Funcoes de variavel complexa, Exercícios de Matemática

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Jo˜ao Carlos Beir˜ao & Bhangy Cassy

FUNC¸ ˜OES

DE VARI ´AVEL COMPLEXA

Maputo

Ficha T´ecnica

T´ıtulo: Fun¸c˜oes de vari´avel complexa Autores: Jo˜ao Carlos Beir˜ao e Bhangy Cassy Editor: Imprensa Universit´aria Composi¸c˜ao: Jos´e Ant´onio Nhavoto Capa: S´ergio Tique Impress˜ao: Imprensa Universit´aria No. de registo: —–/RLINLD/ Tiragem: 1000 Exemplares Data de publica¸c˜ao: 2006

´Indice

• 1 O corpo dos n´umeros complexos
  • 1.1 Defini¸c˜ao
    • plexos da forma (a, 0) 1.2 Isomorfismo entre R e o subconjunto C∗ dos n´umeros com-
  • 1.3 Forma alg´ebrica dos n´umeros complexos
  • 1.4 Complexos conjugados
  • 1.5 M´odulo de um complexo
  • 1.6 Representa¸c˜ao geom´etrica. Plano complexo
  • 1.7 Forma trigonom´etrica ou polar dos complexos
  • 1.8 Raiz de um n´umero complexo
    • complexo ampliado 1.9 Representa¸c˜ao esf´erica dos n´umeros complexos. Plano
  • 1.10 Impossibilidade de ordena¸c˜ao de C
  • 1.11 Exerc´ıcios
• 2 Topologia usual do plano complexo
  • 2.1 O espa¸co vectorial normado C
  • 2.2 Topologia usual do plano complexo
  • 2.3 Exerc´ıcios
• 3 Sucess˜oes e s´eries de n´umeros complexos ´Indice
  • 3.1 Sucess˜oes de n´umeros complexos
  • 3.2 S´eries de n´umeros complexos
  • 3.3 Exerc´ıcios
• 4 Fun¸c˜oes de uma vari´avel complexa. Limites e continuidade
  • 4.1 Defini¸c˜ao
  • 4.2 Limite de uma fun¸c˜ao num ponto
  • 4.3 Fun¸c˜oes cont´ınuas
    • 4.3.1 Continuidade num ponto
    • 4.3.2 Continuidade num conjunto
    • 4.3.3 Continuidade uniforme
  • 4.4 Exerc´ıcios
• 5 Deriva¸c˜ao
  • 5.1 Derivada
  • 5.2 Equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann
  • 5.3 Fun¸c˜oes anal´ıticas
    • 5.3.1 Pontos singulares.
  • 5.4 Fun¸c˜oes harm´onicas
  • 5.5 Regra de L’Hospital
  • 5.6 Exerc´ıcios
• 6 Fun¸c˜oes elementares
  • 6.1 Fun¸c˜ao exponencial
  • 6.2 Fun¸c˜oes trigonom´etricas
  • 6.3 Fun¸c˜oes hiperb´olicas ´Indice
  • 6.4 Fun¸c˜ao logar´ıtmica
  • 6.5 Fun¸c˜ao potencial
  • 6.6 Exerc´ıcios
• 7 Integra¸c˜ao
  • 7.1 Integral curvil´ıneo no plano complexo
  • 7.2 Teorema integral de Cauchy
  • 7.3 Independˆencia do caminho de integra¸c˜ao
  • 7.4 Integrais indefinidos
  • 7.5 F´ormula integral de Cauchy
    • 7.5.1 Generaliza¸c˜ao a dom´ınios multiplamente conexos
  • 7.6 Teorema de Morera
  • 7.7 Teorema de Liouville
  • 7.8 Teorema fundamental da ´algebra
  • 7.9 Desigualdade de Cauchy
  • 7.10 Teorema do valor m´edio de Gauss
  • 7.11 Teorema do m´odulo m´aximo
  • 7.12 Teorema do m´odulo m´ınimo
  • 7.13 F´ormulas integrais de Poisson para um c´ırculo
  • 7.14 F´ormulas integrais de Poisson para o semiplano
  • 7.15 Exerc´ıcios
• 8 S´eries de potˆencias
  • 8.1 S´eries de fun¸c˜oes complexas
  • 8.2 S´erie de potˆencias

´Indice

8.3 S´erie de Taylor....................... 141 8.4 S´erie de Mac-Laurin.................... 143 8.5 Exerc´ıcios.......................... 145

9 S´erie de Laurent. Res´ıduos 147 9.1 S´erie de Laurent...................... 147 9.2 Parte anal´ıtica e parte principal.............. 152 9.3 Singularidades isoladas duma fun¸c˜ao anal´ıtica.... 153 9.3.1 Singularidade no infinito.............. 156 9.4 Res´ıduos.......................... 157 9.4.1 C´alculo do res´ıduo................. 159 9.4.2 Res´ıduo no infinito................. 161 9.5 Teorema dos res´ıduos.................... 161 9.6 Res´ıduo logar´ıtmico.................... 166 9.7 Aplica¸c˜ao do m´etodo dos res´ıduos ao c´alculo de integrais reais............................. 169

9.7.1 Integrais do tipo

∫^2 π 0

F (sen θ, cos θ)dθ em que F ´e uma fun¸c˜ao racional................ 170

9.7.2 Integrais do tipo

∫^ ∞

−∞

P (x) Q(x) em que^ Q(x) n˜ao tem zeros reais e tem grau superior em pelo menos duas unidades ao do numerador P (x).......... 171 9.8 Exerc´ıcios.......................... 177

10 Representa¸c˜ao conforme 179 10.1 Aplica¸c˜oes conforme.................... 179 vi

Cap´ıtulo 1

O corpo dos n´umeros

complexos

1.1 Defini¸c˜ao

Considere-se o conjunto R^2 dos pares ordenados de n´umeros reais dotado dos seguintes axiomas:

Axioma 1.1. Igualdade. (a, b) = (c, d) sse a = c, b = d.

Axioma 1.2. Adi¸c˜ao. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).

Axioma 1.3. Multiplica¸c˜ao. (a, b) × (c, d) = (ac − bd, ad + bc).

Como se pode verificar sem dificuldade, a opera¸c˜ao de adi¸c˜ao definida atrav´es do axioma 1.2 confere a R^2 estrutura de grupo comutativo, visto que ´e associativa, comutativa, admite como elemento neutro o par (0, 0) e todo o elemento (a, b) admite um sim´etrico que ´e o par (−a, −b). A multiplica¸c˜ao definida no axioma 1.3, por seu turno, confere tamb´em a R^2 − {(0, 0)} estrutura de grupo comutativo, pois que ´e associativa, comutativa, tem como elemento neutro o par (1, 0) e todo o elemento

1

1.2. Isomorfismo entre R e o subconjunto C∗^ dos n´umeros complexos da forma (a, 0)

(a, b) 6 = (0, 0) admite um inverso

( (^) a a^2 + b^2 ,^

−b a^2 + b^2

. Al´em disso, a mul- tiplica¸c˜ao ´e distributiva em rela¸c˜ao `a adi¸c˜ao.

Tal como foram definidas, as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e de multiplica¸c˜ao conferem, portanto, a R^2 estrutura de corpo comutativo.

4.1 Defini¸c˜ao

Chama-se corpo dos n´umeros complexos , e representa-se por C, ao conjunto R^2 munido dos axiomas A1, A2 e A3.

Sendo C um corpo, tanto a adi¸c˜ao como a multiplica¸c˜ao admitem opera¸c˜ao inversa que se denominam, respectivamente, subtrac¸c˜ao e divis˜ao e se ex- primem atrav´es das f´ormulas

(a, b) − (c, d) = (a − c, b − d)

(a, b) ÷ (c, d) =

(ac + bd c^2 + d^2 ,

bc − ad c^2 + d^2

sendo, no caso da divis˜ao, (c, d) 6 = (0, 0).

1.2 Isomorfismo entre R e o subconjunto C∗

dos n´umeros complexos da forma (a, 0)

Sejam C∗^ o subconjunto de C constitu´ıdo pelos n´umeros complexos da forma (a, 0) e f a aplica¸c˜ao de R em C∗^ definida pela forma

f : a ∈ R → f (a) = (a, 0) ∈ C∗. 2

1.4. Complexos conjugados

alg´ebrica. Com efeito, como

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) × (0, 1)

utilizando a conven¸c˜ao sobre a representa¸c˜ao dos n´umeros complexos da forma (a, 0) e a unidade imagin´aria, a express˜ao anterior toma a forma

(a, b) = a + bi

cujo segundo membro se chama a forma alg´ebrica do n´umero complexo (a, b).

A representa¸c˜ao na forma alg´ebrica tem a vantagem de permitir efectuar as opera¸c˜oes entre complexos considerando as suas express˜oes alg´ebricas como bin´omios ordin´arios em i, desde que se substitua i^2 por −1 sempre que for caso disso. De facto

(a, b) + (c, d) = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i = (a + c, b + d) (a, b) × (c, d) = (a + bi) × (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i = = (ac − bd, ad + bc).

No complexo z = a + bi, o n´umero real a denomina-se a parte real de z e representa-se por Re(z); o n´umero real b denomina-se parte imagin´aria de z e representa-se por Im(z). De acordo com a natureza das suas partes real e imagin´aria um complexo z = a + bi diz-se:

• n´umero imagin´ario, se: Re(z) 6 = 0 e Im(z) 6 = 0;
• n´umero imagin´ario puro, se: Re(z) = 0 e Im(z) 6 = 0;
• n´umero real se Im(z) = 0.

1.4 Complexos conjugados

Defini¸c˜ao 1.2.

4

Cap´ıtulo 1. O corpo dos n´umeros complexos

Dois n´umeros complexos dizem-se conjugados quando tˆem as partes reais iguais e as partes imagin´arias sim´etricas.

Assim, o conjugado do complexo z = x + yi, que se representa por z, ´e o complexo z = x − yi.

Como se pode verificar sem dificuldade, o conjugado goza das seguintes propriedades:

Propriedade 1.1. O conjugado do conjugado de z ´e o pr´oprio z, isto ´e: z = z.

Propriedade 1.2. O conjugado da soma ´e igual `a soma dos conjugados das parcelas: z + w = z + w.

Propriedade 1.3. O conjugado do produto ´e igual ao produto dos con- jugados dos factores: z · w = z · w.

Propriedade 1.4. O conjugado do quociente ´e igual ao quociente dos conjugados: (^) ( (^) z

w

= (^) w z.

Propriedade 1.5. Re(z) = z^ + 2 z e Im(z) = z^ − 2 i^ z.

1.5 M´odulo de um complexo

Defini¸c˜ao 1.3.

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Cap´ıtulo 1. O corpo dos n´umeros complexos

Demonstra¸c˜ao. Seja

|z + w|^2 = (z + w) · (z + w) = = zz + zw + zw + ww = = |z|^2 + |w|^2 + zw + zw = = |z|^2 + |w|^2 + 2Re(zw).

Como Re(zw) ≤ |zw| tem-se

|z + w|^2 ≤ |z|^2 + |w|^2 + 2|zw| = |z|^2 + |w|^2 + 2|z||w| = (|z| + |w|)^2

de onde resulta |z + w| ≤ |z| + |w|. ¥

Proposi¸c˜ao 1.3. O m´odulo da diferen¸ca de dois n´umeros complexos ´e maior ou igual `a diferen¸ca dos seus m´odulos, isto ´e: |z − w| ≥ |z| − |w|.

Demonstra¸c˜ao. De acordo com a proposi¸c˜ao 1.2 anterior ´e

|z| = |(z − w) + w| ≤ |z − w| + |w|

e portanto |z − w| ≥ |z| − |w|. ¥

Proposi¸c˜ao 1.4. O m´odulo do quociente de dois n´umeros complexos z e w ´e igual ao quociente dos seus m´odulos: ∣∣ ∣ (^) wz

∣ =^ ||wz||.

Demonstra¸c˜ao. Pondo

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1.6 Representa¸c˜ao geom´etrica. Plano complexo

z = (^) wz · w e aplicando a Proposi¸c˜ao 1.1 vem |z| =

∣ (^) wz

∣ · |w|, ou seja, (^) ∣ ∣∣ z w

∣ =^ ||wz||.^ ¥

1.6 Representa¸c˜ao geom´etrica. Plano com- plexo

A defini¸c˜ao dos n´umeros complexos como pares ordenados de n´umeros reais sugere a possibilidade de os representarmos geometricamente atrav´es dos pontos do plano cartesiano R^2.

x (^) X

Y y O

P (x, y)

Fig. 1.1: z no plano

De facto, a todo o complexo z = (x, y) corresponde um ponto P do plano carte- siano R^2 , de abcissa x e ordenada y, que se chama imagem de z; reciprocamente, todo o ponto P do plano (Figura 1.1), de coordenadas x e y, ´e imagem dum com- plexo z = (x, y) que se chama o afixo de P. A correspondˆencia biun´ıvoca que assim se pode estabelecer entre os n´umeros com- plexos e os pontos do plano cartesiano R^2 permite, pois, interpretar geometricamente o complexo z = (x, y) = x+yi como sendo o ponto P do plano R^2 de coordenadas x, y. Nestas condi¸c˜oes, o plano cartesiano R^2 no qual est˜ao representados os n´umeros complexos chama-se o plano complexo. Os n´umeros complexos reais tˆem as suas imagens sobre o eixo das abcis- 8

1.7 Forma trigonom´etrica ou polar dos complexos

• o argumento positivo m´ınimo que corresponde ao ˆangulo θ que verifica a condi¸c˜ao 0 ≤ θ ≤ 2 π.

O complexo nulo n˜ao tem argumento (ou tem-no indeterminado).

1.7 Forma trigonom´etrica ou polar dos com- plexos

x (^) X

Y

y O (^) Q

|Z| θ

P (x, y)

Fig. 1.2:

Seja P a imagem do plano do n´umero com- plexo z = (x, y) = x + yi de argumento positivo m´ınimo θ. Como |z| se inter- preta geometricamente como sendo o com- primento do vector 0P , do triˆangulo OP Q, (Figura 1.2), obt´em-se x = |z| cos θ, y = |z|sen θ. Destas express˜oes resulta que o complexo dado se pode escrever sob a forma z = |z| · (cos θ + isen θ) que se denomina a forma trigonom´etrica do complexo. Como num sistema de coordenadas polares |z| e θ s˜ao as coordenadas polares da imagem P do complexo z = x + yi de coordenadas cartesianas (x, y), a express˜ao anterior ´e tamb´em denominada forma polar do com- plexo. Pondo |z| = r e escrevendo abreviadamente cos θ + isen θ = cis θ, a forma polar do complexo pode escrever-se abreviadamente z = rcisθ. 10

Cap´ıtulo 1. O corpo dos n´umeros complexos

Como ´e evidente, dois complexos s˜ao iguais se e s´o se tˆem o mesmo m´odulo e argumentos cˆongruos m´odulo 2π.

Proposi¸c˜ao 1.5. O produto de dois n´umeros complexos ´e um complexo cujo m´odulo ´e igual ao produto dos m´odulos e cujo argumento ´e igual `a soma dos argumentos dos factores.

Demonstra¸c˜ao. De facto, se

z = rcis θ e w = Rcis ϕ,

efectuando o produto tem-se

zw = rRcis(θ + ϕ)

o que prova que de facto

|zw| = |z| · |w| e arg(zw) = arg(z) + arg(w). ¥

Por aplica¸c˜ao repetida da proposi¸c˜ao anterior deduz-se a f´ormula para o c´alculo de potˆencia do expoente natural de um n´umero complexo z, conhecida por f´ormula de Moivre

zn^ = rn(cos nθ + isen nθ), n = 1, 2 ,....

Exemplo 1.1. Sendo z = 1 + i√3, calcular z^3.

Resolu¸c˜ao. Como |z| = 2 e arg(z) = π 3 a express˜ao do complexo na forma trigonom´etrica ´e

z = 2

cisπ 3