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Geometria (11.o^ ano)
Trigonometria
Exerc´ıcios de Provas Nacionais e Testes Interm´edios
- Na figura ao lado, est˜ao representados, em referencial o.n. Oxy, o quadril´atero [ABCD] e a circunferˆencia de centro em O e raio 4.
Sabe-se que:
- o segmento de reta [AC] ´e um diˆametro da circunferˆencia;
- ↵ ´e a inclina¸c˜ao, em radianos, da reta AC
i (^) ⇡ 2
h⌘ ;
- o ponto B pertence ao semieixo negativo Ox, e o ponto D pertence ao semieixo positivo Ox ;
- as retas AB e CD s˜ao paralelas ao eixo Oy.
Mostre que a ´area do quadril´atero [ABCD] ´e dada pela express˜ao 32 sen ↵ cos ↵.
C
x
y
O
A
D
B
Exame – 2024, Ep. especial (adaptado)´
- Na figura ao lado, est˜ao representadas, em referencial o.n. Oxy, a circunferˆencia de centro em O e raio 2 e uma regi˜ao sombreada composta pelo trap´ezio [OBCD], retˆangulo em C e em D, e pelo sector circular correspondente ao ˆangulo orientado AOB, de amplitude ↵, em radianos, com ↵ 2
i 0 ,
h , e raio OA.
Sabe-se que:
- o ponto A pertence `a circunferˆencia e ao semieixo positivo Ox;
- os pontos B e C pertencem `a circunferˆencia, sendo C o sim´etrico de B, em rela¸c˜ao ao eixo Oy.
D x
y
O
B
A
C
Mostre que a ´area da regi˜ao sombreada ´e dada, em fun¸c˜ao de ↵, pela express˜ao
2 ↵ + 6 sen ↵ cos ↵
Exame – 2024, 1.a^ Fase (adaptado)
- Na figura ao lado, est˜ao representados, em referencial o.n. Oxy, a circunferˆencia trigonom´etrica, o triˆangulo [ABC] e a reta de equa¸c˜ao x = 1.
Sabe-se que:
- o ponto A tem coordenadas (1,0);
- o ponto B pertence `a reta de equa¸c˜ao x = 1;
- C ´e o ponto de intersec¸c˜ao da semirreta OB˙ com a circunferˆencia trigonom´etrica;
- A OBˆ = ↵, 0 < ↵ <
e cos ↵ =
Determine a ´area do triˆangulo [ABC].
A
x
y
O
C
B
Exame – 2023, Ep. especial´
- Na figura ao lado, est˜ao representados, em referencial o.n. Oxy, uma semicircunferˆencia de raio 2 , e centro na origem do referencial, e o triˆangulo is´osceles [ABC].
Sabe-se que:
- o v´ertice A pertence ao semieixo positivo Ox;
- o v´ertice B pertence ao semieixo positivo Oy;
- o v´ertice C pertence ao semieixo negativo Ox;
- AB = BC ;
- o lado [AB] ´e tangente `a semicircunferˆencia no ponto T ;
- A OTˆ = ↵, ↵ 2
i 0 ,
h .
x
y
C O
T
A
B
Prove que a ´area do triˆangulo [ABC] ´e dada, em fun¸c˜ao de ↵, por
sen ↵. cos ↵
Exame – 2023, 2.a^ Fase (adaptado)
- Na figura ao lado, est´a representado um triˆangulo, [ABC] , inscrito numa semicircunferˆencia de diˆametro AC = 4.
Seja ↵ a amplitude do ˆangulo CAB.
Mostre que a ´area da regi˜ao sombreada na figura ´e dada, em fun¸c˜ao de ↵, por 2 ⇡ 8 sen ↵ cos ↵
A
C
B
Exame – 2022, Ep. especial (adaptado)´
- Na figura ao lado, est˜ao representados, num referencial o.n. xOy, a circunferˆencia de centro em O e raio 3 e o triˆangulo [ABC]
Sabe-se que:
- o segmento de reta [AB] ´e um diˆametro da circunferˆencia;
- ↵ ´e a inclina¸c˜ao da reta AB,
i (^) ⇡ 2
h⌘ ;
- o ponto C pertence ao semieixo positivo Ox
- a reta BC ´e paralela ao eixo Oy
Mostre que a ´area do triˆangulo [ABC] ´e dada pela express˜ao
9 sen ↵ cos ↵
B
x
y
O
A
↵ C
Exame – 2021, 1.a^ Fase
- Na figura ao lado, est˜ao representados, num referencial o.n. xOy, a circunferˆencia trigonom´etrica, a reta r de equa¸c˜ao x = 1, e um ponto A, de ordenada a (a > 1), pertencente `a reta r
Est´a tamb´em representada a semirreta OA˙ , que intersecta a cir- cunferˆencia trigonom´etrica no ponto B
Qual das express˜oes seguintes d´a, em fun¸c˜ao de a, a abcissa do ponto B?
(A)
p a 2 + 1
(B)
p a 2 + 1
(C)
p a 2 1
(D)
p a 2 1
x
y
O
r
a (^) A B
Exame – 2020, 1.a^ Fase
- Qual ´e o valor de sen
3 arccos
(A)
p 3 2
(B)
p 2 2
(C) 0 (D) 1
Exame – 2019, 2.a^ Fase
- Qual ´e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao 2 cos x + 1 = 0 no intervalo [ ⇡, 0]?
(A)
(B)
(C)
(D)
Exame – 2019, 1.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representado um triˆangulo [ABC]
Sabe-se que:
- AC = 5
- B ACˆ = 57
- A BCˆ = 81 Qual ´e o valor de AB, arredondado `as cent´esimas?
(A) 3 , 31 (B) 3 , 35 (C) 3 , 39 (D) 3 , 43
B
A
C
Exame – 2018, 2.a^ Fase
- Qual ´e o valor de arcsen(1) + arccos
(A)
(B)
(C)
(D)
Exame – 2018, 1.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representada uma circunferˆencia de centro no ponto O e raio 1
Sabe-se que:
- os diˆametros [AC] e [BD] s˜ao perpendiculares;
- o ponto P pertence ao arco AB
- [P Q] ´e um diˆametro da circunferˆencia;
- o ponto R pertence a [OD] e ´e tal que [QR] ´e paralelo a [AC]
Seja ↵ a amplitude, em radianos, do ˆangulo AOP
i 0 ,
h⌘ ;
Qual das seguintes express˜oes d´a a ´area do triˆangulo [P QR], representado a sombreado, em fun¸c˜ao de ↵?
P
C A
B
D
O ↵
Q R
(A)
sen ↵ cos ↵ 4
(B)
sen ↵ cos ↵ 2
(C) 2 sen ↵ cos ↵ (D) sen ↵ cos ↵
Exame – 2016, 2.a^ Fase (adaptado)
- Na figura ao lado, est˜ao representadas, num referen- cial o.n. xOy, a circunferˆencia de centro O e a reta r
Sabe-se que:
- os pontos A e B pertencem `a circunferˆencia;
- o ponto B tem coordenadas (0,1)
- a reta r ´e tangente `a circunferˆencia no ponto B
- o ponto C ´e o ponto de interse¸c˜ao da reta r com a semirreta OA˙
- ↵ ´e a amplitude, em radianos, do ˆangulo AOB, com ↵ 2
i 0 ,
h
B
O x
y
r
C
A
Qual das express˜oes seguintes representa, em fun¸c˜ao de ↵, a ´area da regi˜ao a sombreado?
(A)
sen ↵ ↵ 2
(B)
tg ↵ ↵ 2
(C)
tg ↵ 2
(D)
Exame – 2014, Ep. especial´
- Na figura ao lado, est˜ao representados uma circunferˆencia de centro O e raio 2 e os pontos P , Q, R e S
Sabe-se que:
- os pontos P , Q, R e S pertencem `a circunferˆencia;
- [P R] ´e um diˆametro da circunferˆencia;
- P Q = P S
- ↵ ´e a amplitude, em radianos, do ˆangulo QP R
- ↵ 2
i 0 ,
h
R
P
Q S
O
19.1. Mostre que a ´area do quadril´atero [P QRS], ´e dada em fun¸c˜ao de ↵, pela express˜ao
16 sen ↵ cos ↵
19.2. Para um certo n´umero real ✓, com ✓ 2
i 0 ,
h , tem-se que tg ✓ = 2
p 2 Determine o valor exato da ´area do quadril´atero [P QRS] correspondente ao n´umero real ✓, recorrendo a m´etodos anal´ıticos, sem utilizar a calculadora.
Exame – 2014, 2.a^ Fase (adaptado)
- Na figura seguinte, est´a representada, num referencial o.n. xOy, uma circunferˆencia de centro O e raio 1
Sabe-se que:
- os pontos A e B pertencem `a circunferˆencia;
- o ponto A tem coordenadas (1,0)
- os pontos B e C tˆem a mesma abcissa;
- o ponto C tem ordenada zero;
- o ponto D tem coordenadas ( 3 ,0)
- ↵ ´e a amplitude, em radianos, do ˆangulo AOB, com ↵ 2
i (^) ⇡ 2
h
C x
y
O
B
D A
Qual das express˜oes seguintes representa, em fun¸c˜ao de ↵, a ´area do triˆangulo [BCD]?
(A)
( 3 sen ↵) cos ↵ (B)
( 3 + sen ↵) cos ↵
(C)
(3 + cos ↵) sen ↵ (D)
(3 cos ↵) sen ↵
Exame – 2014, 1.a^ Fase
- Qual das express˜ oes seguintes designa um n´umero real positivo, para qualquer x pertencente ao intervalo
⇡,
(A) sen x + cos x (B)
cos x tg x
(C) tg x sen x (D) sen x ⇥ tg x
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 11.03.
- Considere, em R, a equa¸c˜ao trigonom´etrica sen x = 0, 3
Quantas solu¸c˜oes tem esta equa¸c˜ao no intervalo [ 20 ⇡, 20 ⇡[?
(A) 20 (B) 40 (C) 60 (D) 80 Teste Interm´edio 11.o^ ano – 11.03.
- Na figura ao lado, est˜ao representados, num referencial o.n. xOy, o triˆangulo [OAB] e a reta r Sabe-se que:
- a reta r ´e definida por x = 3
- o ponto A pertence `a reta r e tem ordenada positiva;
- o ponto B ´e o sim´etrico do ponto A em rela¸c˜ao ao eixo Ox
- ↵ ´e a amplitude, em radianos, do ˆangulo cujo lado origem ´e o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade ´e a semirreta OA˙
- ↵ 2
i (^) ⇡ 2
h
Mostre que o per´ımetro do triˆangulo [OAB] ´e dado, em fun¸c˜ao de ↵, pela express˜ao 6 tg ↵
cos ↵
y
O
r
B
A
x
Exame – 2013, 2.a^ Fase (adaptado)
- Considere o intervalo
Qual das equa¸c˜oes seguintes n˜ao tem solu¸c˜ao neste intervalo?
(A) cos x = 0 , 5 (B) sen x = 0 , 5 (C) cos x = 0 , 9 (D) sen x = 0 , 9
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 6.03.
- Na figura ao lado, est´a representado, num referencial o.n. xOy, o c´ırculo trigonom´etrico.
Os pontos A, B, C e D s˜ao os pontos de intersec¸c˜ao da circunferˆencia com os eixos do referencial.
Considere que um ponto P se desloca ao longo do arco BC, nunca coincidindo com B nem com C Para cada posi¸c˜ao do ponto P , seja Q o ponto do arco AB que tem ordenada igual a ordenada do ponto P e seja R o ponto do eixo Ox que tem abcissa iguala abcissa do ponto Q
Seja ↵ a amplitude, em radianos, do ˆangulo orientado que tem por lado origem o semieixo positivo Ox e por lado extremidade a semirreta OP˙ ,
i (^) ⇡ 2
h⌘
Resolva os itens seguintes, sem recorrer `a calculadora.
P
x
y
O
A
B
C
D
Q
R
27.1. Mostre que a ´area do trap´ezio [OP QR] ´e dada por
sen ↵ cos ↵
27.2. Para uma certa posi¸c˜ao do ponto P , a reta OP intersecta a reta de equa¸c˜ao x = 1 num ponto de ordenada
Determine, para essa posi¸c˜ao do ponto P , a ´area do trap´ezio [OP QR] Apresente o resultado na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel.
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 6.03.
- Na figura ao lado, est´a representado o quadrado [ABCD] Sabe-se que:
- AB = 4
- AE = AH = BE = BF = CF = CG = DG = DH
- x ´e a amplitude, em radianos, do ˆangulo EAB
- x 2
i 0 ,
h
Mostre que a ´area da regi˜ao sombreada ´e dada, em fun¸c˜ao de x, por
16(1 tg x)
H
D
A
E
B
F
C
G
Exame – 2012, 2.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representado um trap´ezio retˆangulo [ABCD] Sabe-se que:
- BC = 1
- CD = 1
- ↵ ´e a amplitude, em radianos, do ˆangulo ADC
- ↵ 2
i (^) ⇡ 2
h
D
A B
C
Mostre, recorrendo a m´etodos exclusivamente anal´ıticos, que o per´ımetro do trap´ezio [ABCD] ´e dado, em fun¸c˜ao de ↵, por 3 + 1 cos ↵ sen ↵
Exame – 2012, 1.a^ Fase
- Na figura seguinte, est´a representado, num referencial o.n. xOy, o c´ırculo trigonom´etrico.
Sabe-se que:
- o ponto A tem coordenadas (1,0)
- o ponto B tem coordenadas (3,0) Considere que um ponto P se move sobre a circun- ferˆencia.
Para cada posi¸c˜ao do ponto P , seja d = P B e seja ↵ 2 [0, 2 ⇡[, a amplitude, em radianos, do ˆangulo orientado cujo lado origem ´e o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade ´e a semirreta OP˙
x
y
O
A B
P
d
Resolva os itens seguintes sem recorrer `a calculadora.
33.1. Mostre que d 2 = 10 6 cos ↵ Sugest˜ao: Exprima as coordenadas do ponto P em fun¸c˜ao de ↵ e utilize a f´ormula da distˆancia entre dois pontos. 33.2. Resolva os dois itens seguintes tendo em conta que d 2 = 10 6 cos ↵ 33.2.1. Determine os valores de ↵ 2 [0, 2 ⇡[, para os quais d 2 = 7 33.2.2. Para um certo valor de ↵ pertencente ao intervalo [0,⇡], tem-se tg ↵ =
p 35 Determine d, para esse valor de ↵
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 9.02.
- Na figura ao lado, est˜ao representados, num referencial o. n. xOy, uma circunferˆencia e o triˆangulo [OAB] Sabe-se que:
- O ´e a origem do referencial;
- a circunferˆencia tem centro no ponto O e raio 1
- A ´e o ponto de coordenadas ( 1 , 0)
- B pertence `a circunferˆencia e tem ordenada negativa;
- o ˆangulo AOB tem amplitude igual a
radianos.
Qual ´e a ´area do triˆangulo [OAB]?
B
x
y
A O
(A)
p 3 4
(B)
p 1 2
(C)
p 1 4
(D)
p 3
Exame – 2011, Ep. especial´
- Na figura ao lado, est´a representado, num referencial o. n. xOy, um c´ırculo trigonom´etrico. Sabe-se que:
- C ´e o ponto de coordenadas (1,0)
- Os pontos D e E pertencem ao eixo Oy
- [AB] ´e um diˆametro do c´ırculo trigonom´etrico
- as retas EA e BD s˜ao paralelas ao eixo Ox
- ✓ ´e a amplitude do ˆangulo COA
- ✓ 2
i 0 ,
h
Qual das express˜oes seguintes d´a a o per´ımetro da regi˜ao sombreada na figura anterior?
B
x
y
O
A
E
D
✓ C
(A) 2(cos ✓ + sen ✓) (B) cos ✓ + sen ✓ (C) 2(1 + cos ✓ + sen ✓) (D) 1 + cos ✓ + sen ✓ Exame – 2011, 2.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representada uma circunferˆencia de centro no ponto O e raio 1
Sabe-se que:
- o ponto A pertence `a circunferˆencia;
- os pontos O, A, e B s˜ao colineares;
- o ponto A est´a entre o ponto O e o ponto B
- o ponto P desloca-se ao longo da semirreta AB˙ , nunca coincidindo com o ponto A
- d ´e a distˆancia do ponto A ao ponto P
- para cada posi¸c˜ao do ponto P , o ponto Q ´e um ponto da circunferˆencia tal que a reta P Q ´e tangente `a cir- cunferˆencia;
- x ´e a amplitude, em radianos, do ˆangulo OP Q
x 2
i 0 ,
h⌘
O
A P B
d
x
Q
Sem recorrer `a calculadora, mostre que d =
1 sen x sen x Teste Interm´edio 12.o^ ano – 26.05.
- Determine o valor de 3
tg ↵
sabendo que ↵ 2
i 0 ,
h e que cos
Resolva este item sem recorrer `a calculadora.
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 24.05.
- Considere, em R, a equa¸c˜ao trigonom´etrica cos x = 0, 9
Em qual dos intervalos seguintes esta equa¸c˜ao n˜ao tem solu¸c˜ao?
(A)
h
i (B) [0,⇡] (C)
(D)
h
i
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 27.01.
- Na figura seguinte, est´a representada, em referencial o.n. xOy, a circunferˆencia de centro em O e raio 5
Os pontos A e B s˜ao os pontos de intersec¸c˜ao da circunferˆencia com os semieixos positivos Ox e Oy, respetivamente. Considere que um ponto P se desloca ao longo do arco AB, nunca coincidindo com o ponto A, nem com o ponto B
Para cada posi¸c˜ao do ponto P , sabe-se que:
- o ponto Q ´e o ponto do eixo Ox tal que P O = P Q
- a reta r ´e a mediatriz do segmento [OQ]
- o ponto R ´e o ponto de interse¸c˜ao da reta r com o eixo Ox
- ↵ ´e a amplitude, em radianos, do ˆangulo AOP
i 0 ,
h ⌘
r
x
y
O
A
B
Q
P
R
Seja f a fun¸c˜ao, de dom´ınio
i 0 ,
h , definida por f (x) = 25 sen x cos x
Resolva os itens seguintes sem recorrer `a calculadora.
41.1. Mostre que a ´area do triˆangulo [OP Q] ´e dada por f (↵)
41.2. Determine o valor de ↵, pertencente ao intervalo
i 0 ,
h , para o qual se tem f (↵) = 25 cos 2 ↵
41.3. Seja ✓ um n´umero real, pertencente ao intervalo
i 0 ,
h , tal que f (✓) = 5 Determine o valor de ( sen ✓ + cos ✓) 2
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 27.01.
- Um dep´osito de combust´ıvel tem a forma de uma esfera. As figuras seguintes representam dois cortes do mesmo dep´osito, com alturas de combust´ıvel distintas. Os cortes s˜ao feitos por um plano vertical que passa pelo centro da esfera. Sabe-se que:
- o ponto O ´e o centro da esfera;
- a esfera tem 6 metros de diˆametro;
- a amplitude ✓, em radianos, do arco AB ´e igual `a amplitude do ˆangulo ao centro AOB corres- pondente A altura AC, em metros, do combust´ıvel existente no dep´osito ´e dada, em fun¸c˜ao de ✓, por h, de dom´ınio [0,⇡]
Resolva os itens seguintes, recorrendo a m´etodos exclusivamente anal´ıticos.
O O
A A
B
B
C
C
42.1. Mostre que h(✓) = 3 3 cos(✓), para qualquer ✓ 2 ]0,⇡[ 42.2. Resolva a condi¸c˜ao h(✓) = 3, ✓ 2 ]0,⇡[ Interprete o resultado obtido no contexto da situa¸c˜ao apresentada.
Exame – 2010, 2.a^ Fase
- Na figura ao lado, est˜ao representados, num referencial o.n. xOy, uma circunferˆencia e o triˆangulo [OAB].
Sabe-se que:
- a circunferˆencia tem diˆametro [OA];
- o ponto A tem coordenadas (2, 0);
- o v´ertice O do triˆangulo [OAB] coincide com a origem do refe- rencial;
- o ponto B desloca-se ao longo da semicircunferˆencia superior.
x
y
O
B
1 A
Para cada posi¸c˜ao do ponto B, seja ↵ a amplitude do ˆangulo AOB, com ↵ 2
i 0 ,
h
Mostre, recorrendo a m´etodos exclusivamente anal´ıticos, que o per´ımetro do triˆangulo [OAB] ´e dado, em fun¸c˜ao de ↵, por 2(1 + cos ↵ + sen ↵)
Exame – 2010, 1.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representado um triˆangulo retˆangulo [ABC], cujos catetos [AB] e [BC], medem 5 unidades. Considere que um ponto P se desloca sobre o cateto [BC], nunca coincidindo com nem B com C Para cada posi¸c˜ao do ponto P , seja x a amplitude, em radianos, do ˆangulo BAP
x 2
i 0 ,
h⌘
Mostre, usando exclusivamente m´etodos anal´ıticos, que para cada valor de x, o per´ımetro do triˆangulo [AP C] ´e dado por
5 cos x
5 tg x +
p 50 + 5
C
P
A x B
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 19.05.
- Considere, num referencial o.n. Oxyz, a superf´ıcie esf´erica E, de equa¸c˜ao
x 2 + y 2 + (z 2) 2 = 4
Para um certo valor de ↵ pertencente ao intervalo
i 0 ,
h , o ponto P , de coordenadas ( tg ↵, sen ↵,2+cos ↵), pertence `a superf´ıcie esf´erica E
Determine os valores num´ericos das coordenadas do ponto P
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 6.05.
- Na figura ao lado, est´a representado um triˆangulo inscrito numa circun- ferˆencia de centro O e raio igual a 1.
Um dos lados do triˆangulo ´e um diˆametro da circunferˆencia.
Qual das express˜oes seguintes representa, em fun¸c˜ao de x, a ´area da parte sombreada?
(A) ⇡ 2 sen x cos x (B)
2 sen x cos x
(C) ⇡ sen x cos x (D) ⇡
sen x cos x 2
O
x
Exame – 2009, 1.a^ Fase (adaptado)
- Na figura ao lado est´a representado o c´ırculo trigonom´etrico.
Os pontos P e Q pertencem `a circunferˆencia, sendo P Q a reta paralela ao eixo Ox. O ponto R pertence ao eixo Ox. O ˆangulo ROP tem 53 ^ de amplitude.
Qual ´e o per´ımetro do triˆangulo [OP Q] (valor aproximado `as d´ecimas)?
(A) 3 , 2 (B) 3 , 4 (C) 3 , 6 (D) 3 , 8
P
x
y
O
Q
R
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 7.05.
- A Inˆes olhou para o seu rel´ogio quando este marcava 10 h e 45 min. Passado algum tempo, ao ver novamente as horas, a Inˆes concluiu que o ponteiro dos minutos tinha rodado 3 ⇡ radianos.
Que horas marcava o rel´ogio da Inˆes, neste ´ultimo instante?
(A) 11 h e 15 min (B) 11 h e 45 min (C) 12 h e 15 min (D) 13 h e 45 min
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 7.05.
- Considere a equa¸c˜ao trigonom´etrica cos x = 0 , 3
Num dos intervalos seguintes, esta equa¸c˜ao tem apenas uma solu¸c˜ao. Em qual deles?
(A)
h 0 ,
i (B) [0,⇡] (C)
(D)
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 29.01.
- Na figura ao lado est˜ao representados, em referencial o.n. xOy:
- o c´ırculo trigonom´etrico
- o raio [OB] deste c´ırculo
- o arco de circunferˆencia AB, de centro no ponto C Tal como a figura sugere, o ponto B pertence ao primeiro quadrante, os pontos A e C pertencem ao eixo Ox e a reta BC ´e perpendicular a este eixo.
Seja ✓ a amplitude do ˆangulo AOB
x
y
O C
B
A
Qual ´e a abcissa do ponto A?
(A) 1 + sen ✓ (B) 1 + cos ✓ (C) cos ✓ + sen ✓ (D) 1 + cos ✓ + sen ✓ Teste Interm´edio 11.o^ ano – 29.01.
- Relativamente `a figura ao lado, sabe-se que:
- o triˆangulo [ABD] ´e retˆangulo
- o ponto C pertence ao cateto [BD]
- x designa a amplitude, em radianos, do ˆangulo BAD
- AB = 2 e BC = 1 54.1. Mostre que a ´area do triˆangulo [ACD] ´e dada por 2 tg x 1 54.2. Determine o valor de x para o qual a ´area do triˆangulo [ACD] ´e igual a 1 54.3. Sabendo que sen
e que a 2
i 0 ,
h , determine o valor de 2 tg a 1
A
C
x 2
B
D
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 29.01.
- Na figura ao lado est´a representado, em referencial o.n. xOy, um arco de circunferˆencia AB, de centro na origem do referencial e raio igual a 1 A reta r tem equa¸c˜ao y = 1 O ponto C pertence ao arco AB Seja ↵ a amplitude do ˆangulo AOC
Qual das express˜oes seguintes d´a a distˆancia d do ponto C `a reta r?
(A) 1 + sen ↵ (B) 1 sen ↵ (C) 1 + cos ↵ (D) 1 cos ↵
x
y
r
O
d
A
B
C
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 6.05.
- Seja x 2
i 0 ,
h
Qual das express˜oes seguintes designa um n´umero positivo?
(A) cos(⇡ x) (B) sen (⇡ x) (C) cos
x
(D) sen
x
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 6.05.
