Exercicios de algebra linear, Exercícios de Análise de Sistemas Lineares

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Apontamentos sobre Sistemas de Equações Lineares Conteúdo CONCEITOS BÁSICOS Definição 1 : Equação linear : Sistema de equações lineares : Solução de um sistema de equações lineares : Sistema de equações lineares equivalentes Definição 5 : Classificação de sistema de equações lineares REPRESENTAÇÃO MATRICIAL Definição 6 : Matriz simples e matriz ampliada do sistema MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS Proposição 1 : Método de redução de sistemas de equações Definição 7 : Operações elementares sobre linhas o 8: Método de substituição inversa o 9: Método de Eliminação de Gauss ção 10 :Matriz em escada Definição 11 : Característica de uma matriz Proposição 2 : Propriedades da característica de uma matriz Definição 12 :Grau de indeterminação de um sistema Definição 13 : Sistema homogéneo Definição 14 : Sistema homogéneo associado Proposição 3: Conjunto de soluções de um sistema MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS-JORDAN Definição 15 :O método de eliminação de Gauss-Jordan CALCULAR A INVERSA DE UMA MATRIZ PELO MÉTODO DE SODA RE ROLO RNNINDINOIO So — ma vo GAUSS-JORDAN 13 Proposição 4: Matriz invertível 14 Definição 16 : Método de Gauss-Jorden para determinar a matriz inversa 14 ExERCÍCIOS 14 Objetivos de aprendizagem: e Determinar a característica de uma matriz utilizando o método de eliminação de Gauss. e Determinar a solução de um sistema de equações. e Discutir a existência de soluções de um sistema em função de parâmetros. e Discutir a existência de inversa de uma matriz e determinar a inversa pelo método de Gauss-Jordan. Ana Isabel Filipe 1/15 Sistemas de Equações Lineares CONCEITOS BÁSICOS Definição 1: Equação linear Uma equação linear nas variáveis (ou incógnitas) x,,X,,....X, é uma equação que possa ser escrita na forma a,x,+a, x, +::-+a,x, —b, onde -açebsão números dados. As constantes a,,a,,...,a, a,a denominam-se coeficientes das incógnitas e b é o termo independente. py Exemplo: 2x,+3x, —3x; — 4 é uma equação linear. cosx, +3x, —3x; =4 não é uma equação linear. 2x,x, —3x; =4 não é uma equação linear. Definição 2: Sistema de equações lineares Um sistema de equações lineares é uma coleção finita de equações lineares (todas nas mesmas incógnitas x,.X>,....X,) consideradas em conjunto: AX, +ApX, +ApX +eaçX, =D, ajX+apX, +anX, + ax =D, AX, +ApXo +AsgÃ, + AX, Ds AX, +AgoXo + AX + AmaXo — Om onde a;e b; são números dados. As constantes a; denominam-se coeficientes das incógnitas e b; são os termos independentes. = Definição 3: Solução de um sistema de equações lineares A solução de um sistema de equações lineares é um n-uplo ordenado de números que é solução de todas as equações que constituem o sistema. Definição 4: Sistema de equações lineares equivalentes Dois sistemas de equações lineares dizem-se equivalentes se e só se tiverem o mesmo conjunto de soluções. = Definição 5: Classificação de sistema de equações lineares Um sistema de equações lineares pode ser classificado em: 1. Possível determinado quando admite uma só solução. 2. Possível indeterminado quando admite mais de uma só solução. 3. Impossível quando não admite soluções. = Ana Isabel Filipe 2/15 Sistemas de Equações Lineares Multiplique a primeira linha por -2 e adicione à segunda linha e Multiplique a primeira linha por -3 e adicione à terceira linha Multiplique a segunda linha por - 3/2 e adicione à terceira linha Obtivemos assim um sistema equivalente ao primeiro x+ y+2z=9 2y-7z2=-17 -17--3 pao Definição 8: Método de substituição inversa O método de substituição inversa consiste em determinar a solução do sistema utilizando a ultima equação para determinar o valor da última incógnita. Encontrado o valor substitui-se na equação anterior de modo a encontrar o valor da penúltima incógnita, e assim sucessivamente até encontrar o valor da primeira incógnita. Por substituição inversa obtém-se: x+y+22=9 x+y+2z=9 x+2+2x3=9 x=1 2y-7x3=-175 y=25 y=25 y=2 2=5) FA RE) Z=5) O sistema tem uma só solução logo é possível e determinado. O processo aqui apresentado denomina-se de Método de Eliminação de Gauss Definição 9: Método de Eliminação de Gauss O Método de Eliminação de Gauss consiste em condensar uma matriz através de um método sistemático utilizando operações elementares sobre linhas. pg O que significa condensar uma matriz? Definição 10: Matriz em escada Diz-se que uma matriz é uma matriz em escada ou condensada se: 1. Por baixo do 1º elemento não nulo de cada linha da matriz e por baixo dos elementos anteriores da mesma linha, todas as componentes são nulas. 2. Não há linhas totalmente nulas seguidas de linhas não nulas. Ana Isabel Filipe 5/15 Sistemas de Equações Lineares Exemplos de matrizes condensadas ou em escada: 304 1002 220//3002//03206 012 9 0/2 6 7 ol 8//0/4 6 7//0 0/12 3 00 00/42 oo o||jo o ol||000 0/2 00 0 00 0 Exercicio 1: Determine as formas condensadas das seguintes matrizes: 02 67 000 04 6 7 03206 A=|10 0 2),,B=|0 1 8,C=/0 0 0 1,D=|/0 0 0 0 2/e 0012 220 3002 00123 3 onooo So ore Definição 11: Característica de uma matriz Dada uma matriz A denomina-se de característica de A o número de linhas não nulas após condensação, representa-se por c(A). = Exemplo: As características das matrizes do exercício anterior são: c(A)=3, c(B)=2, e(C)=3, e(D)=3 e c(E)=3. Proposição 2: Propriedades da característica de uma matriz A característica de uma matriz é um número menor ou igual ao mínimo entre o número de linhas e o número de colunas da matriz dada. « Exemplo: C(Asx4) < 3, C(Bax3) <3, (Cax4) < 3, c(Daxs) < 3, C(Esx3) < 3. Nos exemplos acima a condensação de matrizes foi efetuada apenas pela troca de linhas. No entanto nem sempre isso é possível, há casos em que para efetuar a condensação é necessário utilizar uma linha para anular elementos noutras linhas para que a matriz fique condensada. 123 Exemplo: |O O 5 002 123 123 00 5ls=L-Sh0 05 002 o 0 0 Ana Isabel Filipe 6/15 Sistemas de Equações Lineares Utilizou-se a linha 2 para anular os elementos da 3º linha que se encontravam na terceira coluna. O multiplicador -E é determinado sendo o simétrico da razão entre o número que se pretende anular sobre o que utiliza para anular. Exercicio 2: Determine a característica das seguintes matrizes: 123 123 125 12 4 A=|0 4 5 B-|/0 0 5 c- 005 D=-|0 0 5 002 002 “10 0 0 03 0 003 7903 7903 -1 2 51 10113 E-|0 05 1 F-|0 05 1 G=| 0 0 5 =/0 103 2 020/19 00 0 19 20 06 0 000272 0 4 4 00166 00 1 01 — 2 00-34 05 011 h velo o 4 P=05 000 K= 2 =[0 0 1 > -7 000 5 0-3 s 0-3 01% 03 % 03 % , 1 1 1 0 990 1 Q='0 o 6 300] p-/0.6 789 O 20 0 3 0 2 001 um 02 02 02 Exercicio 3: Determine a característica das seguintes matrizes em função dos valores dos parâmetros: [123 123 0 5 E 124 A=|[0 a 5 B-|/0 0 5 C= 000 D-|0 0 5 [0 02 005» 0 03 o do r -1 2 51 7 03 10113 o 091 U) [0 0 & H=/0 10302 E-|10 0 5 1 F=|/0 0 5 1 G 00055 020 00 019 0 06 0 - 0 4 4 00h 6 6 [0 0 1 011 01% 0-3 2 p=[ 0-3 p 5] K= 2 M=|0 0 m N=|2 0 4 os 000 5 0-3 5 0-3 O no -7 000] Ok % 03 % 3 1 1 1 1 [o 99 0 1 R 0.6 789 0 Q-|0 0 6 300 0 rr 0 lg 00 1 02 02 02 Ana Isabel Filipe 715 Sistemas de Equações Lineares = 4x+5y-1=0 2x+3y+z=0 = ii) y vi) x+3y+2Z ix) 2x/+x2 +x3+x4=1 12x+15y-2=0 x+y+z=0 2x, +X2—X3+x4=3 Exercicio 5: Discuta em função dos parâmetros a e B, os seguintes sistemas de equações lineares. x+4y+3z-=10 2x+y+z=-6B i):2x+7y-22=10 ii) ax+3y+2z= 2B x+5y+oz=p 2x+y+(a+lz= 4 Definição 13: Sistema homogéneo Denomina-se de sistema homogéneo o sistema de equações lineares em que os termos independentes são todos nulos. 2x+3y+z=0 x+y+z=0 . Definição 14: Sistema homogéneo associado Exemplo: [ Denomina-se de sistema homogéneo associado a um sistema de equações lineares o sistema homogéneo em que os coeficientes do sistema são iguais ao sistema inicial. . . 2x+3y+z=3 Exemplo: sistema de equações lineares CEA x+tytz=4 2x+3y+z=0 sistema homogéneo associado x+y+z=0 Proposição 3: Conjunto de soluções de um sistema O conjunto de soluções de um sistema de equações é igual a uma solução particular mais uma solução do sistema homogéneo associado. Exercicio 6: Considere o sistema de equações Ax = b com 000 a A=|0 1 1jeb=|0 010 0 i) Diga para que valores de q o sistema é possível determinado. ii) Diga para que valores de q o sistema é possível indeterminado. iii) Diga para que valores de a o sistema é impossível. Exercicio 7: Considere o sistema de equações Ax = b com 101 1] A-= o m o a 1 0 i) Diga para que valores de a e c o sistema é possível determinado. Ana Isabel Filipe 10/15 Sistemas de Equações Lineares ii) Diga para que valores de a e c o sistema é possível indeterminado. iii) Diga para que valores de a e c o sistema é impossível. iv) Indique a solução do sistema para a=2 e c=0. v) Indique a solução do sistema homogéneo associado para a=1. Exercicio 8: Considere o sistema de equações Ax = b com 1010 1 A=|1 1 1 1/eb=|1). 02 0a c i) Diga para que valores de a e c o sistema é possível determinado. ii) Diga para que valores de a e c o sistema é possível indeterminado. iii) Diga para que valores de a e c o sistema é impossível. iv) Indique a solução do sistema para a=3 e c=-2. Ana Isabel Filipe 11/15 Sistemas de Equações Lineares MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS-JORDAN O método de eliminação de eliminação de Gauss- Jordan é eficaz quando necessitamos resolver sistemas determinados, ou quando queremos resolver um conjunto de sistemas em que os coeficientes são comuns. Voltemos ao sistema da página 5 x+ y+2z2=9 1) !2x+4y-37=1 3x+6y-52=0 Exemplos: Utilizando as operações elementares sobre linhas sobre a matriz ampliada do sistema 1 de um modo sistemático podemos chegar à matriz identidade. Utilizando a 1º linha para eliminar os 11 2/9 E=b-2 elementos da 1º coluna que se encontram o ( =L-3 ) 3 3 1 abaixo da 1º linha Utilizando a 2º linha para eliminar os 112 9? elementos da 2º coluna que se encontram abaixo da 2º linha Multiplicar cada linha por uma constante de 112 pd modo que os elementos da diagonal sejam 1. 027 -17 [é = 2 b | Multiplica-se a 2º linha por 4 e 00 - 1 = 21 Multiplica-se a 3º linha por -2 Utilizando a 3º linha para eliminar os elementos da 3º coluna que se encontram acima da 3º linha Utilizando a 2º linha para eliminar os elementos da 2º coluna que se encontram acima da 2º linha Deste modo chegamos à solução do sistema Na x H va to Ana Isabel Filipe 12/15