Baixe Exercícios de Cálculo: Integrais Definidas e Aplicações e outras Exercícios em PDF para Cálculo para Engenheiros, somente na Docsity!
Exerc´ıcios
- Encontre, se existir, o valor de cada uma das integrais abaixo
a)
R 1
0
x + √x − √ (^31) x
dx e)
R 43
(^34) x√^ dx1+x 2 i)^
R 1
−∞ exdx^ m)^
R 4
0 √ 16 xdx−x^2 b) R^12
x + √ (^31) x + √^4 x
dx f ) R^14 √^ xdx2+4x j) R^0 ∞ xe−xdx n) R^ −^11 dxx 4
c) R^0 π^3 tgxdx g) R^12 √^ dx 5 −x k) R^1 ∞x√^ dxx (^2) − 1 o) R^01 dxx 3
d)
R √ 22
0 √ 1 dx−x^2 h)^
R ∞
0 e−xdx^ l)^
R 1
0 √^ dx 1 −x p)^
R 2
0 x^ dx− 1
- Dadas as fun¸c˜oes f, g : [1, 3] → R definidas por f (x) = x + 2 e g (x) = x^2 + x encontre S (f, P ) e S (g, P ).
- Dada a fun¸c˜ao f : [a, b] → R definidas por f (x) = x^2 + 2 encontre S (f, P ).
- Seja f : [0, 1) → R definida por f (x) = √ 11 −x 2. Verifique se R^01 f (x) dx existe.
- Seja f : (−∞, +∞) → R definida por f (x) = (^) 1+^1 x 2. Verifique se
R +∞
−∞ f^ (x)^ dx existe.
1.9. Aplica¸c˜oes da Integral Definida
C´alculo da ´area em coordenadas retangulares
Se a fun¸c˜ao f (x) for n˜ao negativa, isto ´e, f (x) ≥ 0 no intervalo [a, b], ent˜ao a ´area da figura limitada pelas curvas x = a, x = b, y = 0 e y = f (x) ´e dada por
A =
Z (^) b a
f (x) dx
Por outro lado, se a fun¸c˜ao f (x) for negativa, isto ´e, f (x) < 0 no intervalo [a, b], ent˜ao a ´area da figura limitada pelas curvas x = a, x = b, y = 0 e y = f (x) ´e dada por
A = −
Z (^) b a
f (x) dx ou A =
Z (^) a b
f (x) dx
Exemplo 1.28. Encontrar a ´area sob o gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = 2x no intervalo [− 2 , 2].
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.
1
2
3
4
x
y
Figura 1.15: f(x) = 2x
Solu¸c˜ao: a representa¸c˜ao gr´afica de f pode ser observada na figura 1. Essa fun¸c˜ao tem imagem negativa no intervalo [− 2 , 0] e n˜ao negativa no intevalo [0, 2]. Desse modo, devemos proceder como segue:
A =
R 2
− 2 2 xdx = −
R 0
− 2 2 xdx^ +^
R 2
0 2 xdx = −x^2 |^0 − 2 + x^2 |^20
= − [(0)^2 − (−2)^2 ] + 2^2 − 02
− [−4] + 4 = 8ua Logo, a ´area sob o gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = 2x no intervalo [− 2 , 2] ´e 8 unidades de ´area.
Exemplo 1.29. Achar a ´area da regi˜ao delimitada pelos gr´aficos de y + x^2 = 6 e y + 2x = 3
Solu¸c˜ao: Vamos inicialmente fazer uma representa¸c˜ao gr´afica da ´area de- limitada, conforme ilustra a figura 1.
Encontrando a interse¸c˜ao do sistema
y = 6 − x^2 y = 3 − 2 x
temos: 6−x^2 = 3− 2 x ⇒
x^2 − 2 x − 3 = 0 ⇒
x 1 = 3 x 2 = − 1
e portanto os pontos de interse¸c˜ao s˜ao P 1 = (− 1 , 5)
e P 2 = (3, −3). Portanto a ´area ´e igual a ´area da par´abola menos a ´area da reta no intervalo de [-1,3].
[0, 1] (na figura 1.18), e a ´area da regi˜ao delimitada pelas curvas y = x^2 e y = √x no intervalo [0, 1] (na figura 1.19). Como podemos observar a ´area procurada ´e igual a diferen¸ca entre as ´areas um e dois. Assim, temos
Figura 1.17: ´Area um
Figura 1.18: ´Area dois
Area procurada = (´´ area dois) − (´area um) A = R^01 √xdx − R^01 x^2 dx A =
R 1
√x − x (^2) ) dx A = (^13)
Logo, a ´area procurada ´e A = 13.
Exemplo 1.31. Calcule a ´area da regi˜ao hachurada
Figura 1.19: ´Area procurada
Solu¸c˜ao:
Primeiro vamos identificar a lei que define as fun¸c˜oes lineares presente no gr´afico:
Uma reta passa pelos pontos (0,0) e (1,1) e a outra passa pelos pontos (0, 0) e (2, 12 ), portanto as equa¸c˜oes das retas s˜ao, respectivamente:
y = x
y = 14 x
Existem v´arias maneiras de calcular esta ´area, uma delas est´a apresentanda
φ (α) = 0 e φ (β) = a
a cos α = 0 a cos β = a
cos α = 0 cos β = 1
donde vem α = π 2 e β = 0
Portanto, desse modo, obteremos a quarta parte da ´area da elipse. A ´area total ser´a essa parcial multiplicada por quatro.
como
R (^) b a f^ (x)^ dx^ =^
R (^) β R (^) b α^ ψ(t)φ^0 (t)dt^ vem a f^ (x)^ dx^ = 4^
R 0
π 2 bsent(−asent)dt = − 4 ab R^ π 20 sen^2 tdt = 42 ab
R π 2 0 (1^ −^ cos 2t)^ dt = 2ab ¡t − 12 sen 2 t¢^ |
π 2 0 = 2ab
¡π 2 −^12 sen^2
¡π 2
= abπ Logo, a ´area da elipse ´e A = abπ
Exemplo 1.33. Calcular a ´area interior a elipse E 1 =
x = 2 cos t y = 4 sin t
e exterior a elipse
E 2 =
x = 2 cos t y = sin t
Figura 1.20:
A = 4
Z 0
π 2 [4 sin^ t(−2 sin^ t)^ −^ sin^ t(−2 sin^ t)]dt
Z 0
π 2 (−8 sin
(^2) t + 2 sin (^2) t)dt
Z π 2 0
−6 sin^2 tdt =
Z π 2 0
2 (1^ −^ cos 2t)dt
= 12(t − 12 sin 2t) |
π 2 0
= 12π 2 = 6πu.a
Area de um setor cuvil´^ ´ ıneo em coordenadas polares
Seja ρ = f (θ) uma fun¸c˜ao cont´ınua que descreve uma curva em coordenadas polares no intervalo [α, β]. Como nosso interesse ´e determinar a ´area da regi˜ao delimitada por ρ = f (θ) vamos tomar uma parti¸c˜ao do intervalo [α, β], conforme ilustra a figura 1.
Figura 1.21: ´Area de um setor
Seja X = {θ 0 , θ 1 , θ 2 , θ 3 , ...............θn}
uma parti¸c˜ao de [α, β] em que
α = θ 0 < θ 1 < θ 2 < θ 3 < ........ < θn = β
Z
π 2 0 (2 cos^ θ^ −^ cos^2 θ)dθ =
Z
π 2 0 [2 cos^ θ^ −^
2 (1 + cos 2θ)]dθ
= 2 sin θ − 12 θ − 12 sin 2θ
π 2 0 = 2^ −^
π 4 Portanto, a ´area ´e igual A = 2 − π 4 u.a
Exemplo 1.35. Escreva, em coordenadas polares, a integral que calcula a ´area exterior ao c´ırculo ρ = 1 e interior a ros´acea ρ = 2 cos(2θ)
Solu¸c˜ao: a figura 1.23 ilustra a ´area delimitada
Figura 1.23: Area delimitada´
( Inicialmente, vamos determinar os pontos de interse¸c˜ao das duas curvas: ρ = 2 cos(2θ) ρ = 1
, temos:
2 cos(2θ) = 1 cos 2θ = (^12) θ = π 6 (no I quad) Vamos calcular a ´area no intervalo de [0, π 6 ] e multiplicar por 8, j´a que as demais s˜ao equivalentes. Utilizando a f´ormula 1. e verificando que a ´area total ´e igual a ´area da ros´acea menos a ´area do c´ırculo obtemos: A = 8.^12
Z π 6 0
[(2 cos(2θ))^2 − (1)^2 ]dθ
Comprimento de um arco
Seja y = f (x) uma fun¸c˜ao cont´ınua no intervalo [a, b] cujo gr´afico descreve o arco dAB, conforme ilustra a 1.
a x^ x^ x^ b
M
M
M
M
f(x )
f(x )
0
1 ι−
ι
ι−1 ι
ι−
ι
∆
∆
∆ ∆ x
s y
Figura 1.24: Comprimento de arco
Vamos dividir o arco ABd em subarcos por meio da parti¸c˜ao
X = {M 0 , M 1 , M 2 , ....., Mn}
em que A = M 0 < M 1 < M 2 < ..... < Mn = B
e abscissas s˜ao x 0 , x 1 , x 2 , ....., xn.
Tracemos as cordas
M 0 M 1 , M 1 M 2 , ...., Mi− 1 Mi, ....., Mn− 1 Mn
e designemos os seus comprimentos por
∆S 1 , ∆S 2 , ......., ∆Si, ..., ∆Sn.
Obtem-se ent˜ao a linha poligonal
AM 0 M 1 , ....., Mn− 1 B
ao longo do arco ABd cujo comprimento aproximado ´e:
Seja |∆x| o intervalo de maior diˆametro de cada parti¸c˜ao de ABd. Ent˜ao, se n → ∞ segue que |∆x| → 0 e (ξi) → x. Assim:
l = lim n→∞ln = (^) |∆limx|→ 0 P^ n i=
q 1 + (f 0 (ξi))^2 ∆xi =
R (^) b a
q 1 + (f 0 (x))^2 dx
Portanto, o comprimento do arco dAB no intervalo [a, b] ´e dado por
l =
Z (^) b a
q 1 + (f^0 (x))^2 dx (1.3)
Exemplo 1.36. Determinar o comprimento do arco na fun¸c˜ao y = √x no intervalo [0, 4].
Solu¸c˜ao: a figura 1.25 ilustra o comprimento de arco
0.0 0 1 2 3 4
x
y
Figura 1.25: f (x) = √x
Sendo y = f (x) = √x temos f 0 (x) = 2 √^1 x. Assim, aplicando a f´ormula 1. vem
l =
R (^) b a
q 1 + (f^00 (x))^2 dx l = R^04
r 1 +
2 √x
dx l =
R 4
0
q 1 + (^41) x dx l =
R 4
0
q 4 x+ 4 x dx l = 12 R^04
√ 4 x+ √x dx
tendo t^2 = x temos dx = 2tdt, t ∈ [0, 2]. l = (^12)
R 2
0
√ 4 t (^2) + √t 2 2 tdt = R^02 √ 4 t^2 + 1dt a primitiva de
4 t^2 + 1´e tabelada, logo l = 12 t
4 t^2 + 1 + 14 ln
2 t +
4 t^2 + 1
|^20
Cujo resultado ´e l =
17 + 14 ln
Comprimento de um arco em coordenadas param´etricas
Sejam x = φ (t) e y = ψ (t) para t ∈ [α, β] as equa¸c˜oes param´etricas de y = f (x). Ent˜ao, como dx = φ^0 (t) dt, dy = ψ^0 (t) dt e f 0 (x) = dydx podemos escrever:
f^0 (x) = dydx
f 0 (x) = ψ
(^0) (t) dt φ^0 (t) dt =^
ψ^0 (t) φ^0 (t)
Substituindo na f´ormula 1.3 vem
l = R^ ab
q 1 + (f^0 (x))^2 dx
l =
R (^) β α
s 1 +
μψ (^0) (t) φ^0 (t)
φ^0 (t) dt
l = R^ αβ
s 1 + (ψ
(^0) (t))^2 (φ^0 (t))^2
φ^0 (t) dt
l = R^ αβ
s (φ^0 (t))^2 + (ψ^0 (t))^2 φ^0 (t)^2
φ^0 (t) dt
l = R^ αβ
q (φ^0 (t))^2 + (ψ^0 (t))^2 φ^0 (t) x
(^0) (t) dt
l = R^ αβ
q (φ^0 (t))^2 + (ψ^0 (t))^2 dt Portanto, o comprimento de arco em coordenadas param´etricas ´e dado por
l =
Z (^) β α
q (φ^0 (t))^2 + (ψ^0 (t))^2 dt (1.4)
Exemplo 1.37. Calcular o comprimento de arco da astr´oide dada por:
φ (t) = 3 cos^3 t
e ψ(t) = 3sen^3 t.
Solu¸c˜ao: Podemos encontrar o comprimento do subarco no primeiro quad- rante e multiplicar o resultado por quatro. Como φ^0 (t) = −9 cos^2 sent, ψ^0 (t) = 9sen^2 t cos t e t ∈ £ 0 , π 2 ¤^ substituindo na f´ormula 1.4 vem
φ (θ) = f (θ) cos θ e ψ (θ) = f (θ) senθ donde vem φ^0 (θ) = f 0 (θ) cos θ − f (θ) senθ ou φ^0 (θ) = ρ^0 cos θ − ρsenθ ψ^0 (θ) = f^0 (θ) senθ + f (θ) cos θ ou ψ^0 (θ) = ρ^0 senθ + ρ cos θ Agora (φ^0 (t))^2 + (ψ^0 (t))^2 = (ρ^0 cos θ − ρsenθ)^2 + (ρ^0 senθ + ρ cos θ)^2 Resolvendo os produtos not´aveis e simplificando obtemos (φ^0 (t))^2 + (ψ^0 (t))^2 = (ρ^0 )^2 + ρ^2 Substituindo na equa¸c˜ao 1.4 obtemos a f´ormula para o c´alculo do compri- mento de arco em coordenadas polares dada por
l =
Z (^) β α
q (ρ^0 )^2 + ρ^2 dθ (1.5)
Exemplo 1.39. Encontrar o comprimento de arco do cardi´oide ρ = a (1 + cos θ).
Solu¸c˜ao: Podemos determinar o comprimento do arco no primeiro e se- gundo quadrante e multipicar por dois. Como ρ = a (1 + cos θ) tem-se ρ^0 = −asenθ. Substituindo na f´ormula 1.5 vem
l =
R (^) β α
q (ρ^0 )^2 + ρ^2 dθ l = 2
R (^) π 0
q (−asenθ)^2 + (a (1 + cos θ))^2 dθ l = 2a
R (^) π 0
sen^2 θ + 1 + 2 cos θ + cos^2 θdθ l = 2a
R (^) π 0
2 + 2 cos θdθ l = 2a · 2 R^0 π cos θ 2 dθ l = 4a · 2 sin 12 θ|π 0 l = 8a uc
Logo, o comprimento de arco do cardi´oide ρ = a (1 + cos θ) ´e l = 8a uc.
Exemplo 1.40. Mostre, usando coordenadas param´etricas, que o comprimento de uma circunferˆencia de raio r ´e 2 πr.
Solu¸c˜ao:
Em param´( etrica, a circunferˆencia ´e representada por: x(t) = r cos t y(t) = r sin t
O comprimento de arco em param´etrica ´e l = R^ tt 12
p (x^0 (t))^2 + (y^0 (t))^2 dt Usando a simetria temos:
l = 4
Z π 2 0
p (−r sin t)^2 + (r cos t)^2 dt
l = 4
Z π 2 0
q r^2 (sin^2 t + cos^2 t)dt
l = 4
Z π 2 0
rdt l = 4 rt |
π 2 0 = 2πr Logo o comprimento da circunferˆencia ´e 2πr.
1.10. Volume de um s´olido de revolu¸c˜ao
Considere o s´olido T gerado pela rota¸c˜ao da curva y = f(x) em torno do eixo x no intervalo [a, b]. (ver figura 1.26)
Figura 1.26: Rota¸c˜ao de uma curva em torno do eixo x
Demonstra¸c˜ao: Seja
P = {x 0 , x 1 , ......., xn}
uma parti¸c˜ao do intervalo [a, b] e sejam
∆x 1 , ∆x 2 , ......., ∆xn
Figura 1.27:
V 1 = π
Z 4
0
22 dx V 1 = 4 π4 = 16π
como temos um raio igual a r = 3 e h = 6 para o cone, obtemos a reta y = 13 x para rotacionar em torno do eixo x
V 2 = π
Z 6
0
μ 1 3 x
dx
V 2 = 271 πx^3 |^60 =^6
3 27 π^ = 8π portanto o V = 16 π + 8π = 24π uv
Exemplo 1.42. Calcule o volume do s´olido gerado pela rota¸c˜ao da curva f(x) = x^3 , no intervalo [1,2].
Resolu¸c˜ao : Observe a figura 1.
Figura 1.28: fonte:Pilchowski (2004)
V = π
Z (^) b a
[f (x)]^2 dx
V = π
Z 2
1
£x 3 ¤ (^2) dx
= π
Z 2
1
x^6 dx
= π x
7 7 p
(^21)
= π[^2
7 7 −^
7 ] =
127 π 7 u.v Portanto, o volume ´e V = 1277 πu.v
Exemplo 1.43. Determinar o volume do s´olido de revolu¸c˜ao gerado pela regi˜ao delim- itada pelas curvas y = x^2 e y = x + 2 em torno do eixo x.
ver figura 1. Solu¸c˜ao: Nesse exemplo n˜ao foi especificado o intervalo em que est´a situada a regi˜ao delimitada pelas curvas. Portanto, devemos determin´a-lo. O intervalo fica determinado se conhecermos os pontos de interse¸c˜ao das curvas. Encontramos tais
pontos resolvendo o sistema de equa¸c˜oes
y = x^2 y = x + 2
. E f´´ acil ver que a solu¸c˜ao vem
