanto, segue
que f(2k) = f(2).f(k) = 0, para todo k∈Z. Ou seja, conclu´ımos que o ´unico
homomorfismo existente entre esses dois an´eis ´e o nulo. Portanto, eles n˜ao s˜ao
isormorfos.
Exemplo 12.1.2. Verifique se os an´eis Q[√3] e Q[√5] s˜ao isomorfos.
Solu¸c˜ao: Inicialmente, seja f:Q[√3] →Q[√5] um homomorfismo de an´eis. Mas,
sabendo que Q[√5] ´e um dominio de integridade, temos que f(1) = 1. Portanto,
segue que f(p) = p, para todo p∈Q. Al´em disso, temos 3 = f(3) = f(√3.√3) =
f(√3).f(√3) = (f(√3))2. Logo, vem que f(√3) = ±√3. Por outro lado, se f
fosse sobrejetora, existiriam a, b ∈Qde modo que f(a+b√3) = √5. Portanto,
temos a+b√3 = √5. Agora, elevando os dois membros ao quadrado, obtemos
a2+ 2ab√3+3b2= 5. Ou seja, a2+ 3b2= 5 e a.b = 0. Logo, se tivermos a= 0
ent˜ao b=±q5
3/∈Q. De modo semelhante, se tivermos b= 0 ent˜ao a=±√5/∈Q.
Portanto, de qualquer forma chegamos a uma contradi¸c˜ao. Logo, conclu´ımos que o
´unico homomorfismo entre os an´eis Q[√3] e Q[√5] ´e o nulo. Ou seja, eles n˜ao s˜ao
isomorfos.
Exemplo 12.1.3. Mostre que os an´eis 2Ze 5Zn˜ao s˜ao isomorfos.
Exemplo 12.1.4. Mostre que os an´eis Q[√2] e Q[√7] n˜ao s˜ao isomorfos.
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