Baixe Exercício de Estruturas hiperestáticas e outras Exercícios em PDF para Teoria das Estruturas, somente na Docsity!
4,0 m 8,0 m
4,0 m
2 tf/m
A B
D
C
E
2 tf/m
4,
m (θb, θc)
q.l
q.l 12
BC (^) - BC=
2 2
INCÓGNITAS
4,0 m 8,0 m
A B
D
C
E
SISTEMA PRINCIPAL (0)
β 10 β^20
+10,667 -10,
ϕ = 1
4,0 m 8,0 m
SISTEMA AUXILIAR (1)
β 11 β^21
x θb
4 EI l
= 48 = 3 EI l
= 43 =
2 EI l
= 28 =
1 2
0,
0, 0, AB
BC BC
4 EI l
= 44 =1, DB
2 EI l
= 42 =0, DB
A B
D
C
E
1. Traçar os diagramas de esforços solicitantes (esforço normal, esforço cortante e momento fletor) do pórtico abaixo por meio do método dos deslocamentos. Considerar as barras indeformáveis axialmente e EI constante.
Sugestão: EI sendo constante, podemos substituí-lo por 1 para facilitar as contas, pois ele se auto-cancelará no cálculo dos momentos finais.
1.0 Sistema principal 0
1.1 Sistema auxiliar 1 (Giro unitário no nó 1, ou seja, nó B)
ϕ = 1
4,0 m 8,0 m
SISTEMA AUXILIAR (2)
β 12 β^22
x θc
2 EI l
= 82 = 4 EI l
= 48 =
3 EI l
= 43 =
0, BC 0, BC
CE
A (^) 0, B
D
C
E
1.2 Sistema auxiliar 2 (Giro unitário no nó 2, ou seja, nó C)
1.3 Cálculo dos ∶′∁
‐⡩⡨ = +10,667 ‐⡩⡩ = 0,75 + 0,5 + 1,0 = 2,25 ‐⡩⡰ = 0,
‐⡰⡨ = −10,667 ‐⡰⡩ = 0,25 ‐⡰⡰ = 0,5 + 0,75 = 1,
1.4 Montagem do sistema de equações
‐⡩⡨ + ‐⡩⡩‖〃 + ‐⡩⡰‖〄 = 0 ‐⡩⡩‖〃 + ‐⡩⡰‖〄 = −‐⡩⡨ ‐⡰⡨ + ‐⡰⡩‖〃 + ‐⡰⡰‖〄 = 0 ‐⡰⡩‖〃 + ‐⡰⡰‖〄 = −‐⡰⡨
2,25‖〃 + 0,25‖〄 = −(10,667) 2,25‖〃 + 0,25‖〄 = −10, 0,25‖〃 + 1,25‖〄 = −(−10,667) 0,25‖〃 + 1,25‖〄 = +10,
Resolvendo o sistema por meio da calculadora, obtém-se:
≂⅘ =
⡹➂,➅❸➅ ⅡⅥ ∀Ↄↆ^ e^ ≂⅙^ =^
➆,➃➆➄ ⅡⅥ ∀Ↄↆ
Obs: Não esquecer que o coeficiente EI ainda existe e deve ser colocado na resposta.
4,0 m 8,0 m
m
DMF[tfxm]
q.l
BC
2
4,
10, 7,
7, 5,
2,
A B
D
C
E
ᠹ々〳^ = ᠹ々ㄖ + ᠹ々ㄗ. ‖〃 + ᠹ々ㄘ. ‖〄
ᠹ々〳^ = 0 ㎗ 0,5ᡶ䙦㎘5,818䙧 ㎗ 0
ⅩⅠↈ^ 㐄 ㎘ ❹, ➆❷➆ ∂ↈ∆↕ ↷ Giro horário
Barra CE
ᠹ〄〳^ = ᠹ〄ㄖ + ᠹ〄ㄗ. ‖〃 + ᠹ〄ㄘ. ‖〄
ᠹ〄〳^ = 0 ㎗ 0 ㎗ 0,75ᡶ䙦9,697䙧
Ⅹ⅙ↈ^ 㐄 ➄, ❹➄➀ ∂ↈ∆↕ ↶ Giro anti-horário
ᠹ〆〳^ = ᠹ〆ㄖ + ᠹ〆ㄗ. ‖〃 + ᠹ〆ㄘ. ‖〄
ᠹ〆〳^ = 0 ㎗ 0 ㎗ 0
ⅩⅡↈ^ 㐄 ❷
1.6 Traçado do diagrama de momento fletor (DMF)
A B
4,0 m
4,
4, 4 =^ 1,091 tf^
4, 4 =^ 1,091 tf
16 tf (resultante)
B (^) C
10,
8,0 m
7,
16 2 =^ 8 tf^
16 2 =^ 8 tf
10, 8 =^ 1,273 tf^
10, 8 =^ 1,273 tf
7, 8 =^ 0,91 tf^
7, 8 =^ 0,91 tf
8,363 tf 7,637 tf
1.7 Cálculo das reações de apoio
1.7.1 Análise da barra AB
1.7.2 Análise da barra BC
1.7.6 Reações do apoio em A
Para calcular a reação horizontal em A, deve-se somar todas as reações calculadas anteriormente barra por barra, que estão no mesmo eixo horizontal que corta o ponto A, e que também estão interligadas por meio de barras ao mesmo ponto A, portanto tem-se uma reação em B e outra em C, então adotando para a direita sentido positivo, obtém-se:
ᠴ。 = −2,182 + 1,818 = −0,364 ᡲᡘ
O valor negativo indica que o sentido da reação é da direita para a esquerda.
∴ ᠴ。 = 0,364 ᡲᡘ ←
Para calcular a reação vertical em A, deve-se somar todas as reações calculadas anteriormente barra por barra, que estão no mesmo eixo vertical que corta o ponto A, e que também estão interligadas por meio de barras ao mesmo ponto A, porém tem-se apenas uma reação no mesmo eixo, neste caso, esta será a própria reação ᡈ。, sendo assim, obtém- se:
ᡈ。 = 1,091 ᡲᡘ ↓
1.7.7 Reações do apoio em D
Para calcular a reação horizontal em D, deve-se somar todas as reações calculadas anteriormente barra por barra, que estão no mesmo eixo horizontal que corta o ponto D, e que também estão interligadas por meio de barras ao mesmo ponto D, porém tem-se apenas uma reação no mesmo eixo, neste caso, esta será a própria reação ᠴ々, sendo assim, obtém-se:
ᠴ々 = 2,182 ᡲᡘ →
Para calcular a reação vertical em D, deve-se somar todas as reações calculadas anteriormente barra por barra, que estão no mesmo eixo vertical que corta o ponto D, e que também estão interligadas por meio de barras ao mesmo ponto D, portanto tem-se duas reações em B, uma referente a barra AB e outra referente a barra BC, então adotando para cima sentido positivo, obtém-se:
ᡈ々 = 1,091 + 8,363 = 9,454 ᡲᡘ
∴ ᡈ々 = 9,454 ᡲᡘ ↑
O valor do momento em D é o próprio momento final em D da barra BD já calculado anteriormente, portanto tem-se:
ᠹ々 = 2,909 ᡲᡘ. ᡥ ↻ (ᡱᡗᡦᡲᡡᡖᡧ ℎᡧᡰáᡰᡡᡧ)
A B
D
C
E
16 tf (resultante)
HA = 0,364 tf
VA = 1,091 tf
HD = 2,182 tf
VD = 9,454 tf
MD = 2,909 tf.m
HE = 1,818 tf
VE = 7,637 tf
1.7.8 Reações do apoio em E
Para calcular a reação horizontal em E, deve-se somar todas as reações calculadas anteriormente barra por barra, que estão no mesmo eixo horizontal que corta o ponto E, e que também estão interligadas por meio de barras ao mesmo ponto E, porém tem-se apenas uma reação no mesmo eixo, neste caso, esta será a própria reação ᡈ〆, sendo assim, obtém- se:
ᠴ〆 = 1,818 ᡲᡘ ←
Para calcular a reação vertical em E, deve-se somar todas as reações calculadas anteriormente barra por barra, que estão no mesmo eixo vertical que corta o ponto E, e que também estão interligadas por meio de barras ao mesmo ponto E, porém tem-se apenas uma reação no mesmo eixo, neste caso, esta será a própria reação ᡈ〆, sendo assim, obtém- se:
ᡈ〆 = 7,637 ᡲᡘ ↑
1.7.9 Esquema de todas as reações da estrutura
4,0 m 8,0 m
m
DEC [ tf ] (^) 7,
8,
1,
1,
2,
A
B
D
C
E
1.8.3 Trecho 3
ᡃ〶,⡱ = ᠴ々 = − 2,182 ᡲᡘ
ᡃ〳,⡱ = ᡃ〶,⡱ = − 2,182 ᡲᡘ
1.8.4 Trecho 4
ᡃ〶,⡲ = ᠴ〆 = 1,818 ᡲᡘ
ᡃ〳,⡲ = ᡃ〶,⡲ = 1,818 ᡲᡘ
1.8.5 Traçado do diagrama de esforço cortante (DEC)
x 1 x 2
x^3 x^4
2 tf/m
A B
D
C
E
HA = 0,364 tf
VA = 1,091 tf
HD = 2,182 tf
VD = 9,454 tf
MD = 2,909 tf.m
HE = 1,818 tf
VE = 7,637 tf
16 tf (resultante)
1.9 Diagrama de esforço normal
Legenda:
ᡀ〶,〷 → ᠱᡱᡘᡧᡰçᡧ ᡦᡧᡰᡥᡓᡤ ᡦᡧ ᡡᡦ í ᡕᡡᡧ ᡖᡧ ᡲᡰᡗᡕℎᡧ ᡢ
ᡀ〳,〷 → ᠱᡱᡘᡧᡰçᡧ ᡦᡧᡰᡥᡓᡤ ᡦᡧ ᡘᡡᡥ ᡖᡧ ᡲᡰᡗᡕℎᡧ j
Convenção:
ᠲᡧᡰçᡓ " saindo" ᡖᡓ ᡱᡗçãᡧ, ᡗᡱᡘᡧᡰçᡧ ᡦᡧᡰᡥᡓᡤ ᡨᡧᡱᡡᡲᡡᡴᡧ (ᡆᡰᡓçãᡧ).
ᠲᡧᡰçᡓ " entrando" ᡦᡓ ᡱᡗçãᡧ, ᡗᡱᡘᡧᡰçᡧ ᡦᡧᡰᡥᡓᡤ ᡦᡗᡙᡓᡲᡡᡴᡧ (ᠩᡧᡥᡨᡰᡗᡱᡱãᡧ).
1.9.1 Trecho 1
ᡀ〶,⡩ = ᠴ。 = 0,364 ᡲᡘ
ᡀ〳,⡩ = ᡀ〶,⡩ = 0,364 ᡲᡘ
1.9.2 Trecho 2
ᡀ〶,⡰ = ᡀ〳,⡩ − ᠴ々 = 0,364 − 2,182 = −1,818 ᡲᡘ
ᡀ〳,⡰ = ᡀ〶,⡰ = −1,818 ᡲᡘ
