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APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DE EULER-LAGRANGE
Eliomar Corrêa Caetano Universidade Católica de Brasília Orientador: Cláudio Manoel Gomes de Sousa
RESUMO
Neste trabalho estudamos três aplicações das equações de Euler-Lagrange, sendo duas para osciladores harmônicos, o pêndulo simples e o sistema massa-mola, ambos abordados em sua forma trivial, sem forças externas e dissipativas, e a terceira aplicação, que é o principal objetivo desse trabalho, consiste na busca de uma equação que esteja associada ao movimento de uma partícula a cada instante, quando esta, percorre a rampa de um escorregador (“tobogã”). Para esse último caso, a equação diferencial resultante foi resolvida pela utilização de métodos numéricos, onde apresentamos o código utilizado para a solução com auxílio de computação algébrica.
Palavras-chave: energia; equações de Euler-Lagrange.
1. INTRODUÇÃO
Existe um parque situado na cidade de Brasília, capital do Brasil, onde encontramos um brinquedo que, talvez, chame a atenção de quem já estudou um pouco de equações diferenciais. Trata-se da rampa de um escorregador, que está ilustrada a seguir:
Figura 1 – Uma idéia de como seria o escorregador.
Para uma curva desse tipo, poderíamos fazer a seguinte pergunta: É possível encontrar uma equação que esteja associada ao movimento da partícula que descreve o trajeto da rampa em um instante qualquer? Denotaremos esta questão como o “Problema do Escorregador”.
Em princípio, ao tentarmos responder a pergunta anterior, teremos a situação de que as forças que atuam no sistema são variantes, por exemplo, a força normal, a força peso, entre outras. Mesmo com esse impasse é possível persistir no problema, visto que no decorrer da história, por volta de 1686, Johann Bernoulli propôs a seguinte questão:
Considere uma partícula de massa m , deslizando sob a ação da gravidade, ao longo de uma certa curva Γ do ponto P ao ponto Q , que estão fixados.Se a partícula parte do repouso, qual deve ser a forma de Γ para que o tempo do percurso seja mínimo? Despreze o atrito e outras forças dissipativas (Butkov, 1983).
Figura 2 – A partícula percorrendo do ponto P ao ponto Q.
O próprio Johann Bernoulli resolveu esse problema. A curva que determina esse tempo ótimo é chamada de braquistócrona.
A semelhança entre o referido problema de Bernoulli e o problema do escorregador é que, ambos pretendem que uma partícula descreva um determinado trajeto. Como foi resolvido o problema da braquistócrona, é natural pensar acerca do problema do escorregador.
Uma maneira de resolver o problema da braquistócrona é por meio das equações de Euler- Lagrange (Butkov, 1983). Essas equações são derivadas da energia cinética e potencial gravitacional da partícula.
1.1. Euler-Lagrange
Para um sistema conservativo (onde somente atuam forças conservativas) é possível escrever uma função da posição e da velocidade de uma partícula, denominada energia mecânica , que se conserva durante todo o movimento.
Sejam
2 2
T = mv ,
V = mgh ,
a energia cinética(T ) e a energia potencial gravitacional(V ) , respectivamente, do sistema, em que as variáveis envolvidas são m : massa da partícula, v : velocidade da partícula, g : aceleração da gravidade, h : altura da partícula (posição); então a energia mecânica é definida por E = T + V. A energia que um corpo possui quando está em movimento é denominada energia cinética e, a energia potencial gravitacional, é aquela que um corpo possui quando está situado a uma determinada altura da superfície da Terra (Tipler, 2000).
As leis da mecânica são tais que, a posição e a velocidade de uma partícula combinam suas variações, de modo que E não se altera.
Consideremos uma outra função das variáveis de movimento de um sistema conservativo, a lagrangiana L , definida por
A expressão que aparece em (3) é denominada equações de Euler-Lagrange porque o matemático suíço Leonard Euler (1707-1783) contribuiu consideravelmente para a formulação do princípio da ação mínima.
2. MÉTODOS
Para resolver o problema do escorregador, que é o principal objetivo desse trabalho, aproximaremos a função exata da rampa por uma função cujo gráfico descreve uma trajetória similar. Nesse contexto, definimos y ( x ( t ))= 10 − x ( t )+ sen ( x ( t )). (4)
Figura 3 – A função y(x) proposta em (4) é um caso elementar da função que descreve exatamente a rampa.
Antes de tentar encontrar a equação que descreve a trajetória da partícula em (4), serão analisados dois problemas: o pêndulo simples e o sistema massa-mola. Obteremos as equações diferenciais de ambos os sistemas por meio da mecânica de Newton e, em seguida, por meio das equações de Euler-Lagrange.
2.1. Pêndulo Simples
O pêndulo simples consiste de uma partícula de massa m fixada na extremidade inferior de um fio de comprimento l , cuja extremidade superior está fixa. Supõe-se que o movimento ocorre em um plano vertical (Boyce, 2002).
Figura 4 – Uma configuração do pêndulo simples.
2.1.1. Mecânica de Newton e o pêndulo simples
Deseja-se determinar o ângulo θ , medido entre o fio e a vertical, em qualquer instante do
tempo. Assim, θ é uma função do tempo, isto é,
θ = θ( t ).
A intenção é apenas obter uma equação diferencial associada ao pêndulo simples. Por isso, serão desprezadas a massa do fio e possíveis forças dissipativas. A partícula será abandonada em uma posição θ 1 = θ( 0 )e observar-se-á o seu movimento.
Nesse contexto, o movimento da partícula descreve um arco de raio l , cujo comprimento s é
igual a l θ.
Figura 5 – Indicação do comprimento do arco s.
Derivando s = l θ, em função de t , obtemos a velocidade da partícula, denotada por
dt
d l dt
ds θ
e, consequentemente, a segunda derivada fornece a aceleração
2
2 2
2
dt
d l dt
d s θ
Observemos que o comprimento do fio l permanece constante. As igualdades acima podem ser escritas como
s & = l θ& e& s & = l θ&&.
Figura 6 – Definamos que, para baixo e para a direita o sistema é positivo, e à esquerda e para cima o sentido é negativo.
O peso da partícula é dado por w = mg. Como existe uma força contrária ( Fc ) ao movimento
da partícula, então essa força é negativa. Do triângulo retângulo formado pelas componentes da força, conclui-se que
Fc = − mgsen θ.
Figura 7 – Obtenção da componente Fc relacionada com o seno do ângulo θ.
encontrar a equação associada a esse problema. Antes de estudar o problema do escorregador, mais um exemplo será resolvido, o de sistema massa-mola. Seguindo a mesma linha, primeiro será resolvido pensando apenas na Mecânica Newtoniana e, em seguida, por meio das equações de Euler-Lagrange.
2.2. O sistema massa-mola
Um sistema massa-mola é constituído por uma mola vertical, de comprimento l e massa desprezível, fixada num teto e uma partícula de massa m presa na extremidade inferior da mola. Ao se fixar a massa na extremidade inferior da mola, ela sofre um deslocamento x (^) 0.
Definamos por x ( t ) a posição da mola na vertical, quando ela for abandonada em uma
posição x 1 (^) = x ( 0 )(Boyce, 2002).
Figura 9 – Inicialmente a massa está em uma posição x 1.
2.2.1. Mecânica de Newton e o sistema massa-mola.
Após o deslocamento x 0 , conforme a seção anterior, a mola passa a uma nova posição de
equilíbrio. Esse equilíbrio deve-se ao fato de que a força Fm da mola tem a mesma magnitude
do peso da massa. A força Fm é determinada pela chamada Lei de Hooke. Essa lei garante que
a força da mola é proporcional ao seu deslocamento, ou seja, Fm = kx. A constante k é a
rigidez da mola; em outras palavras, ela indica o quanto uma mola é “dura”.
Figura 10 - Na posição de equilíbrio, a força peso e a força da mola têm a mesma magnitude.
Nesse sistema, é possível determinar a posição x da massa em qualquer instante. Desse modo, x é uma função do tempo x = x ( t ), conforme definido na seção anterior.
A configuração do sistema massa-mola determina um único grau de liberdade, que é a vertical. Será considerado que a origem do sistema de coordenadas é a posição de equilíbrio, incluindo o sentido positivo para baixo, conforme ilustrado a seguir.
Figura 11 – A mola de comprimento l em um primeiro momento e, em seguida, deslocada de x 0 após a massa ser fixada. No último momento a massa encontra-se em uma posição
x ( t ).
A massa é puxada para baixo em uma posição x 1 (^) = x ( 0 ) e abandonada. Pode ocorrer em
algum momento que x ( t )+ x 0 > 0 ; nesse caso, a mola estará estendida e sua força será
Fm = − k ( x ( t )+ x 0 ). O sinal negativo é atribuído ao fato da mola estar “puxando” para cima,
no sentido contrário ao movimento. Se x ( t )+ x 0 < 0 , então a mola estará comprimida e sua
força será no sentido positivo; logo, Fm = kx ( t )+ x 0. Que é equivalente a escrever que
Fm = − k ( x ( t )+ x 0 ). Portanto, em qualquer caso, temos que Fm = − k ( x ( t )+ x 0 ).
Por outro lado, pela segunda lei de Newton, temos que x ( t ) está relacionado às forças que
agem sobre a massa, pela fórmula mx && ( t )= f ( t ), (6)
onde x && ( t )é a aceleração da massa e f ( t )é a força total agindo sobre a ela.
Como a idéia é determinar a equação diferencial mais trivial desse sistema, desprezamos quaisquer forças dissipativas e outros fatores externos. Desse modo, é possível afirmar que as únicas forças atuantes no sistema são a peso w = mg e a da mola Fm = − k ( x ( t )+ x 0 ). Assim
a força f ( t )que aparece na equação (6), é
f ( t )= w + F m f ( t )= mg − k ( x ( t )+ x 0 ).
Logo, a equação (6) é escrita como mx &&^ ( t )= mg − k ( x ( t )+ x 0 ), mx &&^ ( t )= mg − kx ( t )− kx 0. (7)
Observando a Figura 10, concluímos que mg = kx 0 ⇒ mg − kx 0 = 0.
Assim, a equação (7), se reduz a mx &&^ + kx = 0 , (8) que é a equação diferencial associada ao sistema massa-mola, onde não há influência de forças externas e possíveis forças dissipativas.
2.2.2. Equações de Euler-Lagrange e o sistema massa-mola.
Afim de obter uma equação diferencial para o sistema massa-mola utilizando as equações de Euler-Lagrange, é necessário definir a energia cinética do sistema e a energia potencial gravitacional.
2 2
Vm = kx , (13)
que é chamada de energia potencial elástica da mola. Pela rigidez da mola, estando ela estendida ou comprimida, a equação (13) nos mostra que o seu potencial elástico Vm é sempre
positivo em nosso sistema.
Finalmente, estando a massa em alguma posição x ( t )+ x 0 , definimos
( ) 2
2 0 2
xt x T mx dt
d T m ⇒ = &
= ^ +
e utilizando (13), podemos definir o potencial gravitacional do sistema como,
2 2
V = − mgh + kx ,
2 0 ( () 0 ) 2
V = − mg ( x ( t )+ x )+ k xt + x.
Escrevendo a função Lagrangiana, L = T − V , obtemos
(^2) ( 0 ) ( 0 )^2 2
L = mx &^ + mgx + x − k x + x ;
e a equação de Euler-Lagrange fica determinada como,
=^0
x
L
x
L
dt
d &
( mx ) − ( mg − kx − kx 0 )= 0 dt
d & (^). (14)
Da posição de equilíbrio, concluímos que em (14), dentro do segundo parêntesis, teremos apenas o termo − kx ; assim obtemos novamente a equação mx && + kx = 0. (15)
2.3. O Caso do Escorregador
Antes de escrevermos a função lagrangiana da equação (4), observe que quando a partícula percorre uma pequena distância na rampa, é possível considerar termos infinitesimais, e sua
velocidade será dt
ds , quando s for um deslocamento infinitesimal.
Figura 13 – Para uma distância s infinitesimal, a velocidade da partícula será^ ds^ dt ; pelo
teorema de Pitágoras, segue
2
1 2 2
^ +
dt
dy dt
dx dt
ds .
As energias cinética e a potencial gravitacional da partícula que percorre a rampa definida pela equação (4), são
T = mx & + y & e (16)
V = mgy.
Consideremos que a energia potencial gravitacional é positiva em qualquer ponto da rampa.
Derivando, a função definida em (4), obtemos
y x x x dt
dy = &^ =−&+&cos ,
e substituindo em (16), temos
[ 2 ( cos )^2 ]
T = mx &^ + − x &+ x & x.
Consequentemente, a função lagrangiana é definida por
[ ( cos ) ] ( 10 )
L = mx & + − x &+ x & x − mg − x + senx ; (17)
e a equação de Euler-Lagrange,
=^0
x
L
x
L
dt
d &
[ ( )] ( 2 cos 2 ) cos 0
cos 2 2 cos (^22) =
mx x − x + −^ mx − senx x + senx + mg − mg x dt
d & &
mx && (cos 2 x − 2 cos x + 2 ) + mx &^2 ( − 2 senx cos x + 2 senx + senx cos x − senx ) − mg + mg cos x = 0
x && ( cos 2 x − 2 cos x + 2 ) + x &^2 ( senx − senx cos x ) − g + g cos x = 0. (18)
A equação (18) é a equação diferencial associada ao problema do escorregador. Agora, é necessário obter a função x ( t ) que satisfaz a equação (18). Pelo fato de aparecer junto às
derivadas as funções trigonométricas vinculadas à variável t , então, aparentemente, não é possível encontrar uma solução analítica.
Mesmo não sendo possível encontrar a solução analítica de (18), é possível observar o comportamento da função x ( t ) procurada. A maneira de se fazer isso é através de uma
solução numérica. Dentre tantos métodos numéricos existentes, utilizamos pelo software Maple, o método clássico de Runge-Kutta (Barroso, 1987).
Para isso, modificaremos a equação (18) e, em seguida, faremos uma substituição de variável para que a equação possa ser resolvida sob um sistema de equações diferenciais através do método de Runge-Kutta.
Como o método de Runge-Kutta resolve apenas equações de 1ª ordem, devemos transformar uma equação diferencial de 2ª ordem em duas de 1ª ordem, como mostraremos a seguir.
O primeiro passo a ser dado em busca de uma solução numérica é preparar a equação (18) para a forma
Figura 14 – A curva vermelha, descreve a variação do espaço que a partícula percorre, em função do tempo e, a curva verde, descreve a variação da velocidade da partícula em função do tempo.
Com base na figura 14, percebe-se que a velocidade da partícula tem certa oscilação, mas tende a aumentar gradativamente a cada ciclo no decorrer do trajeto; ou seja, a amplitude de oscilação de W aumenta.
3. DISCUSSÃO
O estudo das equações de Euler-Lagrange geralmente aparece ao final dos cursos de Física. Essas equações dispõem de uma maneira distinta, mas equivalente, de resolver determinadas situações-problema. Uma grande vantagem que esse tipo de equação gera é não ser necessário o uso de vetores, basta ter conhecimento da energia cinética e potencial do sistema em estudo.
Os dois primeiros problemas resolvidos foram por meio de dois métodos, nos quais o intuito era de exaltar a teoria lagrangiana e as equações de Euler-Lagrange. De modo que, para o problema do escorregador, tivéssemos uma direção a respeito dos passos a serem dados em busca da equação pretendida.
Não era esperado que a equação diferencial obtida fosse, aparentemente, insolúvel analiticamente. Para essa questão, a necessidade de uma análise da função por meio de uma solução numérica seria, em parte, satisfatória.
Ao observarmos a solução numérica, percebemos que a partícula atinge longas distâncias em “pequenos” intervalos de tempo; e a velocidade da partícula, tem uma característica oscilatória, mas com um aumento de sua amplitude no decorrer do tempo. O deslocamento e a velocidade são curiosos devido ao fato de que o atrito foi desprezado.
Admitimos, desde o início da pesquisa, que a partícula não perde contato em nenhum momento com a superfície na qual desliza. Para a condição inicial, ressaltamos que haverá a necessidade da definição, não simultânea, de valores nulos às variáveis. Quer dizer, se desejarmos que x ( 0 )= 0 , então W ( t )deverá ser diferente de zero.
Para posteriores pesquisas, existe a necessidade de considerarmos o atrito e a função que descreve exatamente a rampa. Não sabemos ainda como considerar o atrito nesse caso, mas há indícios de que existem equações similares as de Euler-Lagrange, que por sua vez, são derivadas também pelo atrito.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BARROSO, Leônidas Conceição; BARROSO, Magali Maria de Araújo; FILHO, Frederico Ferreira Campos;
CARVALHO, Márcio Luiz Bunte; MAIA, Miriam Lourenço. Cálculo Numérico (com aplicações). 2.ed. São
Paulo: Harbra, 1987.
BOYCE, Willian E.; DIPRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de
Contorno. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
BUTKOV, Eugene. Física Matemática. Rio de Janeiro: Guanabara, 1983.
CHAVES, Alaor Silvério. Física: Mecânica. Vol. 1. Rio Janeiro: Reichman & Affonso Ed., 2001.
SYMON, Keith R. Mecânica. Rio de Janeiro: Campus, 1982.
TIPLER, Paul A. Física. 4.ed. Vol.1. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
