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CONTEÚDO
XVI OLIMPÍADA DE MAIO
Enunciados e resultado brasileiro 2
XXI OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO CONE SUL Enunciados e resultado brasileiro (^5)
LI OLIMPÍADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA (IMO) Enunciados e resultado brasileiro (^7)
XXV OLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA
Enunciados e resultado brasileiro (^9)
ARTIGOS
ASSOCIANDO UM POLINÔMIO A EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E
TRIGONOMÉTRICAS
Marcílio Miranda (^11)
SOMAS TRIGONOMÉTRICAS: DE PROSTAFÉRESE A FÓRMULA DE EULER Rogério Possi Junior (^18)
UMA INTERESSANTE DEDUÇÃO PARA A FÓRMULA DE HERÃO
Flávio Antonio Alves (^31)
RAÍZES DA UNIDADE
Anderson Torres & Eduardo Tengan (^33)
COMO É QUE FAZ 42
SOLUÇÕES DE PROBLEMAS PROPOSTOS 45
PROBLEMAS PROPOSTOS 59
AGENDA OLÍMPICA 61
COORDENADORES REGIONAIS 62
EUREKA! N°33, 2011
XVI OLIMPÍADA DE MAIO
PRIMEIRO NÍVEL
PROBLEMA 1 Um recipiente fechado com formato de paralelepípedo retangular contém 1 litro de água. Se o recipiente se apoia horizontalmente sobre três faces distintas, o nível da água é de 2cm, 4cm e 5cm. Calcule o volume do paralelepípedo.
PROBLEMA 2 Na etapa 0 escrevem-se os números 1 , 1. Na etapa 1 intercala-se a soma dos números 1, 2 , 1. Na etapa 2 entre cada par de números da etapa anterior intercala-se a soma deles: 1, 3 , 2, 3 , 1. Uma etapa mais: 1, 4 , 3, 5 , 2, 5 , 3, 4 , 1. Quantos números há na etapa 10? Qual é a soma de todos os números que há na etapa 10?
PROBLEMA 3 É possível pintar os inteiros positivos com três cores de modo que, sempre que se somam dois números de cores distintas, o resultado da soma seja da terceira cor? (Há que usar as três cores.) Se a resposta é afirmativa, indique um possível modo de pintar; se não é possível, explique o porquê.
PROBLEMA 4 Encontre todos os números naturais de 90 dígitos que são múltiplos de 13 e têm os primeiros 43 dígitos iguais entre si e distintos de zero, os últimos 43 dígitos iguais entre si, e os 4 dígitos do meio são 2, 0, 1, 0, nessa ordem.
PROBLEMA 5 Num tabuleiro de 2 × 7 quadriculado em casas de 1 × 1 se consideram os 24 pontos que são vértices das casas. João e Matias jogam sobre este tabuleiro. João pinta de vermelho uma quantidade igual de pontos em cada uma das três linhas horizontais. Se Matias pode escolher três pontos vermelhos que sejam vértices de um triângulo acutângulo, Matias vence o jogo. Qual é a máxima quantidade de pontos que João pode pintar para ter certeza de que Matias não vencerá? (Para o número encontrado, dê um exemplo de pintura que impeça que Matias vença e justifique por quê Matias vence sempre se o número é maior.)
EUREKA! N°33, 2011
O jogo para se é impossível colocar R da forma explicada, e Bernardo vence. Ariel vence somente se estão colocadas as 10 peças no tabuleiro.
a) Suponhamos que Ariel dá as peças a Bernardo em ordem decrescente de tamanho. Qual é o menor n que garante a vitória do Ariel? b) Para o n encontrado em a), se Bernardo recebe as peças em ordem crescente de tamanho. Ariel tem garantida a vitória?
ESCLARECIMENTO: cada peça deve cobrir exatamente um número de quadrados unitários do tabuleiro igual ao seu próprio tamanho. Os lados das peças podem coincidir com partes da borda do tabuleiro.
RESULTADO BRASILEIRO
2010: Nível 1 (até 13 anos)
Nome Cidade – Estado Prêmio Murilo Corato Zanarella Amparo – SP Medalha de Ouro Daniel de Almeida Souza Brasília – DF Medalha de Prata Viviane Silva Souza Freitas Salvador – BA Medalha de Prata Carolina Lima Guimarães Vitória – ES Medalha de Bronze Pedro Henrique Alencar Costa Fortaleza – CE Medalha de Bronze Samuel Brasil de Albuquerque Fortaleza – CE Medalha de Bronze Juliana Amoedo Plácido Salvador – BA Medalha de Bronze Lucca Morais de Arruda Siaudjionis Fortaleza – CE Menção Honrosa Antonio Wesley de Brito Vieira Cocal dos Alves – PI Menção Honrosa
2010: Nível 2 (até 15 anos)
Nome Cidade – Estado Prêmio Rafael Kazuhiro Miyazaki São Paulo – SP Medalha de Ouro Lucas Cauai Julião Pereira Caucaia – CE Medalha de Prata Pedro Ivo Coêlho de Araújo Caucaia – CE Medalha de Prata Francisco Markan Nobre de Souza Filho Fortaleza – CE Medalha de Bronze Fellipe Sebastiam da Silva Paranhos Pereira Rio de Janeiro – RJ Medalha de Bronze Tadeu Pires de Matos Belfort Neto Fortaleza – CE Medalha de Bronze Henrique Gasparini Fiuza do Nascimento Brasília – DF Medalha de Bronze Rafael Rodrigues Rocha de Melo Caucaia – CE Menção Honrosa Mateus Henrique Ramos de Souza Pirapora – MG Menção Honrosa
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XXI OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO CONE SUL
Enunciados e resultado brasileiro
O Brasil, e particularmente o Estado de São Paulo teve a honra de sediar a 21ª Olimpíada de Matemática do Cone Sul, que aconteceu até o dia 19 de junho na cidade de Águas de São Pedro, SP. A equipe foi liderada pelos professores Francisco Bruno Holanda, de Fortaleza – CE e Tertuliano Franco Santos Franco, de Rio de Janeiro – RJ.
RESULTADOS DA EQUIPE BRASILEIRA
BRA1 João Lucas Camelo Sá Medalha de Ouro BRA2 Gabriel Militão Vinhas Lopes Medalha de Prata BRA3 Maria Clara Mendes Silva Medalha de Prata BRA4 Caíque Porto Lira Medalha de Bronze
PRIMEIRO DIA
PROBLEMA 1 Pedro tem que escolher duas frações irrredutíveis, cada uma com numerador e denominador positivos, tais que:
- A soma das duas frações seja igual a 2.
- A soma dos numeradores das duas frações seja igual a 1000.
De quantas maneiras Pedro pode fazer isso?
PROBLEMA 2 Marcam-se em uma reta 44 pontos, numerados 1, 2, 3, ..., 44 da esquerda para a direita. Vários grilos saltam na reta. Cada grilo parte do ponto 1, salta por pontos marcados e termina no ponto 44. Além disso, cada grilo sempre salta de um ponto marcado a outro marcado com um número maior. Quando todos os grilos terminaram da saltar, notou-se que para cada par i , j , com 1 ≤ i ≤ j ≤ 44,há um grilo que saltou diretamente do ponto i para o ponto j , sem
pousar em nenhum dos pontos entre eles. Determine a menor quantidade de grilos para que isso seja possível.
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LI OLIMPÍADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA (IMO)
Enunciados e resultado Brasileiro
A LI Olimpíada Internacional de Matemática (IMO) foi realizada na cidade de Astana, Cazaquistão entre os dias 2 e 14 de julho de 2010. A equipe foi liderada pelos professores Edmilson Luis Rodrigues Motta, de São Paulo – SP e Marcelo Mendes de Oliveira, de Fortaleza – CE.
RESULTADOS DA EQUIPE BRASILEIRA
BRA1 Marcelo Tadeu de Sá Oliveira Sales Medalha de Prata BRA2 Matheus Secco Torres da Silva Medalha de Prata BRA3 Gustavo Lisbôa Empinotti Medalha de Bronze BRA4 Deborah Barbosa Alves Menção Honrosa BRA5 Hanon Lima Rossi Menção Honrosa BRA6 João Lucas Camelo Sá Menção Honrosa
PRIMEIRO DIA
PROBLEMA 1 Determine todas as funções f :\ →\ tais que
f (^) ( x (^) y (^) ) = f (^) ( x (^) ) f ( y )
para os números x y , ∈ . ( (^) z designa o maior inteiro que é menor ou igual a z ).
PROBLEMA 2 Seja ABC um triângulo, I o seu incentro e Γ a sua circunferência circunscrita. A
recta AI intersecta novamente Γ no ponto D. Sejam E um ponto do arco B q DC e F um ponto do lado BC tais que
l l 1 l. 2
B AF = C AE < B AC
Seja G o ponto médio do segmento IF. Mostre que as rectas DG e EI se intersectam sobre Γ.
PROBLEMA 3 Seja *o conjunto dos inteiros positivos. Determine todas as funções _g_ :* →` *tais que
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( g^^ (^ m )^ +^ n^ ) ( m^ + g n (^ ))
é um quadrado perfeito para todos m n , ∈ `*.
SEGUNDO DIA
PROBLEMA 4 Seja Γ a circunferência circunscrita ao triângulo ABC e P um ponto no interior do triângulo. As rectas AP , BP e CP intersectam novamente Γ nos pontos K , L , e M , respectivamente. A recta tangente a Γ em C intersecta a recta AB em S. Supondo que SC = SP , mostre que MK = ML.
PROBLEMA 5 Em cada uma das seis caixas B 1 (^) , B 2 (^) , B 3 (^) , B 4 (^) , B 5 (^) , B 6 há inicialmente só uma moeda.
Dois tipos de operações são possíveis:
Tipo 1: Escolher uma caixa não vazia B (^) j ,com 1 ≤ j ≤ 5.Retirar uma moeda da B (^) j e
adicionar duas moedas a B (^) j + 1.
Tipo 2: Escolher uma caixa não vazia Bk ,com 1 ≤ k ≤ 4.Retirar uma moeda da Bk e
trocar os conteúdos das caixas (possivelmente vazias) Bk (^) + 1 e Bk (^) + 2.
Determine se existe uma sucessão finita destas operações que deixa as caixas
B 1 (^) , B 2 (^) , B 3 (^) , B 4 (^) , B 5 vazias e a caixa B 6 com exactamente 20102010 2010 moedas. (Observe
que
bc^ b^ c a = a )
PROBLEMA 6 Seja a 1 (^) , a 2 (^) , a 3 ,...uma sucessão de números reais positivos. Sabe-se que para algum
inteiro positivo s ,
an = max { ak + a n − k tal que 1 ≤ k ≤ n − 1 }
para todo n > s. Mostre que existem inteiros positivos (^) A e N , com A ≤ s ,tais que
a n = a A (^) + an (^) −A para todo n ≥ N.
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e CP cortam-se em X. A circunferência circunscrita a CDE corta o segmento QR em M e a circunferência circunscrita a BDF corta o segmento PR em N. Demonstrar que as rectas PM , QN e RX são concorrentes.
SEGUNDO DIA
PROBLEMA 4 As médias aritmética, geométrica e harmônica de dois números inteiros positivos distintos são números inteiros. Encontrar o menor valor possível para a média aritmética.
Nota: Se a e b são números positivos, suas médias aritméticas, geométrica e
harmônica são respectivamente: , 2
a b a b
⋅ e
a b
PROBLEMA 5 Seja ABCD um quadrilátero cíclico sujas diagonais AC e BD são perpendiculares. Sejam O o circuncentro de ABDC , K a intersecção das diagonais, L ≠ O a intersecção das circunferências circunscritas a OAC e OBD, e G a intersecção das diagonais do quadrilátero cujos vértices são os pontos médios dos lados de ABCD. Provar que O , K , L e G são colineares.
PROBLEMA 6 Ao redor de uma mesa circular sentam-se 12 pessoas e sobre a mesa há 28 vasos de flores. Duas pessoas podem ver-se uma à outra se, e somente se, não há nenhum vaso alinhado com elas. Provar que existem pelo menos duas pessoas que podem ver-se.
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ASSOCIANDO UM POLINÔMIO A EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E
TRIGONOMÉTRICAS
Marcílio Miranda, IFRN (Caicó – RN)
♦ Nível Intermediário
O objetivo deste artigo é mostrar uma técnica que pode ser bastante útil na hora de resolver problemas de olimpíadas de Matemática.Tal técnica consiste em você associar um polinômio a uma determina expressão. Com isso você pode calcular o valor de expressões trigonométricas, expressões algébricas e mostrar que um determinado número é irracional.
Vejamos alguns exemplos disso:
I) EXPRESSÕES TRIGONOMÉTRICAS
Esse problema deixa bem clara a idéia de associarmos um polinômio a uma expressão trigonométrica:
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 (BÉLGICA 2006):
a) Encontre todos os números reais α tais que cos 4( α) =cos 3( α)
b) Determine inteiros a , b , c , d tais que
cos , 7
π 4 cos , 7
π 6 cos , 7
π são soluções da
equação ax^3^ + bx^2^ + cx + d =0.
SOLUÇÃO:
a) cos 4( α ) = cos 3( α )⇔ 4 α = 3 α + 2 k π ou 4 α = − 3 α + 2 k π ⇔ α = 2 k π ou
k
π α logo
1,cos ,cos , cos 7 7 7
π π π são as raízes dessa equação.
Por outro lado temos que cos 4( α) = 8 cos⋅ 4 α− 8 cos⋅ 2 α + 1 e
cos 3α = 4 cos⋅ 3 α− 3 cos⋅ α .Faça cos α = t .Daí temos que
cos 4 ( α ) = cos 3( α ) ⇔ ( t − 1 ) ( ⋅ 8 t^3 + 4 t^2 − 4 t − (^1) ) = 8 ⋅ t^4 − 4 ⋅ t^3^ − 8 ⋅ t^2 + 3 ⋅ t + 1 =0.
Assim, a equação (^) ( 8 t^3 + 4 t^2 − 4 t − (^1) ) = 0 tem como
soluções
cos ,cos ,cos. 7 7 7
π π π
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x = + k ⇒ x = + k π π π π logo x = π é a única solução entre 0 e 2 π.
Por outro lado temos que cos 4 x = 8cos^4 x − 8cos^2 x + 1 e cos3 x = 4cos 3 x −3cos. x
cos4 x = −cos3 x ⇔ 8cos^4 x + 4cos^3 x − 8cos^2 x − 3cos x + 1 = 0 ⇔ 8 t^4 + 4 t^3^ − 8 t^2 − 3 t + 1 =0,
onde t =cos. x Claramente –1 é raiz desse polinômio, e temos 8 t^4 +4 t^3 – 8 t^2 – 3 t + 1 = ( t +1) · (8 t^3 – 4 t^2 – 4 t + 1), donde o polinômio 8 t^3 – 4 t^2 – 4 t + 1 tem como raízes 3 5 cos ,cos ,cos. 7 7 7
π π π Logo temos pelas relações de Girard que:
3 5 4 1 2 3 cos cos cos cos cos cos. 7 7 7 8 2 7 7 7
π π π π π π
II) CALCULANDO O VALOR DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA:
EXERCÍCIO RESOLVIDO 4: Prove que 3 20 + 14 2 2 + 320 − 14 22 =4.
SOLUÇÃO: Seja x = 3 20 + 14 2 2 + 320 − 14 2 2 .Temos x^3 = 40 + 6 x ⇒ x^3 – 6 x – 40
= 0. É fácil ver que 4 é raiz desse polinômio e x^3 – 6 x – 40 = ( x – 4).( x^2 + 4 x + 10).
Note que as raízes de x^2 + 4 x + 10 não são reais e 3 20 + 14 2 2 + 320 − 14 22 é
real, logo 3 20 + 14 2 2 + 320 − 14 22 =4.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 5 (CROÁCIA 2001): Se a + b + c = 0, calcule o valor da
expressão ( )
7 7 7 4 4 4.
a b c abc a b c
SOLUÇÃO: Seja x^3 + mx^2 + px + q = 0. um polinômio de terceiro grau tal que suas raízes são a , b , c. Daí temos que a + b + c = – m = 0, ab + ac + bc = p e abc = – q. Assim temos que: ( a + b + c ) 2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2⋅( ab + ac + bc ) ⇒ a^2 + b^2 + c^2 = –2 p Por outro lado temos que:
a^3 + pa + q = 0 ⇒ a^3 = – pa – q (i) b^3 + pb + q = 0 ⇒ b^3 = – pb – q (ii) c^3 + pc + q = 0 ⇒ a^3 = – pc – q (iii) somando (i) + (ii) + (iii), temos que a^3 + b^3 + c^3 = – p .( a + b + c ) – 3 q = –3 q
Da mesma forma temos que: a^4 + pa^2 + qa = 0 ⇒ a^4 = – pa^2 – qa (iv)
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b^4 + pb^2 + qb = 0 ⇒ b^4 = – pb^2 – qb (v) c^4 + pc^2 + qc = 0 ⇒ c^4 = – pc^2 – qc (vi)
somando (iv) + (v) + (vi), temos que a^4 + b^4 + c^4 = – p .( a^2 + b^2 + c^2 ) – q .( a + b + c ) = 2 p^2.
Analogamente temos que:
a^5 + pa^3 + qa^2 = 0 ⇒ a^5 = – pa^3 – qa^2 (vii)
b^5 + pb^3 + qb^2 = 0 ⇒ b^5 = – pb^3 – qb^2 (viii)
c^5 + pc^3 + qc^2 = 0 ⇒ c^5 = – pc^3 – qc^2 (ix) somando (vii) + (viii) + (ix), temos que a^5 + b^5 + c^5 = – p · ( a^3 + b^3 + c^3 ) – q · ( a^2 + b^2 + c^2 ) = 5 pq.
Proseguindo do mesmo modo, temos que:
a^7 + pa^5 + qa^4 = 0 ⇒ a^7 = – pa^5 – qa^4 (x)
b^7 + pb^5 + qb^4 = 0 ⇒ b^7 = – pb^5 – qb^4 (xi)
c^7 + pc^5 + qc^4 = 0 ⇒ c^7 = – pc^5 – qc^4 (xii) somando (x) + (xi) + (xii): a^7 + b^7 + c^7 = – p · ( a^5 + b^5 + c^5 ) – q · ( a^4 + b^4 + c^4 ) = – 7 p^2 q.
Com isso temos que ( ) ( )
7 7 7 2 4 4 4 2
a b c p q abc a b c q p
III) PROVANDO A IRRACIONALIDADE DE UM NÚMERO:
Antes do próximo problema vamos provar o seguinte teorema:
TEOREMA (TESTE DA RAIZ RACIONAL): Se o número
p q
, onde p e q são inteiros e
mdc( p , q ) = 1, é uma raiz do polinômio com coeficientes inteiros 1 1 ...^1 0 ,
n n an x an x a x a − ⋅ + (^) − ⋅ + + ⋅ + então p é um divisor de a 0 e q é um divisor de a (^) n.
PROVA: Como
p q
é raiz do polinômio temos que
1 1 1 1 ...^1 0 0 1 ...^1 0 0,
n n n n n n n n n n
p p p a a a a a p a p q a p q a q q q q
− − − − −
+^ ⋅^ +^ +^ ⋅^ +^ =^ ⇒^ ⋅^ +^ ⋅^ ⋅^ +^ +^ ⋅^ ⋅^ +^ ⋅^ =
logo temos que p é um divisor de a 0 e q é um divisor de a (^) n.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 6: Prove que 2 + 3 é irracional.
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11) Prove que cos 20^0. cos 40 0 .cos 80^0 =
12) Prove que:
a)
tg ⋅ tg ⋅ tg = π π π .
b)
tg ⋅ tg ⋅ tg ⋅ tg ⋅ tg ⋅ tg =
π π π π π π .
13) Prove que cossec 6° + cossec 78° − cossec 42° − cossec 66° = 8.
14) Calcule as expressões:
a) 2 2 2
tg ⋅ tg ⋅ tg
π π π .
b) 2 2 2
tg + tg + tg π π π .
c) 2 2 2 2 2 2
tg ⋅ tg + tg ⋅ tg + tg ⋅ tg
π π π π π π
15) Prove que
cos cos cos. 7 7 7 8
π π π
16) Ache uma equação do terceiro grau cujas raízes são
cos ,cos ,cos. 7 7 7
π π π
17) Calcule as expressões:
a)
cos cos cos. 7 7 7
π π π
b)
cos cos cos 7 7 7
π π π 3 5 cos cos cos. 7 7 7
π π π
c)
cos cos cos. 7 7 7
π π π
d) 2 2 2
cos cos cos. 7 7 7
π π π
e)
cos cos cos 7 7 7
π π π
18) Prove que tg 81 0 – tg 63 0 + tg 9^0 – tg 27^0 = 4.
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19) Sejam u , v , w as raízes do polinômio x^3 – 10 x + 11. Determine o valor de arctg u
20) Prove que cossec 18
π
π
π = 6.
21) Prove que tg 20 0. tg40 0. tg 60 0. tg 80 0 = 3.
22) Sejam a , b , c números reais tais que a + b + c = 0, prove que: a) a^3 + b^3 + c^3 = 3 abc.
b)
2 2 2 5 5 5 7 7 7 . 2 5 5
a + b + c a + b + c a + b + c ⋅ =
23) Prove que
sen20 sen40 sen. 8
24) Prove que 2 2 2
cot cot cot 5. 7 7 7
g + g + g =
π π π
25) Calcule o valor da expressão
tg + tg + tg
π π π
REFERÊNCIAS [1] MIRANDA, Marcílio. Problemas Selecionados de Matemática ITA-IME – Olimpíadas , Volume 1, Fortaleza (CE), Editora Vestseller, 2010. [2] ANDREESCU, Titu; FENG , Zuming. 103 Trigonometry Problems from the Training of the USA IMO Team , Birkhauser, 2004. [3] ANDREESCU, Titu; GELCA, Razvan. Putnam and Beyond. New York: Springer- Verlag, 2006. [4] DOMINGUES, Hygino. Fundamentos de Aritmética , São Paulo, Atual Editora, 1991.
SITES ACESSADOS [1] The IMO Compendium, Disponível em , Acesso em: 10/08/2009. [2] Treinamento do Cone Sul. Disponível em: < http://treinamentoconesul.blogspot.com/>, Acesso em: 12/08/2009. [3]Notas de Aula de Kin Yin Li. Disponível em: , Acesso em: 15/08/2009. [4] Página de Olimpíada da Sociedade Canadense de Matemática. Disponível em: < http://www.cms.math.ca/Olympiads/ >, Acesso em: 20/07/2009. [5] Matemática Nick Puzzles. Disponível em: < http://www.qbyte.org/puzzles/>, Acesso em : 15/11/2009. [6] Olimpíada Brasileira de Matemática. Disponível em: , Acesso em: 20 /11/2009.
EUREKA! N°33, 2011
cos( a + b )−cos( a − b )=− 2 sen a sen b (h)
Fazendo a + b = α e a − b = β teremos que
a = e
b = , cujos
valores substituídos nas relações (e), (f), (g) e (h) fornecerão as seguintes relações
cos
sen sen 2 sen
cos
sen sen 2 sen
α β α β α β
cos
cos cos 2 cos
α β α β α β
sen
cos cos 2 sen
α β α β α β , que são as conhecidas
Fórmulas de Transformação de soma em produto ou Fórmulas de Prostaférese.
A FÓRMULA DE EULER
Segundo GUIDORIZZI (1987), seja f ( x )uma função derivável até a ordem n em
um intervalo aberto I e seja x 0 ∈ I. Define-se o polinômio P ( x )a seguir como o
polinômio de Taylor, de ordem n , de f ( x )em torno do ponto x 0 , isto é
( ) ( ) ( )( ) (^ )^ ( )
0 (^0 )
0 0 0 0 0 1
n (^) n k n k k
x x x x P x f x f x x x f x f x n! (^) = k!
= + ′ − + …+ = (^) ∑ (i)
que, se fixado em torno de x 0 (^) = 0 , também pode ser chamado de polinômio de
Mac-Laurin. Tomando-se (i) f ( x ) = ex e x 0 = 0 , pode-se demonstrar que
lim 1
2 3 x 2 x 3
x
n
x x x
e x
n
n
x (^) (j)
A expressão da direita pode ser usada para definir ex para x para x complexo. Analogamente demonstra-se que
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−
sen lim
3 5 2
3 5 1
x x
x
n
x x x
x x
n n
n
(k)
e que
cos lim 1
2 42 x 2 x 4
n
x x x
x
n n n
(l)
Para x = Z = iY , Y ∈ R e observando-se (j), (k) e (l) teremos que
Y i Y
Y Y
i Y
Y Y
e
iY
cos sen
2 4 3 5
=^ +
= − + −… … (m)
que é a conhecida fórmula de Euler.
Não obstante, também se demonstra que se e Z^ = eX + iY , onde X ≠ 0 , então
e Z^ = eX (cos Y + i sen Y ) (n)
Se, alternativamente, adotássemos a expressão de ( n ) como definição de e ,Z não é
difícil mostrar que eZ + W^^ = eZ ⋅ eW , ∀ Z ,W ∈ ^ de fato, se Z 1 (^) = X 1 (^) + iY 1 e
Z 2 = X 2 + iY , 2 ( ( ) ( ))
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 e^ Z +^ Z^ = ex +^ x^ cos Y + Y + isen Y + Y = ex^ + x
( cos^ Y 1^ cos^ Y 2^ −^ sen^ Y 1^ sen Y 2^ +^ i^ (^ sen^ Y 1^ cos^ Y 2^ +^ sen^ Y 2^ cos Y 1 ))=
= e x^1^^ ( cos Y 1 + i sen Y 1 ) ⋅ e x^2^^ ( cos Y 2 + i sen Y 2 )= e Z^1^^ ⋅ e Z^2.
PROBLEMAS DE APLICAÇÃO
PROBLEMA 1 : Começaremos com um exemplo de problema análogo ao proposto em um exame de admissão ao Instituto Militar de Engenharia (IME). O problema pede que se calcule as somas a seguir.
S 1 = sen x +sen 2 x +sen 3 x +… +sen nx (1)
S 2 (^) = cos x + cos 2 x + ... + cos nx (2)
Utilizaremos a transformação de somas de funções trigonométricas em produto, conhecidas como “Fórmulas de Prostaférese”. Observamos que
