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MATRIZES
Adição
Dadas as matrizes e , ambas do mesmo tipo (), somar com é obter a matriz + , do tipo , onde cada elemento é a soma dos elementos de mesma posição de e. Por exemplo: Se e
então
Propriedades da Adição
Sendo , e matrizes do mesmo tipo (), temos as seguintes propriedades para a adição: a) comutativa: b) associativa: () + C = A + (B + C) c) elemento neutro: , sendo a matriz nula d) elemento oposto:
Subtração
Para entendermos a subtração de matrizes devemos saber o que é uma matriz oposta. A oposta de uma matriz é a matriz , cujos elementos são os números opostos de mesma posição de. Por exemplo:
Com a matriz oposta podemos definir a diferença de matrizes:
ou seja, para subtrair matrizes, somamos a primeira com a oposta da segunda. Assim para as matrizes e acima, temos:
Logo,
Multiplicação por um Número Real
Multiplicar um número por uma matriz é obter a matriz , cujos elementos são os elementos de multiplicados, todos por.
Propriedades
Sendo e matrizes do mesmo tipo e e números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades: a) associativa: b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: d) elemento neutro: , para , ou seja,
Multiplicação de Matrizes
Dadas as matrizes e , define-se como produto de por a matriz tal que o elemento é a soma dos produtos da i-ésima linha de pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de.
Observação
Somente existe o produto de uma matriz por outra matriz se o número de colunas de é igual ao número de linhas de. Se existir o produto de por , o tipo da matriz produto é dado pelo número de linhas de e pelo número de colunas de. Pode existir o produto de por , mas não existir o produto de por.
Propriedades
Verificadas as condições de exixtência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades: a) associativa: b) distributiva em relação à adição: ou c) elemento neutro: , sendo a matriz identidade de ordem
Geralmente a propriedade comutativa não vale para a multiplicação de matrizes ( ). Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo uma matriz nula, não implica, necessariamente, que ou.
Inversão de Matrizes
Dada uma matriz , quadrada, de ordem , se exixtir uma matriz , de mesma ordem, tal que , então é matriz inversa de. Representamos a matriz inversa por.
Pense um Pouco!
- Sempre podemos multiplicar matrizes de mesma ordem (iguais)?
- (ACAFE) Sejam as matrizes , e. A alternativa em que a expressão é possível de ser determinada é: a) b) c) d) e)
Exercícios de Aplicação
1. Sendo , determine sua inversa, se exixtir. 2. (ACAFE) Dada a matriz , seja a sua matriz transposta. O produto é a matriz:
