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Exemplos - Subespaço Gerado
Exemplo 1: O conjunto S = {(1, 2)} ∈ R^2 gera o subespaço U =
(x, y) ∈ R^2 | y = 2x
De fato, tomando um elemento u = (x, y) ∈ U , temos que y = 2x, logo podemos escrever:
u = (x, y) = (x, 2 x) = x(1, 2), com x ∈ R
Dessa forma, mostramos que qualquer elemento de U pode ser escrito como combinação linear dos elementos de S, assim, S é um conjunto de geradores para U.
Geometricamente, o elemento de S é o vetor u = (1, 2) e o subespaço U é a reta y = 2x, e de fato, essa reta é gerada pelo vetor u = (1, 2).
Figura 1: O vetor (1, 2) gera a reta y = 2x.
Exemplo 2: O conjunto S = {(1, 0), (1, 1)} gera o espaço vetorial R^2.
Para mostrar que S gera o R^2 , temos que mostrar que qualquer elemento de R^2 pode ser escrito como combinação linear dos elementos de S. Tome v = (a, b) ∈ R^2 , temos:
v = (a, b) = α 1 (1, 0) + α 2 (1, 1) =⇒
α 1 + α 2 = a =⇒ α 1 = a − b α 2 = b
Assim, todo elemento v = (a, b) ∈ R^2 pode ser escrito como (a − b)(1, 0) + b(1, 1). Logo, o conjunto S é um conjunto de geradores para o R^2.
Exemplo 3: O conjunto S = {(1, 2 , 1), (2, 0 , −1)} é um conjunto de geradores para o subes- paço U =
(x, y, z) ∈ R^3 | 2 x − 3 y + 4z = 0
Figura 2: Os vetores u = (1, 2 , 1) e v = (2, 0 , −1) geram o plano π : 2x − 3 y + 4z − 0.
Exemplo 4: Determine um conjunto de geradores para o subespaço U do R^2 , dado:
U =
(x, y, z, t) ∈ R^4 | x − y + z + t = 0 e − x + 3y + z − 2 t = 0
Das condições para que um elemento de R^4 pertença a U obtemos o sistema linear: { x − y + z + t = 0 −x + 3y + z − 2 t = 0
x − y + z + t = 0 2 y + 2z − t = 0
De onde temos: y = t− 22 ze x = −t− 2 4 z, com z, t ∈ R livres.
Assim, podemos escrever qualquer elemento u ∈ U da forma u = (x, y, z, t) =
( (^) −t− 4 z 2 ,^
t− 2 z 2 , z, t
z
2 ,^ −^1 ,^1 ,^0
2 ,^
1 2 ,^0 ,^1
, com z, t ∈ R.
Logo, S =
2 ,^ −^1 ,^1 ,^0
2 ,^
1 2 ,^0 ,^1
é um conjunto de geradores para U.
Exemplo 5: O subespaço W =
A ∈ M 2 (R) | At^ = A
, das matrizes simétricas, é um subespaço gerado por:
S =
Primeiro, precisamos encontrar uma expressão para um elemento qualquer de W. Como as matrizes A que pertencem a W são simétricas, temos A = At, e como a transposição altera somente os elementos que não estão na diagonal principal, podemos escrever:
A =
a c c b
Desse forma, tomamos A genérica e, de fato simétrica.
Desse sistema obtemos um única solução α 1 = 0 e α 2 = − 1. Logo:
A =
Assim, concluímos que A pode ser escrito como combinação linear dos elementos que geram W , logo A ∈ W.
