Baixe EUF Resolução 2017 e 2018 e outras Exercícios em PDF para Mecânica Estatística, somente na Docsity! Exame & Repescagens dos Testes Física Estatística MEFT 2 de Julho de 2018, 15h00 Duração Testes: 1h30 Duração Exame: 3h00 Prof. Responsável: João P. S. Bizarro ATENÇÃO: Não é permitido o uso de calculadoras nem de formulários. 1º Teste [Cotação: a) 1.0; b) 1.0; c) 1.0; d) 1.0.] 1- A função de partição para um sistema magnético, válida numa certa gama de temperaturas T e campos magnéticos H, pode-se escrever na forma kBlnZ=(V/2T2)(b+aH2), sendo V o volume ocupado pelo sistema, kB a constante de Boltzmann, e a, b e C constantes. a) Calcule, directamente a partir de lnZ, a energia média E do sistema. R: Tem-se E =−∂lnZ/∂β(0.50)=kBT2∂lnZ/∂T=−(V/T)(b+aH2)(0.50). b) Calcule, directamente a partir de lnZ, a magnetização M do sistema (que é a força generalizada conjugada ao parâmetro externo H). R: Tem-se M=(1/β)∂lnZ/∂H(0.50)=aVH/T(0.50). c) Calcule a entropia S do sistema. R: Tem-se S=kB(lnZ+β E )(0.50)= −(V/2T2)(b+aH2) (0.50). d) Mostre que se tem para a dispersão relativa na energia deste sistema (ΔE)2 /( E )2=kBT/| E |. R: Tem-se (ΔE)2 =∂2lnZ/∂β2(0.50)=−∂ E /∂β=kBT2∂ E /∂T=kBV(b+aH2)(0.25), donde (ΔE)2 /( E )2=kBT/| E |(0.25). [Cotação: a) 1.5; b) 1.0; c) 1.0.] 2- Considere N moléculas de um gás ideal em equilíbrio térmico a uma temperatura absoluta T. O gás está confinado numa caixa cúbica de aresta L, com duas das faces paralelas à superfície da Terra, e sob a acção de um campo gravítico de aceleração constante g. a) Mostre que se tem n(z)=(N/L3)(mgL/kBT)exp(–mgz/kBT)/[1–exp(–mgL/kBT)] para a densidade dessas moléculas em função da altura z na caixa. R: O gás distribui-se em altura de acordo com uma distribuição canónica, ou seja, n(z)=Cexp(−mgz/kBT)(0.50), com C uma constante de normalização dada por ∫0 Ldx∫0 Ldy∫0 Ldz n(z)=L2∫0 Ldzn(z)=N(0.50). Calculando, C−1=(N/L2)−1∫0 Ldzexp(−mgz/kBT) =N−1(kBT/mg)[1–exp(–mgL/kBT)](0.50), donde o resultado pretendido n(z)=(N/L2)(mg/kBT) exp(−mgz/kBT)/[1–exp(–mgL/kBT)]. b) Para que valores tende n(z) quando mgz≫kBT? Interprete fisicamente o resultado. R: Neste limite, exp(–mgL/kBT)→0 e n(z)≃(N/L3)(mgL/kBT)exp(−mgz/kBT)(0.25), que tende para 0 se z≠0(0.25) e para ∞ se z=0(0.25), ou seja, n(z)≃(N/L2)δ(z) com δ(z) um delta de Dirac. Fisicamente, e como se espera a muito baixas temperaturas, as partículas encontram- se praticamente todas no estado de menor energia (potencial, neste caso), que corresponde a z=0(0.25). c) Para que valores tende n(z) quando mgz≪kBT? Interprete fisicamente o resultado. R: Neste limite, exp(–mgL/kBT)≃1–mgL/kBT(0.25) e n(z)≃(N/L3)(mgL/kBT)/(mgL/kBT)≃N/L3 (0.25), que corresponde a uma distribuição de densidade uniforme(0.25) na caixa. Fisicamente, e como se espera a muito altas temperaturas, as partículas distribuem-se uniformemente por todas as energias (potenciais) acessíveis (i.e., todas as alturas dentro da caixa)(0.25). [Cotação: a) 1.0; b) 1.5.] 3- Considere a expressão geral para a entropia S= –kB∑r PrlnPr e um sistema que se distribui pelos seus estados acessíveis r de acordo com uma distribuição de probabilidades arbitrária Pr. Pretende-se comparar esta distribuição com a distribuição canónica Pr(0)=exp(–βEr)/Z, com Z=∑r exp(–βEr), correspondente à mesma energia média, ou seja, ∑r Pr(0)Er=∑r PrEr= E . Tem-se, obviamente, ∑r Pr(0) =∑r Pr=1. a) Com S e S(0) as entropias correspondentes a Pr e Pr(0), respectivamente, mostre que se tem S–S(0)= kB∑r Prln(Pr(0)/Pr). [Sugestão: comece por mostrar que se tem ∑r PrlnPr(0)=∑r Pr(0)lnPr(0).] R: É imediato verificar que (S–S(0))/kB=∑r Prln(Pr(0)/Pr)+∑r (Pr–Pr(0))lnPr(0)(0.25). Ora, escrevendo lnPr(0)=–βEr–lnZ(0.25), vem ∑r (Pr–Pr(0))lnPr(0)=∑r (Pr–Pr(0))(–βEr–lnZ)=–β(∑r PrEr– ∑r Pr(0)Er)(0.25)–lnZ(∑r Pr–∑r Pr(0))(0.25)=0, donde (S–S(0))=kB∑r Prln(Pr(0)/Pr). b) Mostre que se tem sempre S(0)≥S [use a desigualdade universal lnx≤x–1]. Justificando devidamente, diga em que condições se tem S=S(0). Comente. R: Tem-se, então, (S–S(0))/kB=∑r Prln(Pr(0)/Pr)≤∑r Pr[(Pr(0)/Pr)–1](0.25)=(∑r Pr(0)–∑r Pr)=0(0.25). Tem-se ainda S=S(0) quando Pr=Pr(0)(0.25), o que confirma mais uma vez que a distribuição canónica(0.25) maximiza a entropia(0.25) nos casos em que a energia média do sistema é especificada(0.25). 2º Teste [Cotação: a) 1.0; b) 1.0; c) 1.0; d) 1.0.] 4- Considere N partículas de um gás ideal quântico não relativista, com massa m e contidas numa caixa cúbica de lado L. Os possíveis níveis de energia para uma partícula são da forma εr=εnx,ny,nz=(ħ2π2/2mL2)(nx2+ny2+nz2), com nx=ny=nz=1,2,3,…, sendo a respectiva ocupação Nr e a respectiva contribuição para a pressão macroscópica do gás dada por pr=–∂εr/∂V. Pretende-se comparar o comportamento de bosões com o de fermiões a 0 ºK (zero absoluto). a) Comece por mostrar que se tem para a pressão macroscópica do gás p=(2/3)( E /V), em que V é o volume da caixa e E a energia média do gás. R: A pressão macroscópica é uma média sobre os possíveis níveis de energia εr, i.e., p=∑r Nrpr(0.50)=–∑r Nr∂εr/∂V=–(∂L/∂V)∑r Nr(∂εr/∂L)=(1/3)(1/V)2/3∑r (2/L)Nrεr=(2/3)(∑r Nrεr/L3)= (2/3)(∑r Nrεr/V)(0.25)=(2/3)( E /V)(0.25). b) Obtenha a expressão que dá a pressão pB0 de um gás de bosões a 0 ºK. Dê o resultado em função das constantes físicas e parâmetros macroscópicos do gás. Como é que pB0 depende de N e de V? R: A 0 ºK têm-se todos os bosões no estado de mais baixa energia(0.25), i.e., E =Nε1(0.25) com ε1=(3ħ2π2/2mL2)(0.25) a energia do estado fundamental (nx=ny=nz=1), donde pB0=(2/3)( E /V)=(ħ2π2/m)(N/V5/3)(0.25).

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