Notas de aula- Variavel Complexa, Notas de estudo de Matemática Aplicada

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Notas de Aula para Vari´avel Complexa I

Jo˜ao Carlos N. de P´adua

Universidade de Bras´ılia, Departamento de Matem´atica

Esclarecimento. Estas Notas de Aula apenas registram o material apresentado em sala de aula, para a turma A de Vari´avel Complexa I, do primeiro semestre de 2019. Elas n˜ao pretendem substituir nenhum livro sobre fun¸c˜oes de vari´aveis complexas.

• Cap´ıtulo 1. N´umeros Complexos
  • §1.1. Adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao
  • §1.2. Conjugado e m´odulo de um n´umero complexo
  • §1.3. Representa¸c˜ao geom´etrica dos n´umeros complexos
  • §1.4. Forma polar de um n´umero complexo
  • §1.5. Ra´ızes da equa¸c˜ao zn = a
  • §1.6. Apˆendice: n´umero complexo como par ordenado
• Cap´ıtulo 2. Sequˆencias e S´eries de N´umeros Complexos
  • §2.1. Sequˆencias
  • §2.2. S´eries
• Cap´ıtulo 3. Fun¸c˜oes Cont´ınuas
  • §3.1. Fun¸c˜oes
  • §3.2. Limites
  • §3.3. Fun¸c˜oes Cont´ınuas
  • §3.4. Apˆendice
• Cap´ıtulo 4. Fun¸c˜oes Deriv´aveis
  • §4.1. Derivada
  • §4.2. Equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann
  • §4.3. Fun¸c˜ao Harmˆonica e Equa¸c˜ao de Laplace
  • §4.4. Apˆendice-Lema Fundamental do C´alculo
    • seno Cap´ıtulo 5. S´eries de Potˆencias, Exponencial, Logaritmo, cosseno e
  • §5.1. S´eries de Potˆencias viii ´Indice
  • §5.2. Deriva¸c˜ao termo a termo de uma s´erie de potˆencias
  • §5.3. Fun¸c˜oes Exponencial e Trigonom´etricas
  • §5.4. Logaritmo
• Cap´ıtulo 6. Integral de Contorno e o Teorema de Cauchy
  • §6.1. Integral de Contorno
  • §6.2. Existˆencia de primitiva
  • §6.3. Teorema de Cauchy
  • §6.4. Extens˜ao do Teorema de Cauchy
• Cap´ıtulo 7. F´ormula Integral de Cauchy
  • §7.1. F´ormula Integral de Cauchy
  • §7.2. Teorema de Taylor
  • §7.3. F´ormula integral de Cauchy para as derivadas
  • §7.4. Fun¸c˜oes Anal´ıticas
  • §7.5. Desigualdade de Cauchy
  • §7.6. Teorema de Liouville
  • §7.7. Teorema Fundamental da Algebra´
  • §7.8. Produto de s´eries de potˆencias
  • §7.9. Teorema de Morera
• Cap´ıtulo 8. Teorema dos Res´ıduos
  • §8.1. Introdu¸c˜ao
  • §8.2. Ponto singular remov´ıvel
  • §8.3. Polos
    • e de polo §8.4. Representa¸c˜ao em s´erie em torno de ponto singular remov´ıvel
  • §8.5. Ponto singular essencial
  • §8.6. Res´ıduos
  • §8.7. C´alculo do res´ıduo em polos simples
  • §8.8. C´alculo do res´ıduo em polo de ordem m, m >
  • §8.9. Teorema dos res´ıduos
  • §8.10. Integrais impr´oprias
  • §8.11. Integral de fun¸c˜ao racional
  • §8.12. Produto de uma fun¸c˜ao racional por seno ou cosseno
  • §8.13. Integrais pr´oprias com cosseno ou seno
  • §8.14. Apˆendice – S´erie de Laurent ´Indice ix
• Cap´ıtulo 9. Transforma¸c˜oes de Moebius–aplica¸c˜oes
  • §9.1. Transforma¸c˜oes de Moebius
  • §9.2. Raz˜ao Cruzada
  • §9.3. Aplica¸c˜oes a Problemas de Contorno
  • §9.4. Princ´ıpio do M´aximo para Fun¸c˜oes Harmˆonicas
• ´Indice Remissivo

Cap´ıtulo 1

N´umeros Complexos

1.1. Adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao

Em uma primeira abordagem, ´e comum definir um n´umero complexo z como uma express˜ao do tipo z = a + ib, (1.1)

onde a e b s˜ao n´umeros reais. Al´em disso, define-se a opera¸c˜ao de adi¸c˜ao de dois n´umeros complexos z = a + ib e w = c + id por

z + w = (a + c) + i(b + d), (1.2)

e a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao por

zw = (ac − bd) + i(ad + bc). (1.3)

Por exemplo, se z = 3 + i e w = −1 + i2, ent˜ao a soma desses n´umeros ´e

z + w = [3 + (−1)] + i(1 + 2) = 2 + i 3 ,

e o produto deles ´e

zw = [3(−1) − 1 · 2] + i[3 · 2 + 1(−1)] = −5 + i 5.

Nas defini¸c˜oes (1.1), (1.2) e (1.3) existe um ponto que precisa ser esclare- cido. Quando escolhemos a = c = 0 e b = d = 1 na multiplica¸c˜ao definida em (1.3), i.e., z = 0 + i1 e w = 0 + i1, obtemos

ii = i^2 = − 1. (1.4)

E claro que o´ i n˜ao pode denotar um n´umero real, visto que se x ´e um n´umero real, ent˜ao x^2 ≥ 0.

2 1. N´umeros Complexos

Se n˜ao exite um n´umero real que satisfa¸ca a equa¸c˜ao (1.4), precisamos ent˜ao definir o que seria o i e dar um sentido `as express˜oes

ib e a + ib.

Uma maneira de definir um n´umero complexo z, inclusive o i, ´e via par ordenado: z = (a, b), onde a e b s˜ao n´umeros reais; “ordenado” significa que (a, b) 6 = (b, a) se a 6 = b. Apresentamos essa abordagem no Apˆendice a este cap´ıtulo; l´a daremos uma interpreta¸c˜ao para as express˜oes (1.1), (1.2) e (1.3).

No que segue, usaremos a forma tradicional z = a + ib e as defini¸c˜oes (1.2) e (1.3). Isso facilita o uso de n´umeros complexos, e ´e consistente, pois ´e poss´ıvel atribuir um sentido `as express˜oes (1.1), (1.2) e (1.3) via par ordenado de n´umeros reais.

A primeira componente a em (1.1) ´e denominada parte real de z, deno- tada por Re(z), e a componente b ´e a parte imagin´aria do n´umero complexo z, denotada por Im(z), ou seja:

a = Re(z) e b = Im(z).

Note que a parte imagin´aria ´e b (um n´umero real) e n˜ao ib.

Por defini¸c˜ao, dois n´umeros complexos z = a + ib e w = c + id s˜ao iguais se, e somente se, a = c e b = d.

O conjunto dos n´umeros complexos, com as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e de multiplica¸c˜ao definidas em (1.2) e em (1.3), ´e denotado por C.

As opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e de multiplica¸c˜ao s˜ao associativas, i.e., para quaisquer n´umeros complexos z 1 , z 2 e z 3 , temos

(z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) e (z 1 z 2 )z 3 = z 1 (z 2 z 3 ),

e s˜ao comutativas tamb´em:

z 1 + z 2 = z 2 + z 1 e z 1 z 2 = z 2 z 1.

E f´^ ´ acil verificar essas quatro ´ultimas igualdades, basta escrever z 1 = x 1 +iy 1 , z 2 = x 2 + iy 2 e z 3 = x 3 + iy 3 , usar as defini¸c˜oes (1.2) e (1.3), e calcular cada membro das igualdades. Como exemplo, verificaremos a associatividade do produto de z 1 , z 2 e z 3.

O lado esquerdo de (z 1 z 2 )z 3 = z 1 (z 2 z 3 ) ´e

(z 1 z 2 )z 3 =

[

(x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 )

]

(x 3 + iy 3 )

[

(x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + y 1 x 2 )

]

(x 3 + iy 3 )

[

(x 1 x 2 − y 1 y 2 )x 3 − (x 1 y 2 + y 1 x 2 )y 3

]

• i

[

(x 1 x 2 − y 1 y 2 )y 3 + (x 1 y 2 + y 1 x 2 )x 3

]

4 1. N´umeros Complexos

Visto que a^2 + b^2 6 = 0, esse sistema possui uma ´unica solu¸c˜ao dada por

1 z

a a^2 + b^2

• i

( (^) −b a^2 + b^2

A existˆencia de inverso multiplicativo para cada w 6 = 0, e a defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao de dois n´umeros complexos, permitem definir a divis˜ao de z por w: z w

= z ·

w

Exemplo 1.1. Calcule a soma, a diferen¸ca, o produto e o quociente dos n´umeros z = 1 + 3i e w = 2 − i. Em seguida escreva as partes real e imagin´aria de cada um deles.

A soma e a diferen¸ca s˜ao

z+w = (1+3i)+(2−i) = 3+2i e z−w = (1+3i)+(−2+i) = −1+4i.

O produto de z por w ´e

zw = (1 + 3i)(2 − i) = [(1)(2) − 3(−1)] + i[1(−1) + 3(2)] = 5 + 5i.

No c´alculo do quociente z por w, em vez de usar a express˜ao (1.5) para escrever 1/(2 − i), ´e mais r´apido multiplicar o denominador e o numerador por 2 + i, pois assim o novo denominador torna-se um n´umero real [veja (1.6)]. De fato,

z w

1 + 3i 2 − i

(1 + 3i)(2 + i) (2 − i)(2 + i)

=

i.

As partes real e imagin´aria do produto e do quociente s˜ao: Re(zw) = 5, Im(zw) = 5, Re(z/w) = − 1 /5 e Im(z/w) = 7/5.

1.2. Conjugado e m´odulo de um n´umero complexo

Apresentamos em seguida as defini¸c˜oes de conjugado e de m´odulo de um n´umero complexo.

Defini¸c˜ao 1.2. Associamos a cada n´umero complexo z = a + ib o seu conjugado ¯z, definido por z¯ = a − ib,

e o seu m´odulo (ou valor absoluto) |z|, definido por

|z| =

a^2 + b^2.

1.2. Conjugado e m´odulo 5

z

−z z

x

y

a

−a

−b

b |z|

Figura 1.1. Posi¸c˜oes de z, ¯z e −z.

A Figura 1.1 mostra as posi¸c˜oes de um n´umero z = a + ib, de seu conjugado ¯z e do n´umero −z; note que |z| ´e a distˆancia entre a origem (0, 0) de R^2 e o ponto (a, b). As seguintes propriedades s˜ao v´alidas quando tomamos o conjugado de um n´umero complexo:

(a) z + w = z + w;

(b) (zw) = z w;

(c) ( (^) wz ) = (^) wz. Para verificar a validade de (b), escrevemos z = a + ib, w = c + id e usamos as defini¸c˜oes de multiplica¸c˜ao e de conjuga¸c˜ao:

zw = (ac − bd) + i(ad + bc) = (ac − bd) − i(ad + bc) = (a − ib)(c − id) = z w.

O m´odulo do produto de dois n´umeros complexos ´e o produto dos m´odulos desses n´umeros; vale o mesmo para o quociente:

(d) |zw| = |z||w|;

(e) | (^) wz | = (^) ||wz|| ;

Um fato simples mas muito ´util ´e a igualdade zz = |z|^2. (1.6)

E f´´ acil verificar que essa igualdade ´e verdadeira:

zz = (a + ib)(a − ib) = a^2 − aib + aib + b^2 = a^2 + b^2 = |z|^2.

Na verifica¸c˜ao da igualdade (d), podemos usar (1.6) e (b); em seguida, usamos a associatividade e a comutatividade dos n´umeros complexos:

|zw|^2 = (zw)zw = (zw)(z w) = (zz)(ww) = |z|^2 |w|^2.

1.3. Representa¸c˜ao geom´etrica dos n´umeros complexos 7

Figura 1.2. Disco de centro em z 0 e raio r.

ou −|z + w| ≤ |z| − |w|.

Analogamente, temos a desigualdade do lado direito:

|z| = |(z + w) + (−w)| ≤ |z + w| + |w|

ou |z| − |w| ≤ |z + w|.

Isso completa a verifica¸c˜ao da desigualdade triangular do item (b). 

1.3. Representa¸c˜ao geom´etrica dos n´umeros complexos

A identifica¸c˜ao de um n´umero complexo z = x+iy com o ponto (x, y) de R^2 ´e sempre ´util para interpretarmos alguns conceitos e hip´oteses e/ou conclus˜oes de teoremas. Em particular, o n´umero complexo z = x + i0 ser´a identificado como o ponto (x, 0). Assim, podemos considerar o conjunto dos n´umeros reais x como um “subconjunto” dos n´umeros complexos, a saber os pontos (x, 0) de R^2. Essa reta ´e o eixo-x, e ´e denominado eixo real. Analogamente, os pontos (0, y) formam o eixo-y, o qual ´e conhecido como eixo imagin´ario.

Com essa representa¸c˜ao temos uma interpreta¸c˜ao ´util: se z = x + iy e se z 0 = x 0 + iy 0 , ent˜ao |z − z 0 | ´e a distˆancia entre os pontos (x, y) e (x 0 , y 0 ) de R^2. Com efeito,

|z − z 0 | = |(x − x 0 ) + i(y − y 0 )|

=

(x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2.

A Figura 1.2 mostra a distˆancia entre dois pontos do plano, e mostra tamb´em uma regi˜ao em forma de disco, cujo centro ´e z 0 e o raio ´e r:

D = {z ∈ C : |z − z 0 | < r}. Na Figura 1.3 representamos uma regi˜ao do plano correspondente ao ex- terior de um disco, de centro em zero e raio 1, e uma regi˜ao em forma de coroa circular, com centro em z 0 = 1 − i:

(a) |z| > 1 e (b) 1/ 2 ≤ |z − 1 + i| < 3 / 2.

8 1. N´umeros Complexos

Figura 1.3. Imagens de |z| > 1 e 1/ 2 ≤ |z − 1 + i| < 3 /2.

z + w

z

w

x

y

Figura 1.4. |z + w| ≤ |z| + |w|.

A regi˜ao do item (a) ´e “aberta”, i.e., ela n˜ao cont´em os pontos da fronteira |z| = 1. A regi˜ao do item (b) cont´em apenas uma parte da fronteira, a saber, os pontos do c´ırculo |z − 1 + i| = 1/2, e n˜ao cont´em a outra parte da fronteira, i.e., |z − 1 + i| = 3/2.

Essa identifica¸c˜ao de um n´umero complexo z = x + iy com um ponto P = (x, y) de R^2 e, em particular, do m´odulo |z| como a distˆancia do referido ponto at´e a origem (0, 0), permite tamb´em uma interpreta¸c˜ao da desigual- dade triangular. Com efeito, em qualquer um dos dois triˆangulos do par- alelogramo da Figura 1.4, o comprimento de um cateto, a saber, |z + w|, ´e sempre menor ou igual `a soma dos comprimentos dos outros dois catetos, i.e., |z| + |w|.

1.4. Forma polar de um n´umero complexo

A representa¸c˜ao polar de um n´umero complexo facilita o c´alculo de potˆencias do tipo zn; mesmo se usarmos o teorema do binˆomio, ´e muito trabalhoso calcular um n´umero do tipo

(1 + i

3)^99.

A representa¸c˜ao polar, como veremos, simplifica esse tipo c´alculo. O primeiro uso da representa¸c˜ao polar ser´a na determina¸c˜ao das ra´ızes da equa¸c˜ao zn^ = a.

10 1. N´umeros Complexos

Observa¸c˜ao 1.5. A fun¸c˜ao tangente, e os sinais das partes real e imagin´aria x e y, servem tamb´em para determinar os argumentos dos n´umeros z e w do exemplo anterior. De fato, x = r cos θ e y = r sen θ, logo

tan θ =

y x

, x 6 = 0.

Como z = 1 + i e w = − 1 − i, temos

tan θ = 1 e θ =

π 4

• kπ,

onde k ´e um n´umero inteiro. Visto que Re(z) = Im(z) = 1 > 0, logo k = 0 e θ = arg(z) = π/4; por outro lado, Re(w) = Im(w) = − 1 < 0, logo k = 1 e θ = arg(w) = 5π/4.

A representa¸c˜ao polar do produto de dois n´umeros complexos n˜ao nulos ´e dada na pr´oxima proposi¸c˜ao.

Proposi¸c˜ao 1.6. Se os n´umeros n˜ao nulos z 1 e z 2 s˜ao representados por

z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sen θ 1 ) e z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sen θ 2 ),

ent˜ao o produto deles pode ser representado por

z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + i sen(θ 1 + θ 2 )]. (1.12)

Em outras palavras, o m´odulo de z 1 z 2 ´e r 1 r 2 , mas um argumento do produto ´e a soma dos argumentos de z 1 e de z 2.

Demonstra¸c˜ao. Vamos calcular o produto dos n´umeros z 1 e z 2 :

z 1 z 2 = r 1 (cos θ 1 + i sen θ 1 )r 2 (cos θ 2 + i sen θ 2 ) = r 1 r 2 [(cos θ 1 cos θ 2 − sen θ 1 sen θ 2 )

• i(cos θ 1 sen θ 2 + sen θ 1 cos θ 2 )] = r 1 r 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + i sen(θ 1 + θ 2 )]



A Figura 1.6 ilustra esse resultado. Em seguida vamos demonstrar a importante f´ormula de Moivre:

Proposi¸c˜ao 1.7 (F´ormula de Moivre). Para cada n´umero inteiro n temos a identidade

(cos θ + i sen θ)n^ = cos nθ + i sen nθ. (1.13)

Demonstra¸c˜ao. Olhando z 1 z 2 z 3 como (z 1 z 2 )z 3 , segue de (1.12) que

z 1 z 2 z 3 = (r 1 r 2 )r 3

cos[(θ 1 + θ 2 ) + θ 3 ] + i sen[(θ 1 + θ 2 ) + θ 3 ]

= r 1 r 2 r 3

[

cos(θ 1 + θ 2 + θ 3 ) + i sen(θ 1 + θ 2 + θ 3 )

] (1.14)

1.4. Forma polar de um n´umero complexo 11

Figura 1.6. Produto de z 1 por z 2.

Podemos usar indu¸c˜ao finita para mostrar que o produto dos n´umeros z 1 , z 2 , · · · , zn ´e dado por

z 1 z 2 · · · zn = r 1 r 2 · · · rn

[

cos(θ 1 + θ 2 + · · · + θn)

• i sen(θ 1 + θ 2 + · · · + θn)

]

Considerando nessa ´ultima igualdade o caso especial em que

zk = z, θk = θ e rk = r, k = 1, 2 , · · · , n,

obtemos

zn^ = rn(cos nθ + i sen nθ). (1.15)

Por outro lado, visto que

zn^ = [r(cos θ + i sen θ)]n^ = rn(cos θ + i sen θ)n,

segue de (1.15) que

(cos θ + i sen θ)n^ = cos nθ + i sen nθ. (1.16)

Fica assim verificada a f´ormula de Moivre para o caso em que n ´e um n´umero inteiro positivo.

Resta o caso em que n ´e negativo. Inicialmente, observamos que

| cos θ + i sen θ| =

cos^2 θ + sen^2 θ = 1.

Logo, segue de (1.5) que

1 cos θ + i sen θ

= cos θ + i(− sen θ) = cos(−θ) + i sen(−θ);

1.5. Ra´ızes da equa¸c˜ao zn^ = a 13

Demonstra¸c˜ao. Todas as ra´ızes da equa¸c˜ao zn^ = a est˜ao sobre um c´ırculo de centro em zero e raio |z| = n

|a|. Com efeito,

|zn| = |a| ou r = |z| = n

|a|. (1.17)

Para encontrar a posi¸c˜ao exata de cada raiz sobre o referido c´ırculo, usaremos as representa¸c˜oes polares de z e de a:

z = r(cos θ + i sen θ) e a = |a|(cos φ + i sen φ),

onde r = |z|. Logo, em virtude da equa¸c˜ao (1.13), podemos reescrever a equa¸c˜ao zn^ = a como

zn^ = rn(cos θ + i sen θ)n = rn(cos nθ + i sen nθ) = |a|(cos φ + i sen φ).

Dessa ´ultima igualdade, e do fato que rn^ = |z|n^ = |a|, segue que

cos nθ + i sen nθ = cos φ + i sen φ. (1.18)

Essa igualdade (1.18) ´e equivalente ao sistema de equa¸c˜oes { cos nθ = cos φ sen nθ = sen φ.

As solu¸c˜oes do sistema (1.19) s˜ao dadas por

nθ = φ + 2kπ ou θ =

φ + 2kπ n

onde k ´e um n´umero inteiro qualquer.

Em seguida, substitu´ımos os valores do m´odulo r e do argumento θ de cada raiz, dados em (1.17) e (1.20), na representa¸c˜ao polar de z, obtendo a seguinte express˜ao para as ra´ızes da equa¸c˜ao zn^ = a:

zk = n

|a|

[

cos(

φ + 2kπ n

) + i sen(

φ + 2kπ n

]

Variando o k em (1.21) de zero a n − 1, encontramos todas as n solu¸c˜oes da equa¸c˜ao zn^ = a, e elas s˜ao todas distintas entre si. 

A representa¸c˜ao dessas n ra´ızes no plano complexo corresponde aos v´ertices de um pol´ıgono regular de n lados, inscrito em um c´ırculo de centro em zero e raio r = n

|a|; a diferen¸ca entre o argumento de uma raiz zj+1 e o da raiz anterior zj ´e sempre igual a 2π/n, pois

φ + 2(j + 1)π n

φ + 2jπ n

2 π n

veja Figura 1.7.

Exemplo 1.10. Calcule as ra´ızes das equa¸c˜oes

(a) z^2 = − 1

14 1. N´umeros Complexos

Figura 1.7. Raiz en´esima de a.

(b) z^3 = i (c) z^5 + 32 = 0 (d) z^3 + 2 + i 2

De acordo com a Proposi¸c˜ao 1.9, para representar as ra´ızes da equa¸c˜ao do item (a), precisamos de um argumento de −1; o argumento principal de −1 ´e π. Logo, as duas ra´ızes da equa¸c˜ao z^2 = −1 s˜ao

z 0 =

| − 1 |[cos

π 2

• i sen

π 2

] = i

e

z 1 =

| − 1 |[cos

3 π 2

• i sen

3 π 2

] = −i.

Para a segunda equa¸c˜ao, um argumento de i ´e π/2 (no caso, ´e o prin- cipal), e o seu m´odulo ´e 1 (lembre que i = 0 + i1), logo as trˆes ra´ızes da equa¸c˜ao z^3 = i s˜ao

z 0 = [cos

π 6

• i sen

π 6

] =

• i

, z 1 = [cos

5 π 6

• i sen

5 π 6

] = −

• i

e

z 2 = [cos

3 π 2

• i sen

3 π 2

] = −i.

Essas trˆes ra´ızes da equa¸c˜ao z^3 = i s˜ao os v´ertices de um triˆangulo equil´atero (veja a Figura 1.8).

Para escrevermos as solu¸c˜oes da terceira equa¸c˜ao, lembramos que o ar- gumento principal de −32 ´e π; al´em disso, 5

| − 32 | = 2; logo, as cinco ra´ızes da equa¸c˜ao z^5 = −32 s˜ao

zk = 2[cos

( (^) π + 2kπ 5

• i sen

( (^) π + 2kπ 5

], k = 0, 1 , 2 , 3 e 4.

Essas ra´ızes s˜ao os v´ertices de um pent´agono regular (veja a Figura 1.8).