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4. Resultante de Sistema de Forças
4.1- Momento de uma Força: Conceituação (ou Torque).
O momento de uma força em relação a um ponto ou a um eixo fornece uma medida de tendência dessa força provocar a rotação de um corpo em torno do ponto ao eixo.
Figura 4. 1
x y- Plano de tendência de rotação. z- eixo perpendicular ao plano de rotação.
Vetor: Intensidade: M=F.d (Equação 4.1) Direção: perpendicular ao plano de tangência de rotação. Sentido: dado pela regra da mão direita. Dimensão/unidade: [ ]=[F].[L] N.m , lb.pé
Observe que se a linha de ação da força concorre no ponto ou no eixo a tendência à rotação em torno do ponto ou eixo é nulo, o que se reflete no braço de alavanca nulo.
Ex..4.1 e 4.
4.2- Produto Vetorial.
Sejam dois vetores e. Define-se o produto vetorial de com como:
(Equação 4.2)
Intensidade: ,
Direção: perpendicular ao plano formado por e. Sentido: regra da mão direita ou do saca-rolha.
Pode-se escrever ainda: =
Propriedades: Não-comutativo: (mesmas intensidades e direção, porém com sentidos opostos) Multiplicação por um escalar:
Figura 4. 2
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Distributiva: ( manter a ordem do produto)
Formulação vetorial cartesiana:
Considere a base ortogonal de vetores { , , } definida positiva. Então:
Figura 4. 3
Considere o produto vetorial entre 2 vetores expressos em forma cartesiana:
(Equação 4.3) De forma compacta:
4.3- Momento de uma Força – Formulação Vetorial
Define-se momento de uma força em relação a um ponto “O” como:
(Equação 4.4) Intensidade:
Direção: ao plano e Sentido: regra da mão direita ou do saca-rolha.
Principio da Transmissibilidade: Uma mesma força deslocada sobre sua linha de ação possui o mesmo momento em relação a qualquer ponto.
Figura 4. 5
Figura 4. 4
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4.4- Princípio dos Momentos (ou Teorema de Varignon)
Figura 4. 8
Exemplos 4.6 e 4.7→ págs 108 a 110
4.5- Momento de uma Força em Relação a um Eixo
Figura 4. 9
projeção ortogonal de. projeção ortogonal de.
No plano α:
Figura 4. 10
O momento da componente em relação a “o’” indica a capacidade virtual de um corpo girara em torno do eixo “r”.
(Equação 4.7) Para: (Equação 4.8)
(Equação 4.9) Logo:
(Equação 4.10)
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Projetando na direção de :
ou (Equação 4.11)
Para então: Finalmente:
Isto é, é a projeção de na direção do eixo.
Produto Escalar Misto em Rotação Cartesiana
(Equação 4.12)
Momento de um Sistema de Forças em Relação a um Eixo
Seja um sistema de Forças , então o momento deste sistema de Forças em relação a r
será:
(Equação 4.13) Ex. 4.8 e 4.9→ págs 120 a 122
4.6- O Binário
O binário é definido por um sistema de forças formado por:
, }
Figura 4. 11
Resultante de um binário: (Equação 4.14)
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Seja A um sistema de forças formado por n binários: { então o momento resultante deste sistema é:
(independe do ponto)
Ex. 4.10, 4.11, 4.12 e 4.13→ págs. 127 a 131
4.7- Sistema Equivalente
Dois sistemas de forças são ditos mecanicamente equivalentes se o resultado mecânico de ambos sobre um mesmo corpo é idêntico, isto é, produz o mesmo efeito de translação e de rotação.
Figura 4. (^16) Figura 4. 17
Sistema Mecanicamente Equivalente a uma Força.
Considere a força aplicada no ponto A do corpo rígido abaixo:
Figura 4. 18 (Força aplicada em A.)
Figura 4. 19 Figura 4.^20 (Força reduzida em O. Sistema equivalente em O.)
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4.8- Redução de um Sistema de Forças a uma Força e um Binário
Dado um sistema de forças , então a sua redução num ponto qualquer a uma força e um binário mecanicamente equivalente é dada por:
(Equação 4.17) (Equação 4.18)
Figura 4. 21
Figura 4. 22 (Sistema reduzido em A mecanicamente equivalente.)
Exemplos 4.14 e 4.15→ pág. 139 e 140
4.9- Reduções Adicionais de um Sistema de Forças e Momentos
Simplificação para uma Única Força Resultante Suponha um sistema de forças que se reduz num ponto a uma força e a um momento mutuamente ortogonais.
Figura 4. 23 Figura 4.^24 Figura 4.^25
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Sistema de Forças Paralelas:
Figura 4. 31 (A, B, C não pertencem necessariamente ao mesmo plano.)
Figura 4. 32 (Redução em O a uma resultante e um momento perpendicular a .)
Figura 4. 33
Redução a um Torçor: Dado um sistema de forças qualquer, ele sempre pode ser reduzido num ponto à resultante e ao momento de redução no ponto.
Figura 4. 34 Figura 4.^35 (Redução do sistema à resultante e a um torçor em P.)
Ex. 4.16, 4.17, 4.18 e 4.19→ pág.144 e 148
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4.10- Redução de um Sistema Simples de Cargas Distribuídas
Forças distribuídas sobre uma superfície são comuns devido a forças de pressão ou de arrasto. A força peso já se distribui por todo volume do corpo. De qualquer forma, tanto as primeiras com estas últimas podem ser simplificadas em muitos casos a uma distribuição linear. Vejamos um exemplo:
Figura 4. 36
Diagrama de distribuição de pressão hidrostática numa parede vertical.
Figura 4. 37
Onde é a força por unidade de comprimento na direção x ou carga distribuída na direção x.
Detalhe do pedaço
A resultante é equivalente ao sistema distribuído em e se encontra na coordenada. No limite, para
(Equação 4.18)
Resultante da Força Distribuída:
Figura 4. 38
