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Resolução dos exemplos
de aplicação do Capítulo 5
5.8.1 Esforços solicitantes em estrutura de um andar e estados-limites de serviço
A estrutura a seguir pertence a uma edificação de um pavimento, e é formada por uma subestrutura de contraventa- mento (pilar em balanço AB) e por três elementos contraventados (elementos CD, EF e GH). Nessa estrutura são previstas ações características decorrentes de peso próprio de estruturas metálicas ( Pga,k ), peso próprio de elementos construtivos industrializados ( Pge,k ), sobrecarga na cobertura ( Psc,k ) e vento ( qve,k ). Considerando a utilização normal da estrutura:
1) serão obtidos, usando o Método da Amplificação dos Esforços Solicitantes (MAES), no plano da estrutura, os esforços solicitantes de cálculo no nó A do pilar AB, que tem perfil soldado CS 500 × 233, fletido em relação ao eixo de maior momento de inércia (eixo x ), para as combinações últimas de ações que tenham a sobrecarga ou o vento como ação variável principal; 2) será explicitado se o MAES é aplicável à estrutura tratada; 3) serão determinados os esforços solicitantes de cálculo máximos nos elementos contraventados.
Além disso, será verificado se o deslocamento horizontal no topo da estrutura é aceitável, no que se refere ao conforto dos usuários.
Pga,k,
Pge,k,
Psc,k,
Pga,k,
Pge,k,
Psc,k,
Pga,k,
Pge,k,
Psc,k,
Pga,k,
Pge,k,
Psc,k,
Pga,k,
Pge,k,
Psc,k,
Pga,k,
Pga,k,1 = 70 kN
Pge,k,2 = 300 kN
Psc,k,1 = 280 kN (^) Psc,k,2 = 480 kN
Pga,k,2 = 140 kN
Pge,k,1 = 150 kN
Pge,k,
Psc,k,
Pga,k,
Pge,k,
Psc,k,
qve,k = 8 kN/m
x
x
H
G E C A
F D B
5 m 5 m 5 m
4 m
Sabe-se que, em uma barra engastada-rotulada submetida a uma força uniformemente distribuída, a reação no apoio rotulado é igual a 3/8 do valor total dessa força.
a) Combinações de ações
Deve-se realizar análise elástica de segunda ordem para todas as combinações últimas de ações possíveis em que a sobrecarga ou o vento seja a ação variável principal, levando-se em conta as imperfeições iniciais geométricas quando não houver forças horizontais. As imperfeições iniciais de material também devem ser consideradas na subestrutura de contraventamento. Essas combinações são as três mostradas a seguir:
- Sobrecarga como ação variável principal mais vento, sem imperfeições geométricas e com imperfeições de material (usar E (^) a,red = 160.000 MPa)
2 Dimensionamento de elementos estruturais de aço e mistos de aço e concreto~
Pd,2 = 1,25(140) + 1,35(300) + 1,5(480) = 1.300 kN
H
G E
Pd,1 = 1,25(70) + 1,35(150) + 1,5(280) = 710 kN
qd = 1,4 × 0,6 × 8 = 6,72 kN/m
C A
F D B
- Sobrecarga como ação variável principal sem vento, com imperfeições geométricas e com imperfeições de material (usar E (^) a,red = 160.000 MPa)
Pd,2 = 1,25(140) + 1,35(300) + 1,5(480) = 1.300 kN
H
G E
Pd,1 = 1,25(70) + 1,35(150) + 1,5(280) = 710 kN
Fnd = 0,003(6 × 1.300 + 710) = 25,53 kN
C A
F D B
- Vento como ação variável principal, sem imperfeições geométricas e com imperfeições de material (usar E (^) a,red = 160.000 MPa)
Pd,2 = 1,25(140) + 1,35(300) + 1,5 × 0,8(480) = 1.156 kN
H
G E
Pd,2 = 1,25(70) + 1,35(150) + 1,5 × 0,8(280) = 626 kN
qd = 1,40(8) = 11,20 kN/m
C A
F D B
b) Esforços solicitantes de cálculo no nó A para sobrecarga como variável principal mais vento
O pilar AB, que é a subestrutura de contraventamento, quando se usa o MAES, pode ser tratado independentemente do restante da estrutura. Decompondo esse pilar na estrutura nt (pilar com o carregamento atuante e com apoio horizon- tal fictício no nó B) e na estrutura lt (pilar submetido à reação do apoio fictício em sentido contrário), vem:
4 Dimensionamento de elementos estruturais de aço e mistos de aço e concreto~
Com h = 400 cm, R (^) s = 0,85 (o pilar em balanço pode ser considerado, conservadoramente, a forma mais sim- ples de pórtico), Δ h = Δ B = 0,095 cm e com
Σ PSd = 710 + 6 (1.300) = 8.510 kN
Σ HSd = 10,08 kN tem-se
R
B 2 1, 309
h
Σ P
s^ Σ H
h Sd Sd
Notar que, no valor da carga gravitacional total, foram consideradas as cargas aplicadas na subestrutura de contraventamento e nos elementos contraventados.
- Valores dos esforços solicitantes de cálculo Os valores dos esforços solicitantes de cálculo no nó A do pilar AB a serem usados na verificação dos estados- -limites últimos são dados conforme segue: N (^) Sd = Nnt,Sd + B 2 N (^) l t , Sd = −1.360 + 1,309 (0) = −1.360 kN
M (^) Sd = B 1 Mnt,Sd + B 2 M (^) l t,Sd = 1,010 (−13,44) + 1,309 (−40,32) = −66,35 kN.m
VSd = Vnt,Sd + V l t,Sd = 16,80 + 10,08 = 26,88 kN
c) Esforços solicitantes de cálculo no nó A para sobrecarga como variável principal sem vento
As estruturas nt e lt são as seguintes:
RSd = 25,53 kN
Estrutura t
RSd = 25,53 kN
1.360 kN
Estrutura nt
Fnd = 25,53 kN
- Estrutura nt Na estrutura nt, no nó A, situado na base, tem-se:
Nnt,Sd = −1.360 kN
Mnt,Sd = 0 Vnt,Sd = 0
- Estrutura lt Na estrutura lt, no nó A, tem-se: N (^) l t,Sd = 0
M (^) l t,Sd = −25,53 × 4 = −102,12 kN.m V l t,Sd = 25,53 kN
Resolução dos exemplos de aplicação do Capítulo 5 5
- Valor do coeficiente B 1 O coeficiente B 1 não precisa ser calculado, pois Mnt,Sd é nulo.
- Valor do coeficiente B 2 O coeficiente B 2 é o mesmo determinado anteriormente, pois apenas a força horizontal atuante na estrutura lt foi alterada, e esse coeficiente independe do valor dessa força (a relação Δ h /Σ H (^) Sd não se altera).
- Valores dos esforços solicitantes de cálculo Os valores dos esforços solicitantes de cálculo no nó A do pilar AB são os seguintes:
N (^) Sd = Nnt,Sd + B 2 N (^) l t,Sd = −1.360 + 1,309 (0) = −1.360 kN
M (^) Sd = B 1 Mnt,Sd + B 2 M (^) l t,Sd = 0 + 1,309 (–102,12) = −133,68 kN.m VSd = Vnt,Sd + V l t,Sd = 0 + 25,53 = 25,53 kN
d) Esforços solicitantes de cálculo no nó A para vento como variável principal
As estruturas nt e lt para essa combinação de ações são as seguintes:
626 + 1.156/2 = 1.204 kN
11,20 kN/m
A
B
Rsd = 16,80 kN
Estrutura ℓt
RSd = 3(11,20 x 4)/8 = 16,80 kN
1.204 kN
Estrutura nt
11.20 kN/m
- Estrutura nt Na estrutura nt, no nó A, tem-se:
Nnt,Sd = −1.204 kN
Mnt,Sd = 16,80 × 4 – 11,20 × 4 × 2 = −22,40 kN.m
Vnt,Sd = −16,80 + 11,20 × 4 = 28,00 kN
- Estrutura lt Na estrutura lt, no nó A, tem-se:
N (^) l t,Sd = 0
M (^) l t,Sd = −16,80 × 4 = −67,20 kN.m
V l t,Sd = 16,80 kN
N , N ,
B
1 nt Sd^ t S^ d
1
Cm
Ne
C (^) m = 1 (há forças transversais aplicadas)
Resolução dos exemplos de aplicação do Capítulo 5 7
g) Verificação do deslocamento horizontal no topo da estrutura
Para obter o deslocamento no topo do pilar, deve-se efetuar análise de primeira ordem, com a combinação fre- quente de ações, dada pela Equação (4.10), uma vez que se deseja garantir o conforto dos usuários. Para essa combi- nação de ações, o vento é a única solicitação a causar deslocamento horizontal e deve ser considerado com seu valor característico minorado pelo fator de redução ψ 1 igual a 0,3, como se vê a seguir:
qve,ser,fr = 0,3 x 8 = 2,4 kN/m
A
B
ΔB
H = 4 m
O deslocamento horizontal do nó B, de acordo com o caso C.4.1 do Apêndice C, é igual a:
= = 8 × 20.000 × 140.
q H = 8 E I
∆ 2,4 × 10–2^ × 400^4 0,03 cm B
ve k a x
,
4
Pode-se concluir que o conforto dos usuários está assegurado, uma vez que o deslocamento máximo permitido, para o caso de edifícios de apenas um pavimento, conforme o Subitem 4.3.3.4, é H /300, portanto, 400/300 = 1,33 cm, valor extremamente superior ao deslocamento calculado.
5.8.4 Análise de sistema treliçado como subestrutura de contraventamento
A figura a seguir mostra a estrutura de uma edificação com duas subestruturas de contraventamento, formada pelos sistemas treliçados ABC, e com quatro elementos contraventados. Nessa estrutura, Pg,k e Psc,k são forças carac- terísticas decorrentes basicamente do peso próprio de equipamentos fixos e sobrecarga, respectivamente. Sabendo-se que as barras das subestruturas de contraventamento têm área da seção transversal de 30 cm 2 , serão determinadas por meio do Método da Amplificação dos Esforços Solicitantes (MAES) as forças axiais solicitantes de cálculo nas barras dessas subestruturas e nos elementos contraventados para a combinação última de ações mais desfavorável, conside- rando uso normal da edificação. Finalmente, será avaliada a validade do uso do MAES.
6 m
A
C (^) C
1 m 1 m B
P (^) g,k
Psc,k Pg,k
Psc,k Pg,k
Psc,k Pg,k
Psc,k Pg,k
Psc,k
A (^) 1 m 1 m B
P (^) g,k
Psc,k
Pg,k = 140 kN Psc,k = 90 kN
8 Dimensionamento de elementos estruturais de aço e mistos de aço e concreto~
a) Combinação última de ações
A combinação última de ações mais desfavorável é constituída pela carga permanente e pela sobrecarga e possui a seguinte resultante gravitacional nos nós, para uso normal da edificação:
Pd = 1,35 ( Pg,k ) + 1,50 ( Psc,k ) = 1,35 (140) + 1,50 (90) = 324 kN
Como não há atuação de forças laterais, a essa resultante gravitacional deve ser acrescida a força nocional F (^) nd , que si- mula as imperfeições iniciais geométricas. Considerando inicialmente a força nocional com sentido da esquerda para a direita e como as duas subestruturas de contraventamento trabalham igualmente, cabe a cada uma delas estabilizar dois elementos contraventados, conforme se vê a seguir:
A
C
B
324 kN 324 kN 324 kN F (^) nd = 0,003 (3 × 324) = 2,92 kN
b) Forças axiais solicitantes de cálculo nas barras da subestrutura de contraventamento
Deve-se fazer a análise estrutural elástica de segunda ordem para a combinação última de ações apresentada ante- riormente por meio do MAES. Decompondo a estrutura original na estruturas nt e lt, vem:
A
C
B
324 kN 324 kN 324 kN
2,92 kN
Estrutura original
A
C
B
324 kN 324 kN 324 kN
2,92 kN
Estrutura nt
R (^) Sd
A
C
B
Estrutura t
RSd
=
10 Dimensionamento de elementos estruturais de aço e mistos de aço e concreto~
Estabelecendo o equilíbrio do nó C a forças verticais e horizontais, respectivamente, tem-se:
- N l t,Sd,AC cos α – N l t,Sd,BC cos α = 0 ⇒ N l t , Sd , AC = – N l t,Sd,BC
2,92 + N l t,Sd,BC sen α – N l t,Sd,AC sen α = 0 ⇒ 2 N l t,Sd,AC sen α = 2,92 ⇒ = ×
N 2, 92 =
t , Sd,AC 8,88 kN
N l t,Sd,BC = −8,88 kN
Valor do coeficiente B 2
Com a força horizontal no nó C de 2,92 kN, deve-se calcular o deslocamento horizontal desse nó (Δ C ) tomando o módulo de elasticidade do aço como igual a Ea,red , ou seja, 16.000 kN/cm 2 , para consideração das imperfeições ini- ciais de material. Para isso será usado o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV), segundo o qual:
ni N (^) i Ea,red Ai
∆ C = L (^) i i= 1
2
onde ni são as forças axiais nas barras AC e BC decorrentes de uma força horizontal unitária aplicada no nó C (obvia- mente, essas forças axiais são iguais, respectivamente, a N (^) l t,Sd,AC e N (^) l t,Sd,BC divididas por 2,92) e Ni são as forças axiais nas barras AB e BC decorrentes da força de 2,92 kN atuante no nó C ( N (^) l t,Sd,AC e N (^) l t,Sd,BC , respectivamente). Logo, tem-se:
= [ × × + ( )( ) ]
×
∆ C 0, 068 cm
Com h = 600 cm, R (^) s = 1,0, Δ h = Δ C = 0,068 cm, e com Σ PSd = 3 × 324 = 972 kN
Σ H (^) Sd = 2,92 kN
obtém-se
= −
R
B 2 1, 039
h
Σ P
s^ Σ H
h Sd Sd
Valores das forças axiais solicitantes de cálculo
Os valores das forças axiais solicitantes de cálculo a serem usados na verificação dos estados-limites últimos da subestrutura de contraventamento são obtidos conforme segue:
NSd,AC = Nnt,Sd,AC + B 2 N l t,Sd , AC = −164,17 + 1,039 × 8,88 = −154,94 kN
N (^) Sd,BC = Nnt,BC + B 2 N l t,Sd,BC = −164,17 + 1,039 (–8,88) = −173,40 kN Para a força nocional com sentido da direita para a esquerda, ter-se-ia uma inversão dos valores das forças axiais nas barras AC e BC.
c) Forças axiais solicitantes de cálculo nos elementos contraventados
Os elementos contraventados ficam submetidos à força axial de compressão solicitante de cálculo igual a 324 kN.
d) Verificação da validade do procedimento de análise estrutural utilizado
Como o coeficiente B 2 é igual a 1,039, não superando, portanto, 1,55, o uso do MAES é válido. Observa-se, ainda, que B 2 é inferior a 1,13, o que significa que a estrutura é de pequena deslocabilidade.
Resolução dos exemplos de aplicação do Capítulo 5 11
5.8.6 Barra birrotulada com momentos de extremidade e força axial
Para a mesma barra do Subitem 5.8.5 sob ação da força axial de compressão Nc,d , substituindo-se a carga distribu- ída q (^) d por dois casos de momentos aplicados nas extremidades, conforme se vê a seguir, será determinado o máximo valor do momento fletor solicitante de cálculo:
- Caso a: momentos diferentes de sentidos opostos aplicados nas extremidades
MA,d = 60 kN.m MB,d = 50 kN.m N (^) c,d = 800 kN N (^) c,d = 800 kN L = 12 m
A B
- Caso b: momentos diferentes de sentidos iguais aplicados nas extremidades
MA,d = 60 kN.m
MB,d = 50 kN.m
Nc,d = 800 kN N (^) c,d = 800 kN L = 12 m
A B
a) Caso a
A diferença básica em relação ao exemplo anterior, para determinação de M (^) Sd , é o cálculo do coeficiente C (^) m , que agora é dado pela expressão:
m^ =^ 0, 60^ −0, 40 nt Sd nt Sd
, , 1 , ,
C
M
M
A relação Mnt , Sd ,1/ Mnt , Sd ,2 é negativa, pois os momentos de extremidade provocam curvatura simples. Logo:
Cm (^) ( ) 0, 933
e
= −
B 1 C N 1,
N
m c,d e
Finalmente: M (^) Sd = B 1 M 0 = 1,067 × 60 = 64,02 kN.m
b) Caso b
Agora, a relação Mnt , Sd ,1/ Mnt , Sd ,2 é positiva, pois os momentos provocam curvatura reversa. Logo:
= 0, 60 − 0, 40 50 = 60
C m (^) ( ) 0, 267
e
= −
C
N
m 0, c,d Ne
B 1 < 1,0^ ⇒^ Adotar^ B 1 = 1
Resolução dos exemplos de aplicação do Capítulo 5 13
Para a força axial N (^) HF,Sd de compressão, a situação da escora é similar à da barra do Subitem 5.8.5. O momento fletor máximo ocorre na seção central da barra e, para sua obtenção, deve-se considerar o efeito local N -δ. Pelo Método da Amplificação dos Esforços Solicitantes (MAES), tem-se:
M (^) Sd = B 1 M 0
com
= =
×
P L
M 0 d 1.625 kN.m
e
= 1 −
B 1 C^ m ≥1, NHF,Sd Ne
onde C (^) m é igual a 1,0 porque existem forças transversais entre as extremidades da barra e
L
^2 × 20.000 × 8.
N (^) e (^) 2 2 6.317 kN
^2 Ea I
Logo:
= −
B 1 1,
e
M (^) Sd = 1,003 × 1.625 = 1.630 kN.m A força cortante solicitante de cálculo na escora é:
=^ P = = 650 kN 2
Sd 2 V d
Conclui-se, portanto, que, para o caso de atuação da força axial de compressão na escora de 19,50 kN, ela fica submetida, ainda, a um momento fletor e a uma força cortante de 1.630 kN.m e 650 kN, respectivamente.
Para o caso de atuação da força axial de tração na escora de 19,50 kN, ela fica submetida também a um momento fletor correspondente ao próprio M 0 (para força axial de tração, não se considera o efeito N -δ) igual a 1.625 kN e à força cortante de 650 kN.
c) Escora FD
A escora FD trava os elementos contraventados GH e EF. Na Equação (5.12), m é igual a 2 e:
= a + b = a + b =
m
α (^) 0, 5 1 1 0, 5 1 1 2 red 0, 866
De acordo com a Equação (5.11):
N FD Sd , = α red [0, 01 ( NGH Sd , + NEF Sd , ) ] = 0, 866 0, 01 1.950[ ( + 2.600) ]=39, 40 kN
De modo similar à escora HF, faz-se:
14 Dimensionamento de elementos estruturais de aço e mistos de aço e concreto~
B 1 1,
e
M (^) Sd = 1,006 × 1.625 = 1.635 kN.m
Portanto, para a força axial de compressão de 39,40 kN, a escora FD fica submetida, a um momento fletor e a uma força cortante solicitantes de cálculo iguais a 1.635 kN.m e 650 kN, respectivamente. Para a força axial de tração de 39,40 kN, a escora FD fica submetida, a um momento fletor e a uma força cortante solicitantes de cálculo iguais a 1.625 kN.m e 650 kN, respectivamente.
d) Escora DB
A escora DB trava os elementos contraventados GH, EF e CD. Na Equação (5.12), m é igual a 3 e:
= a + b = a + b=
m
α (^) 0, 5 1 1 0, 5 1 1 3 red 0, 816
De acordo com a Equação (5.11):
N FD Sd , = α red [0, 01 ( NGH Sd , + N EF Sd , + NCD Sd , ) ]= 0, 816 0, 01 1.950[ ( + 2.600 + 2.600) ]=58, 34 kN
De modo similar às escoras HF e FD, faz-se:
B 1 1, 009
e
M (^) Sd = 1,009 × 1.625 = 1.640 kN.m Portanto, para a força axial de compressão de 58,34 kN, a escora DB fica submetida, a um momento fletor e a uma força cortante solicitantes de cálculo iguais a 1.640 kN.m e 650 kN, respectivamente. Para a força axial de tração de 58,34 kN, a escora DB fica submetida, a um momento fletor e a uma força cortante solicitantes de cálculo iguais a 1.625 kN.m e 650 kN, respectivamente.
