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EM 421 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
GABARITO
2. Prova Data: 05/11/ Profs. MarcoLúcio e Euclides
GABARITO
1. QUESTÃO (Valor 3,5): Deseja-se determinar o estado de tensão em um determinado ponto, leia-se, determinar as componentes do tensor de tensões no ponto em questão. Através de considerações teóricas e experimentais foi possível a determinação direta de uma das componentes do tensor de tensões, σ 12 =40 N/mm^2. Também foi possível a determinação das componentes de dois vetores ta={70√2, 60√2, 20*√2}T^ e tb={110/√3, 190/√3, -10/√3}T, que representam as tensões que atuam em planos que passam pelo ponto pesquisado e cujas normai são dadas respectivamente por na={1/√2, 1/√2, 0}T^ e nb={1/√3, 1/√3, 1/√3}T, ver figuras abaixo. De posse destas informações solicita-se: a) a determinação das componentes do tensor de tensões no sistema coordenado cartesiano x 1 , x 2 , x 3 , bem como um esboço (figura) do estado de tensões em questão e também os módulos dos vetores - resultante, normal e tangencial - que atuam em cada face cuja normal é paralela aos eixos cartesianos, b) as componentes do vetor tensão tc que atua em um plano cuja normal é dada por nc={0, 1/2, √3/2}T. Para esta orientação (nc) especifique o valordas componentes normaltcn e tangencialtct.
x
x
x
ta
na
x
x t
x
nb
b
Figura 1.1: Esboço dos planos em que as tensões são conhecidas.
Solução
1) Determinaçãodas componentes do tensor detensões.
Utilizando-se afórmula de Cauchy é possível escrever expressões relacionando a componentes do tensor detensões σij com o vetor tensão ti que atua em uma face cuna normal é descrita pelas componentes nj.
σij nj = ti (1.1)
Aplicando-seesta equação inicialmentepara o plano determinado pela normalna :
σ 11 na1 + σ 12 na2 +σ 13 na3 = ta1 (1.2a)
σ 21 na1 + σ 22 na2 +σ 23 na3 = ta2 (1.2b)
σ 31 na1 + σ 32 na2 +σ 33 na3 = ta3 (1.2c)
Aplicando-seesta equação para o plano determinado pela normalnb :
σ 11 nb1 + σ 12 nb2 +σ 13 nb3 = tb1 (1.3a)
σ 21 nb1 + σ 22 nb2 +σ 23 nb3 = tb2 (1.3b)
σ 31 nb1 + σ 32 nb2 +σ 33 nb3 = tb3 (1.3c)
Substituindo-seos valores numéricos fornecidos para a componente σ 12 = 40, e para as equações (1.2)
na1=1/√2, na2=1/√2, na3=0, ta1=70√2, ta2=60√2, ta3=20√ 2
e para as equações (1.3)
nb1=1/√3, nb2=1/√3, nb3=1/√3, tb1=110/√3, tb2=190/√3, tb3=-10/√ 3
e observando a simetria do tensor de tensões σij=σij, obtem-se o seguinte sistema algébrico:
σ 11 1/√2 + 40 1/√2 +σ 13 0 = 70√ 2 (1.4a)
40 1/√2 + σ 22 1/√2 +σ 23 0 = 60√ 2 (1.4b)
σ 13 1/√2 + σ 23 1/√2 +σ 33 0 = 20√ 2 (1.4c)
σ 11 1/√3 + 40 1/√3 +σ 13 1/√3 = 110/√ 3 (1.5a)
40 1/√3 + σ 22 1/√3 +σ 23 1/√3 = 190/√ 3 (1.5b)
σ 13 1/√3 + σ 23 1/√3 +σ 33 1/√3 = -10/√ 3 (1.5c)
Uma análise do sistema acima indica que existem 6 equações e cinco incógnitas σ 11 , σ 22 , σ 33 , σ 13 , σ 23. O sistema tem solução imediata dadapor:
σ 11 ={100}, σ 22 ={80}, σ 33 ={-50}, σ 13 ={-30}, σ 23 ={70}
GABARITO
2. QUESTÃO (Valor 4,0): No sistema de coordenadas inicial (descrição material) um contínuo foi submetido a deformações descrito pelo seguinte campo de deslocamentos: u(X)= α {3x^2 y e 1 + xyz^2 e 2 + 4zy e 3 }. Para este campo pede-se a determinação a) da matriz gradiente ui,j = ∂ui/∂Xj, b) as componentes Eij do tensor de Green, c) o valor da contante α para que no ponto P de coordenadas P(1,1,1) a parte não-linear da componente E 12 do tensor de deformações represente somente 1% (1/100) da parte linear. d) Para este valor de α determine, sempre para o ponto P(1,1,1), o tensor de deformações infinitesimais de Cauchy eij= 1/2(ui,j + uj,i ), e) o tensor de rotações infinitesimais wi,j=1/2(ui,j - uj,i ), e o vetor de rotação Ωi , f) a dilatação cúbica ekk , g) o tensor deviatórico eijD^ = eij - δij ekk/3, h) calcule a dilatação cúbica do tensor deviatórico ekkD.
Solução:
1) Determinaçãoda matriz do gradiente do campo de deslocamentos. Dado o campo de deslocamentos u(X)= α {3x^2 y e 1 + xyz^2 e 2 + 4zy e 3 }, basta calcular as componentes de ui,j = ∂ui/∂Xj, onde u1 = α3x^2 y, u2 = αxyz^2 e u3 = 4zy. Matricialmente,
[∇ ]=
u
2 2 2
xy x yz xz xyz z y 2) Determinaçãodas componentes do tensor de Green. As componentes do tensor de Greensão dadas por,
E ij = ( u i j + u j i + u k i uk j )
2 ,^ ,^ ,^ ,
Logo, tem-se que,
E 11 ( u 1 1 u 1 1 u 1 1 u 1 1 u 2 1 u 2 1 u 3 1 u 3 1) ( xy xy^2 ( xy ) ( ) yz )
E 12 E 21 ( u 2 1 u 1 2 u 1 1 u 1 2 u 2 1 u 2 2 u 3 1 u 3 2) ( ( yz^2 x^2 ) 2 ( x y^3 xyz^4 ))
E 13 E 31 ( u 2 3 u 3 2 u 1 1 u 1 3 u 2 1 u 2 3 u 3 1 u 3 3) 2 ( xy xy z^2 3 )
E 22 ( u 2 2 u 2 2 u 1 2 u 1 2 u 2 1 u 2 2 u 3 2 u 3 2) ( xz^2 2 ( x^4 x z^2^4 y z^2 2 ))
E 23 E 32 ( u 2 3 u 3 2 u 1 2 u 1 3 u 2 2 u 2 3 u 3 2 u 3 3) ( xyz yz^2 ( x yz^2^3 yz ))
E 33 ( u 3 3 u 3 3 u 1 3 u 1 3 u 2 3 u 2 3 u 3 3 u 3 3) ( y^2 ( x y z^2 2^2 y^2 ))
Matricialmente,
[ ] [ (^ )^ (^ ) ]
[ ]
[ ]
E u u u u
E
E
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
T T
xy x yz xz xyz z y
xy yz x xz z xyz y
xy yz x xz z xyz y
xy x yz xz xyz z y xy x yz x yz xz xyz z xyz 4 8 36 18 2 18 9 16 2 16 2 2 16 4 16
2
2 2 2 4 3 4 2 3 3 4 4 2 4 2 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2
z y x y y z x y xyz xy z x y xyz x x z z x yz yz xy z x yz yz x y z y
3) Valor da constante para que no ponto P(1,1,1) a parte não-linear de E 12 represente 1%da parte linear.
E 12 [ ( x^2 yz^2 ) 2 ( x^2 y^2 y z^2^4 )] E 12 2
= + + + → = +. →.^ = 0 01. → =0 0021,
4) Tensor de deformação infinitesimal
e ( u u ) [ ] ( ) [ ]
xy x yz
x yz xz xyz z xyz z y
ij^ =^ i j +^ j i →^ =^ ∇^ + ∇^ T →^ =
2 2
, ,^2 2
E u u E ( )
No ponto P(1,1,1)
[ ] E =
0 0021
6 2 0 2 1 3 0 3 4
.
5) Tensor de rotações infinitesimais
w ( u u ) [ ] ( ) [ ]
x yz x yz xyz z xyz z
ij^ =^ i j −^ j i →^ =^ ∇^ − ∇^ T →^ =
− − + − − +
1 2
1 2
0 1 2 3 0 1 2 3 0 2 0 2 0
2 2
, ,^2
( ) W u u W ( )
No ponto P(1,1,1)
[ W ]^ =^ −^ −
0 0021
0 1 0 1 0 1 0 1 0
.
6) Vetor rotação.
GABARITO
3. QUESTÃO (Valor 2,5): Determine, utilizando o método das seções os diagramas de esforço cortante Vy(x) e momento fletor Mz(x) para a viga abaixo mostrada. Escreva as expressões algebricamente e substituia os valores somente para a solução das mesmas. Dados: L=3m, qo= 300N/m.
2L/ 3
A
L/ 3
B
Y
C
q o X
Figura 3.1: Viga com rótula no ponto B.
Solução:
1) Diagrama de corpo livre (DCL)
L/
Rax
Ray
Maz
A B
L/6 L/
Feq
C
L/
Feq
Rcy
Figura 3.2: Diagrama decorpo livre (DCL)
Dados: qo=300 N/m, L=3m
Feq1=qo L /3 = 300(N) 3(m)/3=300(N) Feq2=2 qo L /3 =2 300(N) 3(m)/3=600(N)
2) Sistema de equações de equilíbrio
Σ Fx=0 +Rax=0 (1) Σ Mza=0 +Maz - Feq1 L/6 - Feq2 2 L/3 + Rcy L = 0 (2) +Maz - (qo L/3) L/6 - (2 qo L/3) 2 L/3 + Rcy L = 0 +Maz - qo L^2 /18 - 4 qo L^2 /9 + Rcy L = 0 (2a)
Σ Mzb=0 (considerandotodo o corpo) +Maz - Ray L/3 + Feq1 L/6 - Feq2 L/3 + Rcy L/2 =0 (3) +Maz - - Ray L/3 + (qo L/3) L/6 - (2 qo L/3) L/3 + Rcy L/2 = +Maz - - Ray L/3 + qo L^2 /18 - 2 qo L^2 /9 + Rcy L/2 =0 (3a)
Σ Mzb=0 (considerandosomente a parte à direita da rótula)
- Feq2 L/3 + Rcy 2L/3 =0 (4)
- (2qo L/3) L/3 + Rcy 2L/
- 2 qo L^2 /9 + Rcy 2L/3 = 0 (4a)
O sistema algébrico que descreve o equilíbrio docorpo rígido em questão é dado pelas equações (1), (2a), (3a) e (4a). Asolução, tal como fornecida pelo MATHEMATICA, se econtra abaixo.
Rax={0} Ray={600.} Rcy={300.} Maz={450.}
3) Aplicação do método das seções.
Uma vez que não existe descontinuidade nocarregamento, basta uma única seção para descrever todo o comportamento do esforço cortante Vy(x) e momento fletor Mz(x).
Feq(x)=qo x
x/
Rax Ray
Maz
x/
Mz(x)
Vy(x)
Nx(x)
Figura 3.3: Diagrama deequilíbriopara a seção (AC).
Equações: a) Força Normal +Rax + Nx(x) = Nx(x) = 0 (5)
b) Esforço Cortante
- Ray - Feq(x) - Vy(x) = 0 Vy(x) = +Ray - qo x (6a) Vy(x) = + 600 - 300 x (6b)
c) Momento Fletor
