estudo de variável complexa, Resumos de Matemática

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C¡LCULO DE UMA VARI¡VEL COMPLEXA

M. P. Matos & S. M. Santos e Souza

Na construÁ„o do conjunto dos n˙meros reais, nos deparamos com algumas imperfeiÁıes de alguns conjuntos numÈricos, que serviram de ponto de partida para tal construÁ„o. Por exemplo, o conjunto N dos n˙meros naturais n„o contÈm os simÈtricos (inversos aditivos) de seus elementos; j· o conjunto Z, dos n˙meros inteiros, n„o contÈm os inversos multiplicativos de seus membros. O conjunto Q, constituÌdo das fraÁıes p=q, p; q 2 Z; q 6 = 0, n„o contÈm, por exemplo, o n˙mero real p 2 : A necessidade de se estudar n˙meros complexos ocorre no momento que desejamos resolver a equaÁ„o polinomial:

x^2 + 1 = 0;

que n„o possui soluÁ„o real. No sÈculo XVI, equaÁ„o desse tipo, despertou os estudiosos, pois todos sabiam que n„o existiam n˙meros como p 1 , cujo quadrado È negativo. Estes n˙meros existiam apenas na imaginaÁ„o das pessoas. O conceito de n˙mero ao longo dos sÈculos, evoluiu de maneira progressiva: o conjunto dos n˙meros deixou de conter apenas os inteiros positivos e incluiu os n˙meros negativos, racionais, e irracionais. J· no sÈculo XVIII, o conceito de n˙mero deu um passo maior quando o matem·tico alem„o Carl Friedrich Gauss estendeu o conjunto de n˙meros reais, dando a denominaÁ„o dos elementos de n˙meros imagin·rios ou n˙meros complexos. Introduziremos um estudo b·sico sobre os n˙meros complexos e as funÁıes complexas. A deÖniÁ„o de n˙meros complexos pode ser apresentada de maneira geomÈtrica, atravÈs de pontos no plano, ou diretamente de forma algÈbrica.

1.1 N˙meros Complexos

O conjunto dos pares ordenados (x; y) de n˙meros reais, equipado das operaÁıes:  Igualdade: (x; y) = (x^0 ; y^0 ) se, e somente se, x = x^0 e y = y^0 ;  AdiÁ„o: (x; y) + (x^0 ; y^0 ) = (x + x^0 ; y + y^0 ) ;  Produto: (x; y)
(x^0 ; y^0 ) = (xx^0 yy^0 ; xy^0 + x^0 y) :

ser· indicado por C: Do ponto de vista algÈbrico, o conjunto C se identiÖca com o plano cartesiano R^2 e as seguintes relaÁıes b·sicas s„o facilmente estabelecidas:

2 C¡LCULO EM UMA VARI¡VEL COMPLEXA M. P. MATOS & S. M. S. e SOUZA

(a) (x; y) = (x; 0) + (0; y) : (b) (0; y) = (0; 1)
(y; 0) : (c) (x; y) = (x; 0) + (0; 1)
(y; 0) : O par z = (x; y) ; do conjunto C; recebe o nome de n˙mero complexo e o n˙mero complexo (0; y) denomina-se imagin·rio puro. Com o propÛsito de mergulhar o conjunto R dos n˙meros reais no conjunto C dos n˙meros complexos, identiÖcamos, de forma biunÌvoca, o n˙mero real x com o n˙mero complexo (x; 0) e, neste contexto, temos R  C: Consequentemente,

y
(0; 1) = (y; 0)
(0; 1) = (0; y)

e, se representarmos o imagin·rio puro (0; 1) por i, teremos:

i^2 = (0; 1)
(0; 1) = ( 1 ; 0) = 1 ;

onde identiÖcamos o n˙mero complexo ( 1 ; 0) com o n˙mero real 1. AlÈm disso,

(x; y) = (x; 0) + (0; y) = (x; 0) + (0; 1)
(y; 0)

e o n˙mero complexo z = (x; y) anotar-se-· z = x + iy, onde identiÖcamos os n˙meros reais x e y com os n˙meros complexos (x; 0) e (y; 0), respectivamente. Com esta notaÁ„o, as operaÁıes em C tornam-se:

 Igualdade: x + iy = x^0 + iy^0 se, e somente se, x = x^0 e y = y^0 ;  AdiÁ„o: (x + iy) + (x^0 + iy^0 ) = x + x^0 + i(y + y^0 )  Produto: (x + iy)
(x^0 + y^0 ) = xx^0 yy^0 + i(xy^0 + x^0 y):

1.1.1 Propriedades AlgÈbricas

As operaÁıes algÈbricas deÖnidas em C gozam das seguintes propriedades:  z + w = w + z: (comutativa)  z + 0 = z e z
1 = z: (elemento neutro)  z + (w + u) = (z + w) + u e z
(wu) = (zw)
u: (associativa)  z
(w + u) = z
w + z
u: (distributiva)  z + (z) = 0: (existÍncia do simÈtrico)  se z 6 = 0; existe w 6 = 0 tal que z
w = 1: (existÍncia do inverso multiplicativo)

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torna o conjunto C um corpo algÈbrico, o que n„o ocorre com o espaÁo euclideano R^2 : AÌ est· uma boa raz„o para se estudar n˙meros complexos. Associados ao n˙mero complexo z = x + iy; destacamos:  jzj = p x^2 + y^2 : (mÛdulo de z)  Re(z) = x: (parte real de z)  Im(z) = y: (parte imagin·ria de z)  z = x iy: (conjugado de z) As seguintes relaÁıes s„o consequÍncias diretas das deÖniÁıes e o leitor pode comprov·-las, como parte do processo de treinamento.

(a) jzj = jzj (b) jzj^2 = z
z (c) z + w = z + w (d) z
w = z
w (e) z = z (f ) Re(z) = 12 (z + z) (g) Im(z) = (^21) i (z z) (h) (^1) z = (^) jzzj 2 ; z 6 = 0

e, usando o processo de InduÁ„o Finita, obtemos as seguintes relaÁıes mais gerais:

(i) z 1 + z 2 +


zn = z 1 + z 2 + z 3 +


+ zn (j) z 1
z 2
z 3
: : :
zn = z 1
z 2
z 3
: : :
zn:

Na Figura 1.2 ilustramos um n˙mero complexo z; o conjugado z; o simÈtrico z; o inverso 1 =z e o complexo iz:

Figura 1.2: Vis„o geomÈtrica de z; z; iz; 1 =z e z:

1.1.2 Desigualdades & Identidades

No conjunto dos n˙meros complexos n„o podemos deÖnir uma relaÁ„o de ordem, porÈm, como

CAPÕTULO 1 - O PLANO COMPLEXO 5

jzj ; z 2 C; È um n˙mero real, podemos comparar o mÛdulo de dois n˙meros complexos. A desigualdade triangular, que È uma generalizaÁ„o da mesma desigualdade conhecida no conjunto dos n˙meros reais, È bastante utilizada na an·lise de funÁıes complexas. LEMA 1.1.1 (Desigualdade Triangular) Dados dois n˙meros complexos z e w, ent„o:

jz + wj  jzj + jwj :

PROVA Da relaÁ„o jzj^2 = [Re(z)]^2 + [Im(z)]^2 ; segue que Re(z)  jRe(z)j  jzj e, portanto:

jz + wj^2 = (z + w)
(z + w) = jzj^2 + jwj^2 + z
w + z
w = jzj^2 + jwj^2 + z
w + z
w = jzj^2 + jwj^2 + 2 Re(z
w)  jzj^2 + jwj^2 + 2 jzj jwj = (jzj + jwj)^2 ;

de onde resulta que jz + wj  jzj + jwj :  (1.2)

A seguinte generalizaÁ„o da Desigualdade Triangular pode ser demonstrada pelo MÈtodo de InduÁ„o Finita: dados z 1 ; z 2 ; : : : ; zn 2 C, ent„o

jz 1 + z 2 + z 3 +


+ znj  X^ n k=

jzkj : (1.3)

LEMA 1.1.2 (Produtos Not·veis) Se z e w s„o n˙meros complexos, ent„o:

(z  w)^2 = z^2  2 z
w + w^2 e jz  wj^2 = jzj^2  2 Re (z
w) + jwj^2 : (1.4)

PROVA Usando as operaÁıes de soma e produto de n˙meros complexos, temos

(z  w)^2 = (z  w)
(z  w) = z
z  z
w  w
z + w^2 = z^2  2 z
w + w^2 :

Para a segunda parte, recordemos que jzj^2 = z
z e 2 Re (z) = z + z e, sendo assim,

jz  wj^2 = (z  w)
(z  w) = jzj^2  z
w  z
w + jwj^2 = jzj^2  z
w  z
w + jwj^2 = jzj^2  2 Re (z
w) + jwj^2 : 

CAPÕTULO 1 - O PLANO COMPLEXO 7

3. Se a e b s„o n˙meros reais, temos que pa^2 + b^2  jaj + jbj e, consequentemente:

jzj^2 = Re(z)^2 + Im (z)^2 ) jzj =

q Re(z)^2 + Im (z)^2  jRe(z)j + jIm (z)j : (1.7)

Por outro lado, usando a desigualdade 2 ab  a^2 + b^2 , com a = jRe (z)j e b = jIm (z)j, encontramos

(jRe (z)j + jIm (z)j)^2 = jRe (z)j^2 + 2 jRe (z)j jIm (z)j + jIm (z)j^2  2

jRe (z)j^2 + jIm (z)j^2

= 2 jzj^2 :

e daÌ resulta jRe (z)j + jIm (z)j  p 2 jzj : (1.8) Combinando (1.7) e (1.8), chegamos ‡s desigualdades:

jzj  jRe(z)j + jIm (z)j  p 2 jzj : (1.9)

4. Se z e w s„o n˙meros complexos, ent„o

jjzj jwjj  jz wj : (1.10)

De fato, da Desigualdade Triangular, segue que

jzj = jz w + wj  jz wj + jwj ) jzj jwj  jz wj jwj = jw z + zj  jz wj + jzj ) jwj jzj  jz wj

e combinando essas desigualdades, encontramos

jz wj  jzj jwj  jz wj , jjzj jwjj  jz wj :

5. Dados os n˙meros complexos z 1 ; z 2 e z 3 , com jz 2 j 6 = jz 3 j, temos que

z 1 z 2 + z 3 ^

jz 1 j jjz 2 j jz 3 jj :^ (1.11) De fato, da desigualdade (1.10), segue que jjz 2 j jz 3 jj  jz 2 + z 3 j e, portanto, 1 jjz 2 j jz 3 jj =^

jjz 2 j jz 3 jj ^

jz 2 + z 3 j )^

jz 1 j jjz 2 j jz 3 jj ^

jz 1 j jz 2 + z 3 j :

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6. Sejam z e w n˙meros complexos, com jzj  1 e jwj  1 : Temos que

jz + wj  j1 + w
zj (1.12)

e ocorre a igualdade se, e somente se, jzj = 1 ou jwj = 1: De fato, sendo jzj  1 e jwj  1 , ent„o jwj^2

1 jzj^2

 1 jzj^2 e, consequentemente, jzj^2 + jwj^2  1 + jzj^2 jwj^2. Agora,

jz + wj^2 = jzj^2 + jwj^2 + z
w + z
w  1 + jzj^2 jwj^2 + z
w + z
w = j1 + z
wj^2

e daÌ resulta jz + wj  j1 + z
wj : Por Öm, observamos que se jzj 6 = 1, ent„o:

jz + wj^2 = j1 + z
wj^2 , jzj^2 + jwj^2 = 1 + jzj^2 jwj^2 , jzj^2

1 jwj^2

= 1 jwj^2 , jwj = 1:

:::::::::::::::^ ESCREVENDO:::::::^ PARA:::::::::::::^ APRENDER^ (ExercÌcios 1.1)

1. Em cada caso, reduza a express„o ‡ forma a + ib; a; b 2 R: (a) (2 i) + (3 + 4i) (b) (2 + i) i
   (3 + 4i) (c) (1 + i)
   (2 + 2i) (d) (1 i)^12 (e) (1 i)
   p3 + i
   ^ (f ) (2 i)
   (2 + i) (g) (1 2 i)
   (3 + 2i)^1 (h) i^45
2. Repita o exercÌcio precedente com as expressıes:

(a) (^2) ^2 3 i (b) 2 2 + 3 ii (c) (^) (1 ^1 i) 2 (d) 3 i

(^30) i 19 2 i 1 (e)^

5 + 5i 3 4 i +^

4 + 3i :

3. Encontre n˙meros reais x e y, tais que 3 x + 2iy ix + 5y = 7 + 5i:
4. Em cada caso, calcule o valor da express„o.

(a) Re

2 + i

(b) Im

 (^) 2 + i 3 + 4i

(c) Im(1=z^2 ) (d) 1 + 4 4 + ii (e) jcos  + i sen j :

5. Se z e w s„o n˙meros complexos e w 6 = 0, comprove as seguintes propriedades:

(a) z + w = z + w (b) z = z (c) z
w = z
w (d) (z=w) = z=w:

6. Qual n˙mero real  faz com que o n˙mero complexo 2 + 1 ^ i i seja:

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1.2 Forma Exponencial (Polar)

Em Geometria AnalÌtica, um ponto P no plano, de coordenadas retangulares (x; y), pode ser repre- sentado por suas coordenadas polares. Dado z = x + iy um n˙mero complexo n„o nulo, sejam r e  as coordenadas polares do ponto P (x; y), isto È,

r = p x^2 + y^2 = jzj e  = arctan(y=x):

Ent„o

z = r cos  + i (r sen ) ; (1.13)

que È a forma polar do n˙mero complexo z: Para representar o n˙mero complexo (1.13) sob a forma exponencial, nos espelhamos nas sÈries reais e, formalmente, escrevemos

ei^ =

X^1

n=

(i)n n! = 1 +^ i^ +^

i^2 ^2 2! +^

i^3 ^3 3! +^

i^4 ^4 4! +^


^ +^

inn n! +^


=

2 2! +^

^4

4! +^


^ +

(1)n^ ^2 n (2n)! +^

• i

3 3! +^

^5

5! +^


^ +

(1)n^ ^2 n+ (2n + 1)! +^

= cos  + i sen :

Assim, ei^ = cos  + i sen  e a forma polar de z È, portanto:

z = rei^ = r (cos  + i sen ) ; onde r = jzj e  = arctan(y=x):

Um ‚ngulo , tal que tan  = y=x denomina-se um argumento de z e anota-se  2 arg (z). … claro que se  0 È um argumento de z; ent„o, os ‚ngulos  0 + 2k, k 2 Z; tambÈm s„o argumentos de z, tendo em vista que cos  e sen  s„o funÁıes perÌÛdicas, de perÌodo fundamental 2 . O argumento principal de z; denotado por Arg (z), È o argumento ; tal que  <   : … claro que se  2 R, ent„o Arg () = 0 e arg () = f :  = 2k; k 2 Zg : EXEMPLO 1.2.1 Das relaÁıes ei^ = cos  + i sen  e ei^ = cos  i sen , deduzimos que

cos  =^12

ei^ + ei

e sen  = 21 i

ei^ ei

EXEMPLO 1.2.2 Para expressar o n˙mero complexo z = 1 i na forma polar, notamos que x = 1 , y = 1 e r = p 2 , de modo que arctan(y=x) = = 4 : Como o ponto z = 1 i est· no terceiro quadrante,

CAPÕTULO 1 - O PLANO COMPLEXO 11

a equaÁ„o tan  = 1 nos d·  = 5= 4 ou  = 3 = 4 : Assim, Arg (z) = 3 = 4 e o argumento 5 = 4 È tal que 5 =4 = 3 =4 + 2: A forma polar do n˙mero complexo z È, portanto:

z = p 2[ cos (5=4) + i sen (5=4) ] ou p 2[ cos ( 3 =4) + i sen ( 3 =4) ] = p 2 e^3 i=^4 :

EXEMPLO 1.2.3 Se w = 3+3i; ent„o y=x = 1 e teremos arctan(y=x) = = 4 : Como w encontra-se no segundo quadrante, segue que  = =4 +  = 3= 4 e, desta forma:

w = 3 p 2[ cos (3=4) + i sen (3=4) ] = 3 p 2 e^3 =^4 :

Qualquer outro argumento de w È da forma 2 k+3= 4 ; k 2 Z, isto È, arg (w) = f = 2k + 3= 4 ; k 2 Zg :

LEMA 1.2.4 Dados z = rei^ e w = ei'^ dois n˙meros complexos n„o nulos, ent„o:

z  = rei; z
w = rei(+'); (^) w^1 =^1  ei'^ e (^) wz = r ei('):

AlÈm disso, z = w se, e somente se, r =  e  = ' + 2k; k 2 Z.

PROVA Considerando que z = r (cos  + i sen ) e w =  (cos ' + i sen '), temos:

z  = r (cos  i sen ) = r [cos () + i sen ()] = rei^ e z
w = r[ cos  cos ' sen  sen ' + i (cos  sen ' + sen  cos ') ] = r[ cos ( + ') + i sen ( + ') ] = (r) ei(+'):

Finalmente, z w =^

z
w jwj^2 =^

rei(') ^2 = (r=)^ e

i('): 

Veremos na sequÍncia a import‚ncia do Lema 1.2.4 nos c·lculos e operaÁıes com n˙meros complexos.

EXEMPLO 1.2.5 (RotaÁ„o) Qual a aÁ„o geomÈtrica da multiplicaÁ„o pelo n˙mero complexo ei'? Dado um n˙mero complexo z = rei, temos que

ei'^
z = ei'^
rei^ = rei(+');

de onde segue que o n˙mero complexo w = ei'^
z È tal que jwj = jzj e Arg (w) = ' + Arg (z). Geometricamente, o n˙mero w È determinado a partir do n˙mero z por uma rotaÁ„o anti-hor·ria de um ‚ngulo ', como sugere a Figura 1 : 3.

CAPÕTULO 1 - O PLANO COMPLEXO 13

COROL¡RIO 1.2.8 Se z 6 = 0, ent„o

Arg (i
z) =  2 + Arg (z) e Arg (1=z) = Arg (z) :

PROVA Considerando que =2 = Arg (i) e que Arg (z) = Arg (z), resulta:

Arg (iz) = Arg (i) + Arg (z) = =2 + Arg (z) e Arg (1=z) = Arg

z= jzj^2

= Arg (z) : 

1.2.1 FÛrmula de De Moivre

Para generalizar o Lema 1.2.4, deixe-nos considerar n n˙meros complexos zk = rk (cos k + i sen k) ; k = 1; 2 ; 3 ; : : : ; n

e comprovemos por induÁ„o a seguinte relaÁ„o: Y^ n k=

zk = (r 1
r 2
: : :
rn) [cos ( 1 +  2 + : : : + n) + i sen ( 1 +  2 + : : : + n)] : (1.14)

No caso n = 2, a relaÁ„o (1.14) È precisamente o Lema 1.2.4. Supondo a fÛrmula v·lida para n > 2 , mostremos que ela continua v·lida ao substituirmos n por n + 1. De fato, temos pelo Lema 1.2.4: nY+ k=

zk = Y^ n k=

zk

zn+1 =

h (r 1
r 2
: : :
rn)
ei(^1 +^2 +:::+n)

i

rn+1
ein+

= (r 1
r 2
: : :
rn
rn+1)
ei(^1 +^2 +:::+n+n+1)

e com isso comprovamos a relaÁ„o (1.14) para qualquer n˙mero natural n. Considerando em (1.14) zk = ei; k = 1; 2 ; 3 ; : : : n; chegamos ‡ FÛrmula de De Moivre:

(cos  + isen )n^ = cos(n) + isen( n); n = 1; 2 ; 3 ; : : : (1.15)

EXEMPLO 1.2.9 Calculemos o valor de (1 + i)^8. Temos que Arg (1 + i) = = 4 e, portanto:

(1 + i)^8 = [ p 2 (cos =4 + i sen =4) ]^8 = 16 (cos 2 + i sen 2) = 16:

EXEMPLO 1.2.10 Ainda com a FÛrmula de De Moivre, vamos calcular o valor de (1 i)^6 : Temos:

(1 i)^6 = 8[ cos (=4) + i sen (=4) ]^6 = 8[ cos ( 3 =2) + i sen ( 3 =2) ] = 8i:

14 C¡LCULO EM UMA VARI¡VEL COMPLEXA M. P. MATOS & S. M. S. e SOUZA

:::::::::::::::^ ESCREVENDO:::::::^ PARA:::::::::::::^ APRENDER^ (ExercÌcios 1.2)

1. A partir do resultado da operaÁ„o (2 + i)
   (3 + i), deduza a identidade:  4 = arctan (1=2) + arctan (1=3)^ :
2. Repita o exercÌcio precedente com a express„o (5 i)^4
   (1 + i) para chegar ‡ identidade:  4 = 4 arctan (1=5)^ ^ arctan (1=239)^ :
3. Calcule o valor da express„o Arg (z) + Arg (w), sendo z = 2 2 i e w = p 3 i
   ^6 :
4. Determine o argumento principal dos seguintes n˙meros complexos: (a) z = 3 (b) z = 2 2 i (c) z = 1 ip 3 (d) z = 4 i (e) z = (^) 1 + i^2 p 3 (f) z = (p 3 i)^6 :
5. Se z = 2i e w = 3ei=^3 ; represente no plano C os n˙meros complexos z; z + w; z w e w.
6. Usando a forma polar, deduza que: (a) i(1 ip3)(p3 + i) = 2 + 2ip 3 (b) (^) 2 +^5 i i = 1 + 2i (c) (1 + i)^7 = 8 (1 + i)
7. Use a FÛrmula de De Moivre

(cos  + i sen )n^ = cos (n) + i sen (n)

e comprove as seguintes relaÁıes trigonomÈtricas:

(a) cos (2) = cos^2  sen^2  e sen (2) = 2 sen  cos : (b) cos (3) = cos^3  3 cos  sen^2  e sen (3) = 3 cos^2  sen  sen^3 :

8. Calcule o valor de 1 +^

p 3 i 1 p 3 i

9. Em cada caso, reduza os n˙meros z e w ‡ forma polar e encontre as formas polares de z
   w e z=w: (a) z = p3 + 3i; w = 12 3 ip 3
   ^ (b) z = 1 + i; w = p3 + i (c) z = 1 + 2i; w = 2 + i:
10. Usando a forma polar, mostre que z = p 2 ip 2 È raiz da equaÁ„o z^4 (1 + 4i) z^2 + 4i = 0: