Exercicios, Exercícios de Engenharia Mecânica

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INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE COIMBRA

Departamento de F´ısica e Matem´atica Secc¸˜ao de Matem´atica

Exerc´ıcios de

An´alise Matem´atica I

Engenharia Mecˆanica

Revis˜oes - Fun¸c˜oes exponenciais e logar´ıtmicas

12. Determine a base do logaritmo: (a) loga(36) = 2 (b) loga(25a) = 5 (c) loga(4) = 0. 4
13. Determine os valores de x que satisfazem a equa¸c˜ao: (a) ln (1 + x) = ln (1 − x) (b) 3^2 x = 2^3 x (c) 2x^ + 2x+2^ = 80 (d) 3^2 x−^1 = √ 3 (e) 3 − ln (e^3 x) = 0 (f) e−x^ − 3 ex^ + 2 = 0
14. Determine a solu¸c˜ao da inequa¸c˜ao: (a) ln (x − 2) > ln (x − 1) − ln 5 (b) log 1 / 3 (x + 3) > − 3
15. Caracterize a fun¸c˜ao inversa: (a) f (x) = −10 + 6^4 x−^1 (b) f (x) = 3 + log 3 (x + 5)

Fun¸c˜oes hiperb´olicas

16. Calcule o valor exato de: (a) sinh(1) (b) tanh(0) (c) sech(ln(2))
17. Verifique a identidade: (a) tanh^2 (x) + sech^2 (x) = 1 (b) cosh^2 (x) = 1 + cosh(2 2 x) (c) sinh x + cosh x = ex^ (d) sinh(x + y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y)
18. Calcule tanh(x) sabendo que sinh(x) = 3/2.
19. Caraterize a fun¸c˜ao inversa de f (x) = sinh(x).

Revis˜oes - Limites e continuidade

20. Determine k de modo que exista limite quando x → 1 da fun¸c˜ao f definida por

f (x) =

3 −√ x (^4) −x 12 +5 se x < 1 − 4 se x = 1 k + 7x se x > 1

21. Averigue se a fun¸c˜ao f tem limite quando x tende para -1 e para 2. A fun¸c˜ao f ´e cont´ınua?

f (x) =

2 x se x < − 1 x^2 + 1 se − 1 ≤ x < 2 3 x − 1 se x ≥ 2

22. Classifique as fun¸c˜oes quanto `a continuidade. (a) f (x) = x^2 2 + 7x x (b) g(x) =

(^3) x se x < 0 x^2 + 2x + 1 se x ≥ 0 (c)^ h(x) =

sin(x^2 − 1) se x ≥ 1 1 −e^2 x−^1 se^ x <^1

2. C´alculo diferencial em IR

Revis˜oes - Derivadas de fun¸c˜oes r.v.r.

1. Utilize a defini¸c˜ao de derivada para calcular a derivada da fun¸c˜ao f no ponto x 0. (a) f (x) = 1 − x^2 , x 0 = 2 (b) f (x) = sin(x), x 0 = 0.
2. Determine a derivada de cada fun¸c˜ao. (a) 3 x^3 − 5 x + 4 (b) 30 x−^4 (c) (3x^2 − 5)^4 (d) x 23 x^ + 3 + 1x (e) ln( xx 2 ) (f) x ln(x) + 2x^3 ex^ (g) (^) x (^23) + 1x (h) x ex^ cos(x) (i) cos (3x) (j) sin(ex) (k) tan (sec(x^ x−)^ 1) (l) cos(x) √^3 x (m) √ 5 − 7 x (n) √ 6 x^1 + 5 (o) √cos (2x) (p) (^) 1 + cos(sin(x)x) (q) cos (2sin (5xx)) (r) etan(x)^ (s) ln(sec(x) + tan(x)) (t) sin (cos(x)) (u) log 3 (x^2 + 1) (v) ln

( (^) 1 + x 1 − x

(w) ecos^2 (x)^ (x) xln(x) (y) ex^ ln (sin(x)) (z) ln(ln(x)) (a′) 43 x^ + log 5 (x^2 ) (b′) sin^3 (2x)

3. Aplique a regra de deriva¸c˜ao (ef^ )′^ = ef^ f ′^ para mostrar que (cosh(f ))′^ = sinh(f )f ′.
4. Utilize a express˜ao da derivada da fun¸c˜ao inversa para determinar a derivada das fun¸c˜oes: (a) f (x) = ln(2x) (b) g(x) = √x (c) h(x) = arccos(x)
5. Determine a derivada de cada fun¸c˜ao. (a) 2 arcsin(x − 1) (b) 3 arccos(x/2) (c) ln(x^2 ) − 2 arctan(x) (d) sin(arccos(x)) (e) x^2 arccot(x) (f) sech(x + 1) (g) ln(sinh(x)) (h) x cosh(x) − sinh(x) (i) csch(2x)
6. Determine a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico de f (x) = x^2 + 2x − 1, paralela `a reta y = − 2 x + 4.
7. Determine a equa¸c˜ao da reta normal ao gr´afico de f (x) = x + x^2 , no ponto de abcissa x = 1.
8. Seja f uma fun¸c˜ao diferenci´avel que satisfaz as condi¸c˜oes f (2) = −1 e f ′(2) = 5. Determine as equa¸c˜oes da reta tangente e da reta normal ao gr´afico de f no ponto de abcissa 2.

Acr´escimos e diferenciais

18. Considere a fun¸c˜ao f (x) = x^2. (a) Determine o acr´escimo, a aproxima¸c˜ao linear e o diferencial da fun¸c˜ao f em torno do ponto x 0. (b) Calcule o valor das express˜oes obtidas na al´ınea (a), quando o ponto varia de 1 para 1.5. (c) Identifique geometricamente as quantidades anteriores.
19. Determine a aproxima¸c˜ao linear da fun¸c˜ao f (x) = e^4 x^ e calcule um valor aproximado de e^0.^08.
20. Determine um valor aproximado do acr´escimo de f (x) = sinh(x) quando o ponto varia de 0 para 0.5.
21. Considere um cilindro de raio 5.0 cm e altura 12.0 cm medida com precis˜ao milim´etrica. Qual ´e o erro estimado m´aximo que devemos esperar ao calcular o seu volume?

Polin´omio de Taylor

22. Seja p(x) um polin´omio do terceiro grau que verifica p(3) = 0, p′(3) = − 1 , p′′(3) = 2, p′′′(3) = 1. Calcule p(2) e p′(0).
23. Determine a aproxima¸c˜ao linear de √ 0 .5 em torno de x 0 = 0.25 e indique um majorante para o erro.
24. Considere a fun¸c˜ao f (x) = arctan(x). (a) Mostre numa vizinhan¸ca da origem que f (x) ≈ x − 13 x^3. (b) Com base no resultado anterior determine um valor aproximado de π 4.
25. Calcule um valor aproximado de ln(1.1) usando o polin´omio de Taylor de grau 4 da fun¸c˜ao f (x) = ln(x), no ponto x 0 = 1. Indique um majorante para o erro.
26. Obtenha uma aproxima¸c˜ao de sin(89o) usando o polin´omio de Taylor de grau 3 da fun¸c˜ao f (x) = sin(x), no ponto x 0 = π 2. Indique um majorante para o erro.
27. Calcule um valor aproximado de e−^0.^9 com 4 casas decimais corretas.

3. Primitivac¸˜ao de func¸˜oes reais de vari´avel real

Primitiva¸c˜ao imediata e por decomposi¸c˜ao

1. Verifique que ln(x + √1 + x^2 ) ´e uma primitiva de √1 +^1 x 2.
2. Determine uma fun¸c˜ao y tal que y′^ = (^) 1 +^1 x 2.
3. Calcule as primitivas das fun¸c˜oes: (a) (^) x^14 (b) x^2 (x^3 + 1)^4 (c) (x + 1)−^2 (d) ln( xx) (e) sin^ (^ x 3 ) (f) sin (ln( x x)) (g) cot(5x − 7) (h) (^) cos (^21) (7x) (i) sec(2x) (j) x √^3 x^2 (k)

√1 + ln x x (l)^ tan(x) sec^2 (x) (m)^3

√tan (^2) (x) cos^2 (x) (n)^ √ 3 cos^ x sin^2 x (o)^ sin(x)^

√cos(x) (p) ex (^2) +4x+2(x + 2)

(q) (^) cos^12 (x) etan(x)^ (r) ex+ex (s) √ (^3) 1 + 2ex ex (t) 10

√x √x (u) x^2 sec^2 (2x^3 ) (v) arctan(21 + 4x 2 x ) (w) sin (cos (2x) cos(x) x) (x) (^) 1 +ex+2 ex (y) (^) x ln(^1 x) (z) (^) 1 + sin(2 cos(xx)) (a′) (^) xx (^2) + 4+ 2x (b′) (^) 1 +^5 x x 4 (c′) (^) 1 + sincos(x 2 )(x) (d′) (^) 4 +x x 4 (e′) (^) x (1 + ln^12 (x)) (f′) (^) x √ 1 −^1 ln (^2) (x)

(g′) √ 16 1 − 9 x 2 (h′) √ 4 x− x 4 (i′) √ 13 −x x 4 (j′) √ 22 −x x 2

4. Calcule por decomposi¸c˜ao as primitivas das fun¸c˜oes: (a) x + √x (b) √^3 x − x

√x 4 (c)^ e^5 x^ + 2^5 x^ (d)^ 1 + 2x 2 x (e) (x^2 + 3)^2 (f) (1 + √x)^3 (g) (2x 2 −x 3 3 xx )^2 (h) (e^2 x^ + e−x)^2 (i) x 43 + costan( (^2) (xx)) (j) sin (xcos() + cos(x) x) (k) arccos( √ 1 −x )x^ − 2 x (l) x^ −^ 1 +arctan( x 2 x)

5. Calcule a primitiva da fun¸c˜ao g(x) = x ex^2 que no ponto x = 0 toma o valor 1.
6. Determine a fun¸c˜ao y que satisfaz y′′(x) = x + 1 e verifica as condi¸c˜oes y(0) = 1 e y′(0) = 0.

Exerc´ıcios de Revis˜ao - Primitiva¸c˜ao

11. Utilizando os processos que aprendeu, calcule as primitivas das fun¸c˜oes: (a) ln(2x + 3) (b) (^) x (^2 1) − 9 (c) tan^3 (x)sec^2 (x) (d) 2 + ln x ln(^3 x()x)

(e) 2x ln^2 (x) (f) x^2 √1 + x^3 (g) √x x − √^3 x (h)^ e^4 x e−x^ + ex (i) x^2 sin(x) (j) x^4 − x^ x (^3 3) −^ − x^ x 2 −^1 (k) sec^2 (1 + ln( x x)) (l) (^5) x^5 −x 2

(m) (^) (x2 + 2 − 1)(xx^ + (^2) + 4)x^2 (n) (^2) costan (2 (^2) (2x)+1x) (o) sin(xcos() + tan(x) x) (p) 2x cos(x)

(q) √x (^21) − 25 (r) (^) x √ 1 −^3 ln (^2) (x) (s) (^) x + x^1 ln (^2) (x) (t) (^) x (^2 3) −x 2 + 1x + 2

(u) √1 + sin(cos(x)x) (v)

√ 1 − x 2 − x (w)^ 2 x^ − 23 x 1 + 2−x^ (x)

√1 + √x √x

(y) x arcsin(x) (z) (^) (x x−^2 1)(−^2 xx 2 −+ 2^3 x) (a′) ln(√ 1 − x) (b′) csc^2 (x) cos(cot (x))

(c′) ex^ cos (2 − ex) (d′) csc(x) (e′) (^) x (^2 1) + 9 (f′) (^) 3 + 2 tan(sec^2 (x)x)

12. Determine os extremos da fun¸c˜ao F (x) =

x ln(x) dx.

13. Determine a fun¸c˜ao y que verifica y′′(x) = (2x + 5) ex−^1 e y′(1) = y(1) = 5.
14. Mostre para n > 1 que (^) ∫ tann(x) dx = tan nn −−^1 1 ( x)−

tann−^2 (x) dx e calcule

tan^2 (x) dx.

15. Verifique que

xα^ ln(x) dx = (^) αx α+ 1+

ln(x) − (^) α + 1^1

• C, para α ̸= −1 e C uma constante real.

16. Sabendo que

x^2 exdx = x^2 ex^ + α x ex^ + β ex^ + C, onde α, β, C ∈ IR, determine α e β: (a) usando a defini¸c˜ao de primitiva; (b) calculando a primitiva.

17. Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua tal que f ′(x) = √f1 +^ (x) x 2 , para todo x ∈ Df. Utilizando primitivas prove que f (x) = k(√1 + x^2 + x), com k ∈ IR.

4. C´alculo Integral em R

Integral definido

1. Calcule os integrais definidos utilizando a f´ormula fundamental do c´alculo. (a)

− 1 x (^4) − x (^3) + 2x dx (b)^ ∫^3 − 2 |x|^ dx^ (c)

1 |x^ −^2 |^ dx (d)

0 x^

√ 1 − x (^2) dx (e)^ ∫^1 0 xe x^2 dx (f)^ ∫^4 2

x^3 x − 1 dx

2. Considere uma fun¸c˜ao f que tem o mesmo valor para x = a e x = b e suponha que a derivada de f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua. Nestas condi¸c˜oes, calcule o valor do integral ∫ (^) b a^ f^ ′(x) dx.
3. Seja f uma fun¸c˜ao real, cont´ınua e par em R que verifica

0 f^ (x)^ dx^ = 4 e

1 f^ (x)^ dx^ = 2. Calcule o valor do integral

− 1 f^ (x)^ dx.

4. Considere a fun¸c˜ao f (x) = arctan(x) − x. (a) Verifique que a fun¸c˜ao ´e decrescente em todo o seu dom´ınio. (b) Sem calcular o integral mostre que π^ − 4 4 <

0 f^ (x)^ dx <^ 0.

5. Calcule usando integra¸c˜ao por partes ou por substitui¸c˜ao os integrais definidos. (a)

0 arctan (x)^ dx^ (b)

1 x^ ln(x)^ dx (c) ∫ (^) ln(3) 1

ex e^2 x^ − 1 dx^ (d)

− 22 −^

√ 4 − (x + 2) (^2) dx (Sugest˜ao: x + 2 = 2 sin(t))

6. Enuncie o teorema do valor m´edio para integrais e calcule o valor m´edio de f (x) = xex^ em [− 2 , 0].
7. Calcule o valor m´edio da fun¸c˜ao f no intervalo I e determine o ponto onde ele ocorre. (a) f (x) = x^3 , I = [1, 3] (b) f (x) = √x − 3 , I = [7, 12]

Aplica¸c˜oes do integral definido

8. Represente graficamente a regi˜ao limitada pelas curvas e determine o valor da sua ´area. (a) y = 4 − x^2 e y = 0 (b) y = 4 − x^2 e y = x^2 − 2 (c) y^2 = 4x e y = 2x − 4 (d) y = x^2 , y = 2 − x, x = 3 e y = 0 (e) y = sin(x), y = cos(x), x = 0 e x = π 2 (f) y = ch(x), x = − ln(2), x = ln(2) e y = 0.

Exerc´ıcios de Revis˜ao - Aplica¸c˜oes do integral definido

14. Considere a regi˜ao plana R definida pelas condi¸c˜oes y ≤ x + 2, y ≥ x^2 e y ≤ −x + 2. (a) Represente a regi˜ao R e determine o valor da sua ´area. (b) Determine o volume do s´olido gerado pela rota¸c˜ao da regi˜ao R em torno: i. do eixo das abcissas; ii. do eixo das ordenadas. (c) Sabendo que o per´ımetro total da fronteira ´e 2√2 + √5 + 12 ln(√5 + 2), calcule o valor do per´ımetro correspondente `a curva y = x^2.
15. Considere a regi˜ao plana R, limitada pelas curvas y = 0, y = x − 3 e y = √x − 1. (a) Calcule o valor da ´area da regi˜ao. (b) Determine o volume do s´olido obtido pela rota¸c˜ao de R em torno do eixo das abcissas. (c) Calcule um valor aproximado do per´ımetro da regi˜ao, sabendo que ∫ (^) arctan(4) 0 sec (^3) (x) dx ≈ 9.
16. Considere a regi˜ao R no semi-plano y ≥ 0, limitada pelas circunferˆencias x^2 +(y−1)^2 = 4 e x^2 +(y+1)^2 = 4 e pelas retas x = −√3 e x = √.

(a) Represente na figura a regi˜ao R e calcule o valor da sua ´area. (b) Indique uma express˜ao que permita calcular o per´ımetro da regi˜ao R. (c) Calcule o volume do s´olido gerado pela rota¸c˜ao da regi˜ao em torno do eixo das ordenadas.

Integral indefinido

17. Determine a express˜ao anal´ıtica da fun¸c˜ao F (x) =

∫ (^) x 0 f^ (t)^ dt, em que^ f^ (t) =

t 2 se − 1 ≤ t ≤ 1 2 se t > 1.

18. Determine a derivada das fun¸c˜oes, aplicando a regra de deriva¸c˜ao do integral indefinido. (a) F (x) =

∫ (^) x (^2) + 1 t e

√ (^) t− (^1) dt (b) F (x) = x 3 ∫^1 x^ e^ −t^2 dt (c) F (x) =^ ∫^ sh(x) ch(x)^ t dt

19. Considere a fun¸c˜ao F (x) = ∫ √x x^ arcsen(t

(^2) ) dt. Calcule o valor de F ′(1).

20. Seja h uma fun¸c˜ao cont´ınua e peri´odica de per´ıodo T. Mostre que F (x) = ∫ (^) x+T x^ h(t)^ dt^ ´e constante.
21. Determine os extremos da fun¸c˜ao F (x) =

∫ (^) x 0 t(e^

t (^) − e) dt, para todo x ≥ 0.

22. Utilize a regra de L’Hˆopital para mostrar que: (a) (^) xlim→ 1 ∫ (^) x^ (x^ −^ 1)^2 1 cos(t (^2) ) dt^ = 0^ (b)^ xlim→^0

x^2 · ∫ (^) x 0 e^ −t (^) dt e x^3 − 1 = 1

23. Seja F (x) = 3x +

∫ (^) x 2 0

t + 1 dt^ uma fun¸c˜ao definida no intervalo [0,^ +∞[. (a) Sem calcular o integral, mostre que a fun¸c˜ao ´e mon´otona crescente. (b) Determine valor de (^) x→lim+∞^ F^ ( xx ).

24. Considere a fun¸c˜ao F (x) =

∫ (^) x 1 /x^ t^ ln(t)^ dt^. (a) Determine a derivada de F. (b) Mostre que a fun¸c˜ao ´e mon´otona crescente no intervalo ]1, +∞[. (c) Determine a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico de F no ponto de abcissa 1.

Integrais impr´oprios

25. Calcule se poss´ıvel o valor de cada integral impr´oprio de primeira esp´ecie. (a)

−∞

(4 − x)^2 dx^ (b)

0 sin(x)^ dx^ (c)

0

1 + x^2 dx (d)

1

ln(x) x dx^ (e)

−∞

x^2 + 2x + 2 dx^ (f)

−∞^ e 3 |x| (^) dx

26. Na figura est´a representado o gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = x e−x.

Mostre que a ´area da regi˜ao no semi-plano x ≥ 0, definida por f e pelo eixo do x ´e finita e igual a 1.

27. Esbo¸ce o gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = e−x^ e mostre que a ´area da regi˜ao R definida pelas condi¸c˜oes x ≥ 1 e 0 ≤ y ≤ f (x) ´e finita.
28. Determine a natureza do integral

1

xk^ dx^ para cada valor de^ k^ ∈^ R+^0.

5. Introduc¸˜ao ao estudo das equac¸˜oes diferenciais ordin´arias (nas aulas Te´oricas)
   1. Determine o integral geral das seguintes equa¸c˜oes de vari´aveis separ´aveis: (a) dydt = (t + 2)(y + 1); (b) (1 + t^2 )y′^ = 2√y; (c) dydt = cy (c ̸= 0 constante).
   2. Determine a solu¸c˜ao geral (na forma expl´ıcita) das seguintes equa¸c˜oes lineares de 1a^ ordem: (a) y′^ + y = e^3 t; (b) (t − 2)y′^ = y + 2(t − 2)^3 ; (c) dydt cos(t) + y sin(t) = 1.
   3. Classifique e resolva cada uma das seguintes equa¸c˜oes diferenciais: (a) y′^ + y cos(t) − 12 sin(2t) = 0; (b) dydt = (^3) ycos (^2) +^ t ey ; (c) y dydt + (1 + y^2 ) sin(t) = 0; (d) (t^2 + 1)y′^ − 2 ty = t^2 + 1.
   4. Determine a solu¸c˜ao geral das seguintes equa¸c˜oes: (a) y′′^ = (et^ + 1)y′; (Sugest˜ao: mudan¸ca de vari´avel z = y′) (b) y′′′^ +^1 t y′′^ = 1. (Sugest˜ao: mudan¸ca de vari´avel z = y′′)
   5. Determine a solu¸c˜ao de cada um dos seguintes problemas de valor inicial: (a) (t + 1)y′^ + y = ln(t), y(1) = 10; (b) t^2 dydt = y − ty, y(−1) = −1;
   6. A equa¸c˜ao diferencial y′^ = f (t, y) diz-se homog´enea se a fun¸c˜ao f (t, y) ´e homog´enea de grau zero, i.e. f (λt, λy) = f (t, y) para qualquer λ e (t, y) ∈ Df. (a) Mostre que uma equa¸c˜ao diferencial homog´enea ´e redut´ıvel a uma equa¸c˜ao de vari´aveis separ´aveis atrav´es da mudan¸ca de vari´avel y = tz (note que y′^ = z + tz′). (b) Utilize o resultado da al´ınea anterior para determinar a solu¸c˜ao geral das equa¸c˜oes seguintes: i. y′^ = y t 22 − 2; ii. y′^ = yt + ey/t.

7. Uma equa¸c˜ao diferencial do tipo y′^ + p(t)y = q(t)yn^ chama-se equa¸c˜ao de Bernoulli. (a) Mostre que uma equa¸c˜ao diferencial de Bernoulli ´e redut´ıvel a uma equa¸c˜ao linear de 1a^ ordem atrav´es da mudan¸ca de vari´avel z = y^1 −n^ (note que z′^ = (1 − n) y−ny′). (b) Utilize o resultado da al´ınea anterior para determinar a solu¸c˜ao geral das equa¸c˜oes seguintes: i. ty′^ + y = y−^2 ; ii. y′^ − y = y^2 et.
8. Uma equa¸c˜ao diferencial do tipo y′^ = r(t) + p(t)y + q(t)y^2 chama-se equa¸c˜ao de Ricatti. (a) Mostre que a equa¸c˜ao de Ricatti ´e redut´ıvel a uma equa¸c˜ao de Bernoulli atrav´es da mudan¸ca de vari´avel y = y 1 + z, em que y 1 ´e uma solu¸c˜ao particular da equa¸c˜ao. (b) Utilize o resultado da al´ınea anterior para determinar a solu¸c˜ao geral das equa¸c˜oes seguintes, em que ´e dada uma solu¸c˜ao particular y 1 : i. y′^ = − (^) t^42 − (^1) t y + y^2 , y 1 =^2 t ; ii. y′^ + y^2 = 1 + t^2 , y 1 = t;