Estudo das derivadas, Esquemas de Cálculo

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Instituto Nacional de Telecomunicações

Curso de M003 - Cálculo I

o

Período

Capítulo 2

2o Semestre de 2017

Capítulo 2

DERIVADAS

2.1. Acréscimo da variável – x

Dados dois valores 0 x e 1 x da variável x, com 0 1 x  x, chamamos de acréscimo da

variável a diferença

1 0 x x x

x  x  x 1 0

2.2. Acréscimo da função – y

Para toda função y  f(x), quando a variável independente x sofre um acréscimo x ,

consequentemente a variável dependente y sofre um acréscimo y. Este efeito é

ilustrado no gráfico a seguir.

De forma geral, o acréscimo da função é dado por y  f( xx)f(x) sempre que x

sofrer um acréscimo x.

Exemplo 01: Calcule o acréscimo da função y  x²  2 x após a variável x sofrer um

acréscimo x.

2.5. Derivada de uma função em um ponto x a

É o valor da derivada da função calculada em x  a, desde que f a  D.

Exemplo 04: Um corpo se desloca no espaço segundo a função s( t) 5  2 t 3 t²

(MRUV), na qual s( t) indica a posição do corpo em metros e t o tempo em segundos.

Pede-se:

a) Sua velocidade média no intervalo t [ 1 , 5 ]segundos.

b) Sua velocidade nos instantes t  1 s e t  5 s.

2.6. Álgebra das derivadas

Utilizaremos agora a definição matemática de uma derivada para construirmos uma

tabela de derivadas das principais funções.

x

f x x f x f x x 



' ( ) lim 0

D1) Função constante

f ( x) K ( K ) f' (x) 0

Exemplo 05: Por que a derivada de toda constante em relação a uma variável é igual a

zero?

Exemplo 06: Calcule a derivada das funções a seguir em relação a x.

a) f( x) 2

b) f(x) 

c) f ( x)t²

D2) Função potência

n f ( x) x

1 '( )

 

n f x nx

Exemplo 07: Demonstre a derivada da função potência utilizando a definição de

derivadas.

Exemplo 08: Calcule a derivada das funções a seguir em relação a x.

a)

6 f ( x )x

b) f (x)x

c)

x

f x

d) 4

x

f x 

e) f (x) x

f) 3 ²

x

f x 

g)

5 f ( x )t

D3) Derivada de uma função multiplicada por uma constante ( K)

Se y  Kf(x), então K f'( x)

dx

dy  .

Utilizando a definição de derivadas, temos

lim

lim 0 0

K f x x

f x x f x K x

K f x x K f x

dx

dy

x x

 

Exemplo 09: Calcule:

a) ( 3 x²)

dx

d

b) ^ 

5 D 4 y Y

c)  

x

D

X

d) 



dt t

d 2

D4) Derivada de uma soma de funções

Se u( x) e v (x) são funções deriváveis e f ( x) u(x)v(x), então f ' (x) u'(x)v'(x),

ou seja, a derivada da soma de funções é a soma das derivadas das mesmas funções.

Utilizando a definição de derivadas, temos

D5) Função exponencial

x f ( x) a  a  0 , a 1 f ' (x) a ln(a)

x 

Exemplo 15: Demonstre a derivada da função exponencial utilizando a definição de

derivadas.

Exemplo 16: Calcule

dx

dy para as funções a seguir.

a)

x y  3  2

b)  4  3

x y e

c)

t y  5

d)

x

y e 

D6) Função logarítmica

f ( x) log (x ) a   a 0 , a 1

ln( )

x a

f x 

Exemplo 17: Demonstre a derivada da função logarítmica utilizando a definição de

derivadas.

Exemplo 18: Calcule y ' (x)para as funções a seguir.

a) 3 log ( ) 2 log( ) 2 3 y  x  x

b) y  5 ln(x) 4 log(x)

D7) Produto de funções

Se (^) u( x) e (^) v( x) são funções de x deriváveis e (^) f ( x) u(x)v(x), pela definição de

derivadas, temos

h

u x h v x h u x v x f x h

' ( ) lim 0



Tomando a equação anterior e adicionando e subtraindo u( x h)v(x) ao seu

numerador, encontramos

lim ( ) lim

'( ) lim ( ) lim

'( ) lim ( )

'( ) lim

0 0 0 0

0

0

f x ux v x v x u x

h

u x h u x v x

h

vx h v x f x u x h

h

u x h u x v x h

vx h v x f x u x h

h

u x h vx h ux h v x u x h vx u x v x f x

h h h h

h

h

   





De forma resumida, u v u' v u v'

dx

d     . Este resultado é conhecido como regra do

produto de derivação, de onde se conclui que a derivada do produto de duas funções não

é igual ao produto das derivadas das mesmas funções. Para três funções de x deriváveis,

dadas por (^) u( x), (^) v( x)e (^) h( x), temos

u v h u' v h u v'h u v h'

dx

d           

Este resultado pode ser estendido para o produto de n funções de x. Por exemplo, ao

derivarmos em relação a x um produto de 5 funções de x, o resultado é dado pela

derivada da primeira função multiplicada pelas demais, somado com a derivada da

segunda função multiplicada pelas demais, somado com a derivada da terceira função

multiplicada pelas demais, somado com a derivada da quarta função multiplicada pelas

demais, somado com a derivada da quinta função multiplicada pelas demais.

Exemplo 19: Calcule a derivada em relação a x das funções a seguir.

a) 3 ³ log( ) 3 log( ) 5 3 y x x x

x    

b)

6 2 y 7 x ln(x) 2 x

x    

c) y 3 log(x)

t  

d)  5 6 ³ log( ) 6 y x x x

x    

D8) Quociente de funções

Se u( x) e v( x) são funções de x deriváveis e

( )

vx

u x f x  , pela definição de derivadas,

temos

c)

 

 

3 2 5

2 10 ln( )

3 4 log( )

x

x

x x x

x x x y

x

x

D9) Funções trigonométricas

a) f ( x) sen(x) f ' (x)cos(x)

Exemplo 21: Sabendo que (^) 



^ 

cos 2

sen ( ) sen( ) 2 sen

p q p q p q , utilize a

definição matemática de derivadas para calcular a derivada de f ( x) sen(x).

b) f ( x) cos(x) f ' (x)sen(x)

Exemplo 22: Sabendo que (^) 



^ 

sen 2

cos( ) cos( ) 2 sen

p q p q p q , utilize a

definição matemática de derivadas para calcular a derivada de f ( x) cos(x).

c) f ( x) tg(x) ' ( ) sec ( )

2 f x  x

Exemplo 23: Utilize a regra da divisão de derivação para calcular a derivada de

f ( x) tg(x ).

d) (^) f ( x) cotg(x) ' ( ) cossec( )

2 f x  x

Exemplo 24: Utilize a regra da divisão de derivação para calcular a derivada de

f ( x) cotg(x ).

e) f ( x) sec(x) f ' (x)sec(x)tg(x)

Exemplo 25: Utilize a regra da divisão de derivação para calcular a derivada de

f ( x) sec(x ).

f) f ( x) cossec(x) f ' (x)cossec(x)cotg(x)

Exemplo 26: Utilize a regra da divisão de derivação para calcular a derivada de

f ( x) cossec(x ).

D10) Funções trigonométricas inversas

Respeitados os domínios das funções trigonométricas inversas, temos:

a) (^) f ( x) arcsen(x) 2 1

x

f x



b) f ( x) arccos(x) 2 1

x

f x



c) f ( x) arctg(x) 2 1

x

f x



d) f ( x) arccotg(x) 2 1

x

f x 

e) f ( x) arcsec(x)

1

2 

x x

f x

f) f ( x) arccossec(x)

1

2 

x x

f x

A demonstração destas derivadas será possível após o estudo da regra da cadeia e de

derivação implícita, assuntos dos próximos itens.

2.7. Derivada de funções compostas – regra da cadeia

Se y  f(u) e u  g(x), então y é uma função composta de x, dada por y  f( g(x)),

como visto no capítulo 1.

Exemplo 27: Encontre a função composta y  f( g(x)), sabendo que:

a) (^) u  ln(x)

4 y  u

b)

2 u  x y cos(u)

A derivada de funções compostas, quando lidamos com apenas duas funções para obter

esta composta, é calculada da seguinte forma:

dx

du

du

dy

dx

dy  . Este resultado pode ser

estendido quando desejamos derivar uma função composta obtida de mais de duas

funções.

Exemplo 28: Calcule a derivada das funções a seguir em relação a x, utilizando a regra

da cadeia.

a)

2 3 y ( x  2 x)

b) sen ( )

4 y  x

c) sen ( )

4 y  x

d) ln(tg (e ))

2 x y 

16.  

 

arcsec ( ) ' 2

f x

f x f x

y f x y 

17.  

 

arccossec ( ) ' 2

f x

f x f x

y f x y 

   , e assim por diante.

D11) Funções hiperbólicas

Exemplo 29: Sabendo que

2

e e senh( )

x x

x

   e

2

e e cosh( )

x x

x

   , determine suas

derivadas e as derivadas de tgh( x) , cotgh (x ), sech( x )e cossech (x).

2.8. Derivada das funções implícitas

Uma função é dita implícita quando sua equação define mais de uma expressão ao

mesmo tempo ou quando não é possível fazer a separação de variáveis, ou seja, não é

possível escrever y  f(x).

Exemplo 30: São funções implícitas:

a) 9

2 2 x  y 

O item a representa a equação de uma circunferência de raio 3, centrada na origem dos

eixos coordenados. É uma função implícita devido ao fato de y definir duas expressões

em função de x.

b)

x xy y e cos(y) x 2

2    

O item b é uma função implícita devido ao fato de não ser possível escrever y  f(x).

A derivada de uma função implícita é obtida através da derivação dos dois membros da

equação em relação a x, considerando y  f(x), o que exige a utilização da regra da

cadeia. Existem funções que mesmo não sendo implícitas, podem ser derivadas de

forma implícita.

Exemplo 31: Calcule a derivada das funções a seguir em relação a x, utilizando a

derivação implícita.

a) 9

2 2 x  y 

b)

x xy y e cos(y) x 2

2    

c) cos( ) e 5 1

3 4 y  y x  x

y

d) sen (x) tg(y)

e) sen( )

2 2 4 y x  y

f) 2

5

4

5 sen( ) cos( )

y

x

y

x 

g) y arcsen (x)

h) y arctg( x)

D12) Função exponencial composta

A função exponencial composta possui o seguinte formato:

( ) ( )

gx y f x

Exemplo 32: De posse da função exponencial composta

() ( )

gx y  f x , tome o logaritmo

neperiano dos dois membros, derive y implicitamente em relação a x e prove que

( ) ln[ ( )] '( ) ( ) ( ) '( )

( ) () 1 f x f x g x g x f x f x dx

dy (^) g x gx      



Observe que a derivada de uma função exponencial composta corresponde a uma

combinação das derivadas de uma função exponencial e de uma função polinomial.

Exemplo 33: Derive as funções a seguir em relação a x.

a)  

x y x

3  2

b)

cos ( ) 2 2 x y  x

c) sen( )

x y  x

d)  

ln() cos sec( )

x y  x

Exemplo 34: Dada a parábola

2 y  x , obtenha a equação da reta tangente a esta curva

no ponto de abscissa x  2.

Exemplo 35: Encontre a equação da reta tangente à curva 9 0

3 3 x  y  xy no ponto

P( 2 , 4 ).

Exemplo 36: Encontre a equação da reta tangente à curva 2 0

2 y  yx no ponto de

abscissa x  3 , sabendo que este ponto pertence ao 3º quadrante do sistema de

coordenadas cartesianas.

Exemplo 37: Obtenha a equação da reta tangente à curva tg( )

sen( )

2

x

x y  no ponto de

abscissa. 3

2.10. Derivação sucessiva

Dada uma função y  f(x), sua derivada dada por y '  f'(x)é denominada derivada 1ª

de (^) y  f(x) ou derivada de ordem 1 de (^) y  f(x). Por sua vez, (^) y '  f'(x) pode ser

novamente derivada, resultando em y' ' f''(x), denominada derivada 2ª de y f(x)

ou derivada de ordem 2 de y  f(x). E assim sucessivamente, podemos calcular as

derivadas 3ª, 4ª, 5ª,..., nª de y  f(x). A notação utilizada para as derivadas de ordens

superiores é a seguinte:

( ) derivadan de ( ).

''' '''( ) derivada 3 de ( ).

'' ''( ) derivada 2 de ( ).

' '( ) derivada 1 de ( ).

( ) função primitiva.

() () a

a 3

3

a

2

2

a

f x

dx

d y y f x

f x

dx

d y y f x

f x dx

d y y f x

f x dx

dy y f x

y f x

n

n n n   

Observação:

n

n

n

dx

dy

dx

d y 



Exemplo 38: Para a função implícita dada por x y x y 3 x

2 2     , calcule a derivada

segunda de y em relação a x.

Exemplo 39: Calcule a derivada de ordem n das funções a seguir em relação a x.

a) 3 4 789

4 3 2 y x  x x 

b)

x y

2 e

 

c)

x y

  3

d) y ln(x)

a) 180 0

Q 

3 m b) 30 min

c)  10000



t

Q

l/min d) Q ' ( 10 ) 8000 l/min

13. a) 3 C/h

t

T

b) T ' ( 4 ) 3 , 2 C/h

14. a) 900 exemplares/semana

t

C

b) C ' ( 5 ) 1400 exemplares/semana

15. Demonstração feita em sala de aula.

a)  3  2 ln( 2 )

x

dx

dy b)

x

dx

dy  4 e c)  0 dx

dy

d)  e  ln( )

x

dx

dy

17. Demonstração feita em sala de aula.

a)

ln( 3 )

ln( 2 )

x x

y x b) ln( 10 )

x x

y x

a)

ln( 3 )

3 ln( 3 )log( )

ln( 5 )

9 log( ) 3

2

5

2

x

x

x x x

dx

dy

x x    

b) x x  x x

dx

dy (^) x 42 ln( ) 7 2 ln( 2 ) 2

5 2    

c)

ln( 10 )

dx x

dy

t

d)



ln( 6 )

ln( 5 ) 21 log( ) 2

2

6

2 x x x x

x dx

dy (^) x

a) x x

x x x x x x

dx

dy

    ln( ) ln( )

1

2

1  

 

b)

     

 

3 2 2

2 3 2 3 2 2

x x

x x x x x x x x x

dx

dy

c)

 

10

5 4

2 3 2 2

3 2 2 3 2 2

2

10 ln() 5

10 10 ln( 10 )ln( )

3 ( 5 4 )

3 ( 5 4 ) ( 3 4 )log() 3 ln( 3 )( 5 4 ) 3 ( 3 10 4 ) ln( 10 )

3 4 ( 2 3 )log( )

x

x x x x

x

x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x

dx

dy

x

x x

x

x x x

    

  

 



 

          ^  

  

    



21. Demonstração feita em sala de aula.

22. Demonstração feita em sala de aula.

23. Demonstração feita em sala de aula.

24. Demonstração feita em sala de aula.

25. Demonstração feita em sala de aula.

26. Demonstração feita em sala de aula.

a) ln ( )

4 y  x b) cos( )

2 y  x

a) 3  2   2 2 

2 2  x  x x

dx

dy

b) 4 sen ( )cos( )

3 x x dx

dy 

c) 4 cos( )

3 4 x x dx

dy 

d) 2 e cotg(e )sec (e )

2 x 2 x 2 2 x

dx

dy 

e)

2 ln( 2 )sen 5 3   5 3 5 3 ln( 3 )

cos 5 x 3 x x x x x

dx

dy x       



f)

         

 

6 410

2 6 45 2 6 44 5 3

7 2 5 cosln( ) 7 2 42 8

senln( )

x x

x x x x x x x

x

x

dx

dy

g)

sec ln( )

6 secln( ) sen 5 log( )secln( )tgln( ) ln( 10 )

5 cos 5 log( ) 5 ln( 5 ) 3 2 log( ) 5

2 6

(^32 )

x

x

x x x x x

x x x

dx

dy

x x x x x x x x    









    



   

senh (x) cosh(x)

dx

d

 cosh( x) senh(x)

dx

d

 tgh ( ) sech( )

2 x x

dx

d 

cotgh ( ) cossech( )

2 x x dx

d

  sech ( x) sech(x)tgh(x)

dx

d 