C´alculo 2 - IFF - Campus Maca´e Lista 8
Professor: Victor Emmanuel
Limite
Continuidade
Nos exerc´ıcios de 1 a 17 calcule o limite, L, quando existir. Caso n˜ao exista, justifique.
1. lim
(x,y)→(0,0)
x+y
x2+y2+ 2
2. lim
(x,y)→(0,0)
senxy
x
3. lim
(x,y)→(0,0)
x
x+y
4. lim
(s,t)→(0,0)
s2−t2
s2+t2
5. lim
(x,y,z)→(0,0,0)
x3+y+z2
x4+y2+z3
6. lim
(x,y)→(1,2)
1−cos(xy −2x)
(y−2)2
7. lim
(s,t)→(0,0)
s3−t3
s2+t2
8. lim
(x,y)→(0,1)
1
x2+y−1
9. lim
(x,y)→(0,0)
y
px2+y2
10. lim
(x,y)→(1,0)
(x−1)y2
(x−1)2+y2
11. lim
(x,y,z)→(0,0,0)
x2z
x2+y2+z2
12. lim
(x,y)→(0,0)
sen(x2−y2)
x+y
13. lim
(x,y)→(0,1)
x2(x+ 1) + (y−1)2
x2+ (y−1)2
14. lim
(x,y)→(0,0)
x3
p(x2+y2)3
15. lim
(x,y)→(0,0)
xy
px2+y2
16. lim
(x,y)→(0,0)
x2+y2
px2+y2+ 1 −1
17. lim
(x,y)→(0,0)
y2x2
x2+y2
Nos exerc´ıcios abaixo, obtenha o maior subconjunto de R2no qual a fun¸c˜ao ´e cont´ınua.
18. f(x, y) =
x2y
x2+y2; (x, y)6= (0,0)
0; (x, y)6= (0,0)
19. f(x, y) = (e
1
x2+y2−2;x2+y2<2
0; x2+y2≥2
20. f(x, y) =
e
1
x2+y2−2
x2+y2−2;x2+y2<2
0; x2+y2≥2
21. f(x, y) =
x2y3
2x2+y2; (x, y)6= (0,0)
0; (x, y)6= (0,0)
GABARITO
1. L=0.
2. L=0.( O numerador e denominador podem ser multiplicados por y, depois separa-se como produto. Para calcu-
lar toma-se u=xy e apropriedade que relaciona (x, y)→(0,0) com u→0, e aplica-se o limite trigonom´etrico
fundamental).
3. @L, pois tendendo por caminhos diferentes os limites s˜ao diferentes.
4. @L, idem ao 3.
5. @L, pois tendento pela curva γ(t)=(t, 0,0), t > 0 o limite tende a +∞(ou t < 0, tende a −∞)
6. L=1
2. (O numerador e denominador podem ser multiplicados por x2. Para calcular, toma-se u=x(y−2) e
a propriedade que relaciona (x, y)→(1,2) com u→0, e calcula-se um limite trigonom´etrico).
7. L=0. (Escrevendo como diferen¸ca de limites, em cada um pode ser aplicado o teorema do anulamento).
1
