INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE COIMBRA
Departamento de F
´
ısica e Matem´
atica
Secc¸˜
ao de Matem´
atica
Exerc´ıcios da Componente de M´etodos Num´ericos
An´
alise Matem´
atica I
Engenharia Mecˆanica
2014/2015
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Exercicios- Métodos Numéricos, Exercícios de Engenharia Mecânica
Exercicios- Métodos Numéricos
Tipologia: Exercícios
2015
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INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE COIMBRA
Departamento de F´ısica e Matem´atica Secc¸˜ao de Matem´atica
Exerc´ıcios da Componente de M´etodos Num´ericos
An´alise Matem´atica I
Engenharia Mecˆanica
Obs.: Se nada for dito em contr´ario, nos exerc´ıcios sobre o m´etodo Newton-Raphson n˜ao ´e necess´ario verificar as condi¸c˜oes de convergˆencia do m´etodo.
- Localize pelo m´etodo gr´afico todas as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao x^2 − 1 − ln (x + 1) = 0 e aproxime a maior delas efetuando duas itera¸c˜oes do m´etodo de Newton-Raphson.
- Considere a fun¸c˜ao real f definida por f (x) = 2 sin(x) + x − 1, com x ∈ [ 0 , π 6 ]^.
(a) Mostre analiticamente que a fun¸c˜ao f tem um ´unico zero no intervalo dado. (b) Efetue duas itera¸c˜oes do m´etodo de Newton-Raphson para obter uma aproxima¸c˜ao do zero de f e indique uma estimativa para o erro absoluto da aproxima¸c˜ao.
- Em engenharia ambiental, a equa¸c˜ao que se segue pode ser usada para calcular o n´ıvel de oxig´enio, c, existente num rio a jusante de um local de descarga de esgoto: c = 10 − 15(e−^0.^1 x^ − e−^0.^5 x), onde x representa a distˆancia a partir do local de descarga. Efetuando 3 itera¸c˜oes do m´etodo de Newton- Raphson, determine a distˆancia a partir do local da descarga para o qual o n´ıvel de oxig´enio atinge o valor 4 (note que a distˆancia a partir do local de descarga ´e no m´aximo 5 Km).
- Considere a equa¸c˜ao x−^2 cos(x) − 1 = 0.
(a) Utilizando fun¸c˜oes elementares, localize graficamente as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao no intervalo [−π/ 2 , π/2]. (b) Mostre analiticamente que a equa¸c˜ao tem uma solu¸c˜ao no intervalo [1/ 2 , π/3]. (c) Aplique o m´etodo da bisse¸c˜ao a equa¸c˜ao no intervalo [1/ 2 , π/3], efetuando duas itera¸c˜oes. (d) Aplique o m´etodo de Newton–Raphsona equa¸c˜ao, utilizando como aproxima¸c˜ao inicial a solu¸c˜ao (aproximada) calculada na al´ınea anterior, efetuando 2 itera¸c˜oes (Nota: Se n˜ao resolveu a al´ınea (c) use 0.6 como aproxima¸c˜ao inicial).
- Considere a equa¸c˜ao f (x) = 0, onde f (x) = 2 − x − ln (x).
(a) Localize pelo m´etodo gr´afico a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao, num intervalo de amplitude 1 e extremos inteiros. (b) Justifique que o m´etodo de Newton-Raphson ´e convergente a partir de x 0 = 1. (c) Calcule trˆes itera¸c˜oes do m´etodo de Newton-Raphson para aproximar a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao.
- Considere a fun¸c˜ao f (x) = e−x^ − x^3.
(a) Localize o zero de f pelo m´etodo gr´afico, num intervalo de amplitude 1 e extremos inteiros. (b) Calcule o n´umero de itera¸c˜oes a efetuar pelo m´etodo da bissec¸c˜ao de forma que |∆x| < 0 .1. (c) Tendo em conta a al´ınea anterior, determine uma aproxima¸c˜ao do zero de f pelo m´etodo da bissec¸c˜ao. (d) Efetuando o mesmo n´umero de itera¸c˜oes da al´ınea anterior, aproxime o zero de f pelo m´etodo de Newton-Raphson, escolhendo convenientemente x 0 num subintervalo de [a, b] de amplitude 1/2.
- Interprete geometricamente o processo iterativo que define o m´etodo de Newton-Raphson.
Interpola¸c˜ao polinomial - Polin´omio interpolador de Newton das diferen¸cas divididas
- E dada a seguinte tabela de valores de uma certa fun¸´ c˜ao f : xi -2 0 3 f (xi) 1 2 -
(a) Determine o polin´omio interpolador de Newton das diferen¸cas divididas. (b) Suponha que x 3 = 4 e f (x 3 ) = 2. Determine uma aproxima¸c˜ao para o valor de f (− 1 .5) usando o polin´omio interpolador de Newton das diferen¸cas divididas de grau 3.
- Determine uma aproxima¸c˜ao de sin(π/5), utilizando o polin´omio interpolador de Newton das diferen¸cas divididas que passa nos pontos de abcissa x = 0, π/ 6 , π/ 4 , π/3.
- E sabido que a velocidade do som na ´´ agua, v, varia com a temperatura, t. A tabela que se segue apresenta alguns valores da referida velocidade obtidos por conveniente medi¸c˜ao. t 86.0 93.3 98.9 104.4 110. v(t) 1552 1548 1544 1538 1532 Calcule um valor aproximado de v(105.5).
Integra¸c˜ao num´erica - Regra dos trap´ezios e regra de Simpson
- Interprete geometricamente a regra dos trap´ezios.
- E dada a seguinte tabela de valores de uma certa fun¸´ c˜ao f : xi -1 1 3 5 f (xi) -2 2 6 10
Utilize a regra dos trap´ezios composta para obter uma aproxima¸c˜ao de I =
− 1 f (x) dx.
- Seja I =
− 2 xe^2 x^ dx. (a) Qual o menor n´umero de pontos que deve considerar no intervalo [− 2 , −1], de forma que o erro cometido na aproxima¸c˜ao do integral pela regra dos trap´ezios n˜ao exceda 0. 5 × 10 −^2? (b) Calcule o valor aproximado de I de acordo com a al´ınea anterior.
- A velocidade de um objeto na dire¸c˜ao de uma determinada for¸ca constante de 200 N ´e dada por
v(t) =
5 t se 0 ≤ t ≤ 7 35 + (7 − t)^2 se 7 < t ≤ 14
(m/s).
Utilize a regra dos trap´ezios composta para determinar o trabalho realizado pela for¸ca. Nota: W =
C F ds =
∫ (^) b a F (s(t)) v(t) dt, SI: J = joule; 1J = 1kg m^2 /s^2
- Considere a fun¸c˜ao f (x) = 2−x. (a) Determine o polin´omio interpolador p de f nos pontos de abcissa x = 0, 1 , 2 , 3, recorrendo a uma tabela de diferen¸cas divididas. (b) Considere a aplica¸c˜ao da regra de Simpson composta ao integral J =
0 f (x) dx. i. Qual o n´umero de subintervalos necess´arios para aproximar J com erro absoluto inferior a 0.01. ii. Calcule a aproxima¸c˜ao do integral J tendo em conta a al´ınea anterior.
M´etodos num´ericos de resolu¸c˜ao de EDO - M´etodo de Euler
- Considere o problema de valor inicial y′^ = 2t + y, com y(0) = 1. Determine uma aproxima¸c˜ao para y(1) usando o m´etodo de Euler com: (a) h = 0.2; (b) h = 0.1.
- Um ve´ıculo que circulava a uma velocidade inicial de v 0 = 60 km/h foi for¸cado a travar por estar numa zona policiada em que o limite m´aximo de velocidade ´e de 40 km/h. O problema de valor inicial que permite modelizar o processo de travagem do ve´ıculo ´e
v′^ = − 2. 5 √v v(0) = v 0
(a) Mostre que o m´etodo de Euler quando aplicado ao problema com passo h = 0.5 segundos, pode ser escrito na forma vi+1 = vi − 1. 25 √vi. (b) Nas condi¸c˜oes da al´ınea anterior, determine quantos segundos decorrem at´e o carro estar a circular com uma velocidade inferior `a velocidade m´axima permitida.
- Repita os exemplos 1 e 2 das p´aginas 53 e 54, com passo h = 0.1. Compare os resultados que obteve com a solu¸c˜ao exata em cada ponto ti.