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Exercício Resolvido 3, Exercícios de Cultura

Centro Universitário - Católica de Santa Catarina em Jaraguá do Sul (Católica em Jaraguá )Cultura

- - -

Tipologia: Exercícios

Antes de 2010

Compartilhado em 22/09/2008

jonatas-de-oliveira-antonio-9
jonatas-de-oliveira-antonio-9 🇧🇷

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EM 421 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Exame Data: 10/12/96
Profs. Marco Lúcio Bittencourt e Euclides de Mesquita Neto
GABARITO
1. QUESTÃO (VALOR 6.0) A viga abaixo mostrada deverá ser construída com um material cuja tensão
normal admissível de trabalho é no máximo σxxmax=200 N/mm2. O material do qual a viga será construída
possui um módulo de elasticidade longitudinal (Young) E=2,0x106 N/mm2. A viga deve suportar duas
cargas concentradas F= 10.000 N ao longo de um vão L=6m. Por razões construtivas a seção transversal de
viga deverá ser um retângulo com dimensões Bx2B. Para esta viga solicita-se: a) as equações de esforço
cortante, momento fletor, deflexão angular (rotação) e deflexão linear (flecha), b) os diagramas da cortante
e do momento fletor; c) as reações de apoio; d) a dimensão mínima B para que o requisito de tensão seja
respeitado; e) a dimensão mínima B para que no ponto x=L/2 a flecha não ultrapasse o valor L/600.
L/3 L/3
F
L/3
F
SOLUÇÃO:
a) Equação do carregamento
q(x)= - F <x- L >-1 - F <x - 2 .L>-1
3 3
b) Condições de contorno
v(x=0)=0 Mz(x=0)=0
v(x=L)=0 Mz(x=L)=0
c) Integração da equação diferencial
EIzd4v/dx4= q(x) = - F <x- L >-1 - F <x - 2 L>-1
3 3
c.1) Primeira integração: cortante
Vy = EIz d3v/dx3 = - F <x- L >0 - F <x - 2 L>0 + C1
3 3
c.2) Segunda integração: momento fletor
Mz = EIz d2v/dx2 = - F <x- L >1 - F <x - 2 L>1 + C1 x + C2
3 3
c.3) Terceira integração: rotação
E Izdv/dx = - F <x - L >2 - F <x - 2 L>2 + C1 x2 + C2 x + C3
2 3 2 3 2
c.4) Quarta integração: deslocamento
E Izv = - F <x - L >3 - F <x - 2 L>3 + C1 x3 + C2 x2 + C3 x + C4
6 3 6 3 6 2
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EM 421 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

Exame Data: 10/12/ Profs. Marco Lúcio Bittencourt e Euclides de Mesquita Neto

GABARITO

1. QUESTÃO (VALOR 6.0) A viga abaixo mostrada deverá ser construída com um material cuja tensão normal admissível de trabalho é no máximo σxxmax=200 N/mm^2. O material do qual a viga será construída possui um módulo de elasticidade longitudinal (Young) E=2,0x10^6 N/mm^2. A viga deve suportar duas cargas concentradas F= 10.000 N ao longo de um vão L=6m. Por razões construtivas a seção transversal de viga deverá ser um retângulo com dimensões Bx2B. Para esta viga solicita-se: a) as equações de esforço cortante, momento fletor, deflexão angular (rotação) e deflexão linear (flecha), b) os diagramas da cortante e do momento fletor; c) as reações de apoio; d) a dimensão mínima B para que o requisito de tensão seja respeitado; e) a dimensão mínima B para que no ponto x=L/2 a flecha não ultrapasse o valor L/600.

L/3 L/

F

L/

F

SOLUÇÃO:

a) Equação do carregamento q(x)= - F <x- L >-1^ - F <x - 2 .L>- 3 3 b) Condições de contorno v(x=0)=0 Mz(x=0)= v(x=L)=0 Mz(x=L)=

c) Integração da equação diferencial EIzd^4 v/dx^4 = q(x) = - F <x- L >-1^ - F <x - 2 L>- 3 3 c.1) Primeira integração: cortante Vy = EIz d^3 v/dx^3 = - F <x- L >^0 - F <x - 2 L>^0 + C 1 3 3 c.2) Segunda integração: momento fletor Mz = EIz d^2 v/dx^2 = - F <x- L >^1 - F <x - 2 L>^1 + C 1 x + C 2 3 3 c.3) Terceira integração: rotação E Izdv/dx = - F <x - L >^2 - F <x - 2 L>^2 + C 1 x^2 + C 2 x + C 3 2 3 2 3 2 c.4) Quarta integração: deslocamento E Izv = - F <x - L >^3 - F <x - 2 L>^3 + C 1 x^3 + C 2 x^2 + C 3 x + C 4 6 3 6 3 6 2

d) Determinação das constantes de integração.

  • x = 0 : E Izv(0)= - F (0) + F (0) + C 1 (0) + C 2 (0) + C 3 (0) + C 4 = 0 6 6 logo: C 4 =
    • x = 0 : Mz (x = 0) = - F.0 - F.0 + C 1 .0 + C 2 logo: C 2 = 0
  • x = L : Mz (x = L) = -F ( L - L ) - F ( L - 2L ) + C 1 L + C 2 = 0 3 3 -F 2 L - F 1 L + C 1 L = 0 3 3 logo: C 1 = F = 10000
  • x = L : EIzV(x = 0) = - F (L - L )^3 - F ( L - 2 L)^3 + C 1 L^3 + C 3 L = 0 6 3 6 3 6
  • F ( 2 L )^3 - F ( L )^3 + F L^3 + C 3 L = 0 6 3 6 3 6
  • F L^3 8 - F L 3 1 + F L^3 + C 3 L = 0 6 27 6 27 6 C 3 = F L^2 ( 8 + 1 - 1 ) = FL^2 (1 - 1) = -2 F.L^2 = - F L^2 6 27 27 6 3 3 6 9 C 3 = - F L^2 = -10000 36 = - 9 9 e) Equações finais.

e.1) Constante:

Vy(x)= - F <x- L >^0 - F <x - 2 .L>^0 + F 3 3 Vy(x) = - 10000 <x- 2>^0 - 10000 <x - 4>^0 + 10000

e.2) Momento Fletor: Mz (x) = - F < x - L >^1 - F <x - 2 L>^1 + F x 3 3 Mz (x) = - 10000 <x - 2>^1 - 10000 <x - 4>^1 + 10000 x

e.3)Rotação: dv = 1 [- F <x - L >^2 - F <x - 2 L>^2 + F x^2 - F L^2 ] dx EIz 2 3 2 3 2 9 dv = 1 [- 5000 <x - 2 >^2 - 5000 <x - 4>^2 + 5000 x^2 - 40000] dx EIz

e.4)Deslocamento: V= 1 [- F <x - L >^3 - F <x - 2 L>^3 + F x^3 - F L^2 x ] EIz 6 3 6 3 6 9 V= 1 [- 5000 <x - 2>^3 -5000<x - 4>^3 + 5000 x^3 - 40000 x ] EIz 3 3 3 f)Diagramas:

  • 0 < x < L/3 : Vy (x) = F : Vy( x → 0 +^ ) = 10000 N Vy( x → 2 -^ ) = 10000 N

Mz (x) = Fx : Mz( x → 0 +^ ) = 0 Mz( x → 2 -^ ) = 20000 N. m

h.3 ) Flecha máxima:

  • V(x = L/2) = 1 [ - F ( L - L )^3 + F ( L )^3 - F L^2 L ] = L EIz 6 2 3 6 2 9 2 600 = 1 [ - F ( 3 L - 2L )^3 + F ( L )^3 - F L^3 ] = L EIz 6 6 6 8 18 600 = Iz = 100 F.L^2 ( 1104 ) = 100. 10000.36 (1104) = 3,83.10-6^ m^3 E 51840 2,0. 10+12^51840 = Iz = b (2.b)^3 = 8 b^4 = 3,83 .10-6^ ⇒ b = 4,89. 10-2^ m = 48,96 mm 12 12
  • V(x = L/2) = F. L^3 ( 1104 ) ⇒ E. Iz V (x = L/2 ) = 10000. 6^3. ( 1104 ) 6.E Iz 5184 5184 E. Iz V (x = L/2 ) = FL^3 648 2. QUESTÃO (VALOR 4.0) Considere a barra abaixo mostrada. Ela está engastada em uma extremidade e possue uma folga de valor Du em relação à outra extremidade. A barra também está submetida a um carregamento uniformemente distribuido po. No processo de montagem esta barra será fixada na extremidade direita, sendo alongada do valor Du. Para este sistema pede-se: a) as equações e os diagramas de força normal Nx(x) e deslocamento axial u(x), b) a área A da seção transversal da barra, sabendo-se que a tensão normal máxima que o material suporta é σxxmax=50 N/mm^2 e seu módulo de Young E=2,0x10^6 N/mm^2. Dados: L = 2m , Du=L/2000, po= 10.000 N/m

po

y

L D u

x

SOLUÇÃO:

a ) Equação do carregamento p(x) = -p 0

b) Condições de Contorno x = 0 : u 1 = 0 x = L : u 1 = Du = ∆u

c) Integração da equação do deslocamento EA d^2 u = - p(x) = p 0 d X 2

c.1) Primeira Integração: Força Normal EA d u = p 0 x + C 1 d X

c.2) Segunda Integração : Deslocamento EA U = p 0 x^2 + C 1 x + C 2 2 d) Determinação de C 1 e C 2

  • x = 0 : EA u(x = 0 ) = p 0 02 + C 1 0 + C 2 = 0 → C 2 = 0 2
  • • x = L : EA u(x = L ) = p 0 L + C 1 L + 0 2 E.A ∆U = p 0 L + C 1 L → C 1 = EA ∆U - p 0 L 2 L 2 e) Equações Finais

e.1) Força Normal

EA du = N(x) = p 0 x + ( EA ∆u - p 0 L ) dX L 2

e.2) Deslocamento

u = 1 [p 0 x^2 + ( EA ∆u - p 0 L )x ] EA 2 L 2

f) Diagramas

  • x → 0 +^ : Nx = EA ∆u - p 0 L L 2 u = 0
  • x → L-^ : Nx = p 0 L + EA ∆u - p 0 L L 2 Nx = p 0 L + EA ∆u 2 L u = 1 [p 0 L^2 + ( EA ∆u - p 0 L ) L ] = ∆u EA 2 L 2