Baixe Determinando subespacios vetoriais em Soluções - Teorema 5.2.1 e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity!
Solu¸c˜oes (se¸c˜ao 5.2 - Anton e Rorres)
3. Use o Teorema 5.2.1 para determinar quais dos sequintes s˜ao subespac¸os de P 3. (b) todos os polinˆomios a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + a 3 x^3 para os quais a 0 + a 1 + a 2 + a 3 = 0. Soluc¸˜ao: Para que um conjunto seja subespa¸co vetorial ele deve satisfazer as duas condi¸c˜oes do Teorema 5.2.1. Ou seja, deve ser fechado para as opera¸c˜oes de soma e multiplica¸c˜ao por escalar. Vamos denominar por V o seguinte conjunto: V = { p ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + a 3 x^3 ∈ P 3 ; a 0 + a 1 + a 2 + a 3 = 0}. (i) Tomamos dois elementos arbitr´arios do conjunto V. Sejam p 1 e p 2 elementos de V tais que:
p 1 ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + a 3 x^3 ; a 0 + a 1 + a 2 + a 3 = 0 (1) p 2 ( x ) = b 0 + b 1 x + b 2 x^2 + b 3 x^3 ; b 0 + b 1 + b 2 + b 3 = 0 (2)
Queremos verificar se a soma desses elementos ( p 1 + p 2 ) resulta em um elemento que tamb´em est´a no conjunto V :
( p 1 + p 2 )( x ) = p 1 ( x ) + p 2 ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + a 3 x^3 + b 0 + b 1 x + b 2 x^2 + b 3 x^3 = ( a 0 + b 0 ) + ( a 1 + b 1 ) x + ( a 1 + b 1 ) x^2 + ( a 3 + b 3 ) x^3
Basta mostrar que a soma dos coeficientes do polinˆomio p 1 + p 2 ´e nula:
( a 0 + b 0 ) + ( a 1 + b 1 ) + ( a 1 + b 1 ) + ( a 3 + b 3 ) a 0 + a 1 + a 2 + a 3 ︸ ︷︷ ︸ 0
- b 0 + b 1 + b 2 + b 3 ︸ ︷︷ ︸ 0
pelas condi¸c˜oes em (1) e (2). Logo, p 1 + p 2 ∈ V e a primeiro item fica satisfeito. (ii) Tomamos o elemento p 1 definido em (1) e um escalar k ∈ R arbitr´ario. Queremos verificar que a multiplica¸c˜ao ( kp 1 )( x ) resulta em um elemento de V :
( kp 1 )( x ) = kp ( x ) = k ( a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + a 3 x^3 ) = ka 0 + ka 1 x + ka 2 x^2 + ka 3 x^3_._
Basta verificar que a soma dos coeficientes do polinˆomio acima ´e nula:
ka 0 + ka 1 + ka 2 + ka 3 k ( a 0 + a 1 + a 2 + a 3 ) ︸ ︷︷ ︸ 0
pela condi¸c˜ao em (1). Com isso, conclu´ımos que o conjunto V ´e um subespa¸co vetorial de P 3.
5. Use o Teorema 5.2.1 para determinar quais dos sequintes s˜ao subespac¸os de Mnn. (b) todas as matrizes A de tamanho n × n tais que AT^ = A. Soluc¸˜ao: Nesse exerc´ıcio queremos verificar se o conjunto
V = { A ∈ Mnn ; AT^ = A } ,
de todas as matrizes sim´etricas de ordem n , ´e um subespa¸co vetorial. (i) Tomamos A, B ∈ V. Ou seja, s˜ao matrizes de ordem n e com a propriedade
AT^ = A BT^ = B. (3)
Primeiro conferimos se a soma destes dois elementos ´e fechada:
( A + B ) T^ = AT^ + BT = A + B (pela condi¸c˜ao 3).
Nas igualdades acima devemos nos lembrar que a transposta da soma ´e a soma das transpostas. (ii)Tomamos um escalar arbitr´ario k :
( kA ) T^ = kAT = kA (pela condi¸c˜ao 3).
Logo, o conjunto V ´e subespa¸co vetorial de Mnn.
21. Mostre que os seguintes conjuntos de func¸˜oes s˜ao subespac¸os de F (−∞ , ∞). (a) Todas as func¸˜oes cont´ınuas em (−∞ , ∞). Soluc¸˜ao: Primeiro, devemos nos lembrar o que significa ser uma fun¸c˜ao cont´ınua. Uma fun¸c˜ao f : (−∞ , ∞) → R ´e cont´ınua em c ∈ (−∞ , ∞) se existe o limite lim x → c f ( x ) e al´em disso lim x → c f ( x ) = c. Se f for cont´ınua em todo ponto do dom´ınio, ent˜ao ´e cont´ınua. Vamos definir
V = { f : (−∞ , ∞) → R; f ´e cont´ınua em(−∞ , ∞)}.
(i) Tomamos dois elementos arbitr´arios em f, g ∈ V. Ou seja, existem os limites
lim x → c f ( x ) = c, lim x → c g ( x ) = c ∀ c ∈ (−∞ , ∞).
Verificamos que a soma ´e fechada utilizando propriedades elementares de soma de limites:
lim x → c ( f + g )( x ) = lim x → c f ( x ) + g ( x ) = lim x → c f ( x ) + lim x → c g ( x )
= f ( c ) + g ( c ) = ( f + g )( c ).
(ii)De maneira semelhante ao ´ıtem anterior, tomamos um escalar k arbitr´ario:
lim x → c ( kf )( x ) = k lim x → c ( f )( x ) = kf ( c ).
Assim, conclu´ımos que o conjunto V ´e subespa¸co vetorial.
