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Exercícios de Análise Funcional
(MAT513)
Mestrado/Doutorado em Matemática, UFBA
Prof. Vítor Araújo
Conteúdo
1 Espaços de Banach 2
2 Convergência de operadores 4
3 Espaço Dual e Topologia Fraca 6
4 Operador Adjunto 8
5 Espaços de Hilbert 10
6 Operadores compactos 11
7 Álgebras de Banach 13
1 Espaços de Banach
- Considere o espaço vetorial
^1 = {(xn)n∈N ∈ RN^ : ∑ n |xn| < ∞} com a norma ‖(xn)‖∞ := supn |xn| e a função f ((xn))^ = ∑ n xn. Mostre que f é linear mas não é contínua de (^1 , ‖ · ‖∞) em (R, ‖ · ‖), em que ‖ · ‖ é qualquer norma em R. - Se (X, ‖·‖) é qualquer espaço de Banach de dimensão in nita, então existe f : X → R linear não contínua.
- Se (X, ‖ · ‖) é espaço de Banach e f : X → R linear não contínua, então f −^1 ({α}) é denso em X para todo α ∈ R \ { 0 }. (Prove primeiro que ~ 0 está na aderência de f −^1 ({α}) para qualquer α 6 = 0.) Conclua que se f : X → R é linear, então f é contínua se, e só se, f −^1 ({α}) é fechado para todo α 6 = 0.
- Se (X, ‖ · ‖) é espaço de Banach e f : X → R linear não contínua, então o núcleo de f é denso.
- Se (X, ‖ · ‖) é espaço de Banach de dimensão in nita, então X é união disjunta de dois subconjuntos densos e convexos.
- Mostre que existe X espaço de Banach que admite dois subespaços vetoriais A, B densos e tais que A ∩ B = {~ 0 }.
- Sejam T, S ∈ B(X) para (X, ‖ · ‖) espaço de Banach. Suponha que T S − ST = Id e mostre que então T Sn^ − SnT = nSn−^1 para todo n ∈ N. Conclua que ‖Sn−^1 ‖ ≤ 2 ‖T ‖‖S‖‖Sn−^1 ‖/n e deduza que Sn^ = 0 para todo n su cientemente grande. Mostre então que 0 = Sn^ = Sn−^1 = · · · = S = S^0 = Id. Esta contradição mostra que não existem operadores lineares contínuos S, T tais que T S − ST = Id (resultado essencial na Mecânica Quântica).
- Sejam (X, | · |) e (Y, ‖ · ‖) espaços de Banach e F : X × Y → X transformação tal que existem λ ∈ (0, 1) e k ≥ 1 satisfazendo |F (^) yk (x) − F (^) yk (x′)| ≤ λ|x − x′| para todo (x, y) ∈ X × Y (F (^) yk é uma contração com taxa uniforme, onde Fy(x) = F (x, y) e F (^) yk = Fy◦.. .k ◦Fy). Mostre que (a) para cada y ∈ Y dado existe único ponto p(y) ∈ X que é xo por Fy: Fy(p(y)) = p(y); (b) p(y) é um atrator: F (^) yn (x) − n−→−+−∞→ p(y) para todo (x, y) ∈ X × Y ; (c) se F é contínua, então p : Y → X é contínua.
- Seja B subconjunto compacto de um espaço de Banach (X, ‖ · ‖) tal que rB ⊂ B para todo r ∈ [0, 1] e suponha que F : B é transformação 1 -Lipschitz (isto é, ‖F (x) − F (y)‖ ≤ ‖x − y‖ para todos x, y ∈ B). Prove que F tem ponto xo. [Sugestão: considere primeiro a transformação rF : B .]
- Dê um exemplo que mostre que o ponto xo obtido no exercício anterior pode não ser único.
2 Convergência de operadores
- Mostre que se Tn ∈ B(X) e (ξn)n em (X, ‖ · ‖) espaço de Banach, satisfazem Tn −^ ‖·‖→ T e ξn → ξ em X, então Tn(ξn) → T (ξ) em X.
- Para T ∈ B(X) e t ∈ R o operador etT^ := ∑ i≥ 0 (tT i!^ ) i pertence a B(X) e ‖etT^ ‖ ≤ e|t|‖T^ ‖.
- Para T ∈ B(X) e ‖T ‖ < 1 mostre que S = ∑ i≥ 0 T i^ ∈ B(X) e que S = (Id − T )−^1.
- Seja f : X → R linear com (X, ‖ · ‖) espaço de Banach.
(a) f ∈ X∗^ se, e só se, existe C > 0 tal que |f (ξ)| < C para todo ξ em alguma bola B(η, r) de X. Mostre que o mesmo vale para operadores lineares entre espaços normados. (b) f ∈ X∗^ se, e só se, N (f ) = f −^1 ({ 0 }) é fechado.
- Se S, T ∈ B(X) e T invertível e ‖S − T ‖ < ‖T −^1 ‖−^1 , mostre que S é invertível. Deduza que o conjunto dos operadores invertíveis de B(X) é aberto.
- De na sin T e cos T para T ∈ B(X) usando séries de potências, como foi feito para eT^.
- O operador F : C([a, b], R) de nido por (F ψ)(t) := ∫^ at ψ(s) ds é limitado com a norma ‖ · ‖∞ mas não tem autovalores: não existem λ ∈ R e ψ 6 = 0 em C([a, b], R) tais que F ψ = λψ.
- Seja S : `^2 (N) o deslocamento para a esquerda (shift): S(ξ 0 , ξ 1 , ξ 2 ,... ) = (ξ 1 , ξ 2 ,... ); e Tn = Sn. Determine ‖Tnξ‖ e o operador limite do Teorema de Banach-Steinhaus neste caso.
- Sejam N espaço vetorial normado, X espaço de Banach e (Tn)n∈N sequência limitada em B(N, X), tal que, para todo ξ num conjunto denso na esfera unitária S(0; 1) := {ξ ∈ N : ‖ξ‖ = 1} de N , existe lim Tnξ. Mostre que existe lim Tnξ para todo ξ ∈ N e que o operador T ξ := lim Tnξ é linear e limitado.
- Se T ∈ B(N 1 , N 2 ) é bijetivo, então existem constantes C 1 , C 2 > 0 tais que C 1 ‖ξ‖ 1 ≤ ‖T ξ‖ 2 ≤ C 2 ‖ξ‖ 1 , ξ ∈ N 1.
- Sejam ‖ · ‖ 1 e ‖ · ‖ 2 duas normas num espaço vetorial X que o tornam espaço de Banach. Se existe C > 0 tal que ‖ξ‖ 1 ≤ C‖ξ‖ 2 para todo ξ ∈ X, então ‖ · ‖ 1 e ‖ · ‖ 2 são equivalentes.
- Mostre que (
^1 (N), ‖ · ‖ 1 ) não é isometricamente isomorfo a (p(N), ‖ · ‖p), isto é, não existe aplicação linear bijetiva T : (^1 (N), ‖ · ‖ 1 ) → (p(N), ‖ · ‖p) que preserve as normas. - Seja (hn)n≥ 1 sequência que converge fracamente para zero.
(a) Se (hn) converge fracamente para zero em c 0 , então para todo x ∈ c 0 vale
lim sup ‖x + hn‖∞ = max{‖x‖ 0 , lim sup ‖hn‖∞}. (1)
(b) Se (hn) converge fracamente para zero em p(N) com 1 ≤ p < ∞, então para todo x ∈p(N) vale
lim sup ‖x + hn‖pp = ‖x‖pp + lim sup ‖hn‖pp. (2)
[Dica: assuma primeiro que x tem apenas número nito de coordenadas não nulas. Depois de provado este caso particular, observe que esta classe de pontos é densa no espaço considerado com a topologia forte.]
- Um espaço de Banach (X, ‖ · ‖) com a topologia σ(X, X′) é um espaço vetorial topo- lógico localmente convexo, isto é, as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar são contínuas e tem base de vizinhanças convexas.
- Um espaço de Banach (X, ‖ · ‖) de dimensão in nita é tal que toda vizinhança V da origem na topologia σ(X, X′) contém um subespaço vetorial de dimensão in nita.
- Seja (X, ‖ · ‖) um espaço de Banach de dimensão in nita. Mostre que o conjunto S := {x ∈ X : ‖x‖ = 1} nunca é fechado em σ(X, X∗) e que o interior de B(0; 1) = {x ∈ X : ‖x‖ < 1 } é vazio em σ(X, X∗).
- Seja X espaço vetorial normado tal que seu dual X∗^ é separável. Então toda sequência (xn)n≥ 1 limitada em (X, ‖ · ‖) admite uma subsequência que é fracamente de Cauchy, isto é, existe (xnk )k≥ 1 subsequência satisfazendo: para todo > 0 e para toda f ∈ X∗ existe N ∈ Z+^ tal que p, q > N =⇒ | < f, xnp − xnq > | < .
4 Operador Adjunto
- Se T ∈ B(X 1 , X 2 ), então N (T ) = Im(T ∗)⊥^ e N (T ∗) = Im(T )⊥, onde N (T ) é o núcleo da transformação linear, Im(T ) é a imagem e, para um subespaço Y de X o anulador Y ⊥^ de Y é o subconjunto de X∗^ formado pelas f ∈ X∗^ tais que f (y) = 0 para todo y ∈ Y.
- Num espaço normado (X, ‖ · ‖) dado um subespaço E temos que seu fecho satisfaz E = ⋂{N (f ) : f ∈ X∗, E ⊂ N (f )}.
- Para T ∈ B(X 1 , X 2 ) de na T ∗∗, identi que X 1 e X 2 com J (X 1 ) e J (X 2 ) e mostre que T ∗∗^ | X 1 = T. Se X 1 é re exivo, então T ∗∗^ = T.
- Se (Tn)n é sequência em B(X, Y ) que converge fortemente a T : X → Y , então ‖T ‖ ≤ lim inf ‖Tn‖.
- Mostre que ξn −σ−(X,X−−−∗→) ξ em (X, σ(X, X∗)) se, e só se, (‖ξn‖)n é limitada e < f, ξn >− n−→∞−→ < f, ξ > para toda f num subconjunto denso em X∗.
- Mostre que Tn : `^2 (N) dada por Tn^ ((ξk)k∈N^ )^ = (0 ︸,... , ︷︷ 0 ︸ n
, ξn+1, ξn+2,... ) converge fortemente pontualmente a 0 mas não converge uniformemente (isto é, Tn 6 → 0 em (B(`^2 (N)), ‖ · ‖)).
- A sequência Tn : `^2 (N) dada por Tn^ ((ξk)k∈N^ )^ = (0 ︸,... , ︷︷ 0 ︸ n
, ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ,... ) converge
- Explique a seguinte a rmação: todo espaço vetorial normado re exivo é fracamente completo.
5 Espaços de Hilbert
- Seja T ∈ B(E, F ) com E, F espaços de Banach. Seja λ ∈ R tal que ∀ > 0 ∃x ∈ E : ‖x‖ = 1 e ‖(λI − T )x‖ < . Mostre que λ ∈ σ(T ).
- Quantos produtos internos induzem uma dada norma num espaço vetorial?
- Mostre que, num espaço de Hilbert, (ξn)n∈N ∈ XN^ converge a ξ se, e só se, ‖ξn‖ → ‖ξ‖ e (ξn, ξ) → ‖ξ‖^2.
- Sejam os espaços X = (C^0 ([− 1 , 1], R), (·, ·)) com (f, g) = ∫^ −^11 f (t)g(t) dt e Y = (C^0 ([− 1 , 1], R), ‖ · ‖∞). Mostre que Id : X → Y e S : X → R, ψ 7 → ψ(0) não são contínuas, mas que T : X → Y, ψ 7 → T (ψ) : t 7 → ∫^0 t ψ(s) ds é contínua. Qual é o valor de ‖T ‖?
- Para H espaço de Hilbert real, todo operador S : H que preserve distância entre vetores (‖Sx − Sy‖ = ‖x − y‖, ∀x, y ∈ H) tem a forma S(ξ) = S(0) + V (ξ) para alguma isometria linear V : H limitada.
- Um conjunto ortonormal {ξj }j∈J é uma base ortonormal de H se, e só se, vale ‖x‖^2 = ∑ j∈J |(x, ξj^ )|^2 para todo^ x^ ∈^ H.
- Sejam S, T ∈ B(H) autoadjuntos, Então T S é autoadjunto se, e só se, T S = ST.
- Sejam f, g ∈ H∗. Então N (f ) = N (g) se, e só se, existe 0 6 = α ∈ R tal que f = αg. Isto vale também em espaços de Banach?
- Sejam E, F espaços vetoriais fechados de H. Então E ⊥ F ⇐⇒ PE PF = PF PE = 0 (PE e PF são as projeções ortogonais sobre E e F ).
- Seja T : `^2 (Z) dada por (T ξ)n = ξn+1 − ξn− 1 para ξ = (ξn)n∈Z. Mostre que T é limitado e ache ‖T ‖ e ‖T ∗‖.
- Seja T : `^2 (Z) dada por (T ξ)n = ξn+1 + ξn− 1 para ξ = (ξn)n∈Z. Então T é limitado e autoadjunto. Calcule ‖T ‖.
- Um conjunto ortonormal (ξα)α∈J é base ortonormal se, e só se,
(x, y) =
α
(x, ξα) · (y, ξα).
6 Operadores compactos
- Seja H espaço de Hilbert separável de dimensão in nita e seja (αn)n sequência de reais tal que αn → 0 quando n → +∞. Mostre que existe operador T : H compacto com σ(T ) = { 0 } ∪ {αn : n ≥ 1 }.
- Se T : X → Y é compacto, então T (X) não contém subespaço vetorial fechado de dimensão in nita. Consequentemente, T compacto é sobrejetivo se, e só se, Y tem dimensão nita. Use isto para caracterizar as projeções ortogonais P em H que são compactas.
- Seja X espaço de Banach tal que seu dual X∗^ é separável, Y um espaço de Banach e T : X → Y operador linear. Mostre que (a) T : (X, σ(X, X′)) → (Y, ‖ · ‖) é contínuo em 0 se, e só se, for sequencialmente contínuo no seguinte sentido: toda sequência hn fracamente convergente a zero em X é tal que ‖T (hn)‖ converge para zero.
(d) Faça t = ^1 /p^ na expressão acima e deduza que lim sup ‖T (hn)‖q = 0 tomando → 0. Isto conclui a prova do Teorema de Pitt no caso 1 ≤ p < ∞. (e) Siga a mesma linha de raciocínio para p = ∞ usando a propriedade (1) e o exercício anterior.
- Seja T :
^2 (N) tal que T ei = λiei, ∀i ∈ N, onde (ei)i∈N é a base canônica de^2 (N) e (λi)i∈N é uma sequência limitada de reais. (a) Mostre que se λ ∈ σ(T ) não é autovalor de T , então T − λId tem imagem densa em `^2 (N). (b) Mostre que σ(T ) é o fecho de {λn : n ∈ N}.
7 Álgebras de Banach
- Seja (X, ‖ · ‖) álgebra de Banach com involução ∗ : X → X tal que ‖x∗x‖ ≥ ‖x‖^2 para todo x ∈ X. Mostre que X é uma álgebra C∗.
- Seja (X, ‖ · ‖) álgebra de Banach, x ∈ X e (ai)i≥ 1 ⊂ R uma sequência de números reais tais que ∑ i≥ 1 aixi^ converge. Suponha que x satisfaz a relação polinomial p(x) = ∑n i=0 aixi^ = 0^ para dados número reais^ (ai)i=0,...,n^ ⊂^ R. Prove que^
i≥ 1 aixi^ é um polinômio em x de grau ≤ n − 1. [Sugestão: seja M o subespaço gerado pelos {xi}i=0,...,n− 1 e mostre primeiro que xm^ ∈ M para todo m ≥ 1 .]
- Seja (X, ‖ · ‖) álgebra de Banach, x ∈ X e A a menor subálgebra fechada de X que contém x, Prove que A é uma álgebra de Banach comutativa. [Sugestão: a família de polinômios p(x) = ∑ni=0 aixi^ é a menor álgebra contendo x. Considere seu fecho em X.]
- Seja (X, ‖·‖) álgebra de Banach e p : X ×X → X, (a, b) 7 → ab a função multiplicação. Mostre que esta função é diferenciável e que Dp(a,b)(x, y) = ay+xb. [Sugestão: aplique a de nição de derivada de funções de várias variáveis e tenha cuidado em não assumir comutatividade.]
- Sejam (X, ‖ · ‖) álgebra de Banach e p(x) = axn^ função monomial com a ∈ X e n ∈ Z+^ xados. Mostre que esta função é diferenciável e que Dpy(x) = nayn−^1 x.
- Sejam (X, ‖ · ‖) álgebra de Banach, r > 0 e an sequência em X tal que (‖an‖rn)n≥ 1 é limitada em R. Mostre que (n‖an‖sn) é limitada para todo 0 < s < r e conclua que f (x) = ∑ n≥ 1 nanxn−^1 converge uniformemente em toda a bola de X contida em Br(0).
- Prove o seguinte Teorema: Sejam (X, ‖ · ‖) álgebra de Banach comutativa, r > 0 e (an)n≥ 0 sequência em X tal que (‖an‖rn)n≥ 1 é limitada em R. Então F (x) = ∑ n≥ 0 anxn^ está de nida e é diferenciável na bola^ Br(0)^ em^ X^ e para todos^ y, x^ ∈^ X
DFy(x) =
n≥ 1
nanyn−^1
· x.
