Baixe Sistemas de Equações Lineares: Matrizes e Soluções e outras Exercícios em PDF para Análise de Sistemas Lineares , somente na Docsity!
Enunciados dos exerc´ıcios do cap´ıtulo 1 — Matrizes
- Considere as matrizes A = [^12 −1 0 01 1 2^ ], B =
[ 1 0 0
0 2 00 0 3
]
, c =
[ 1
(^11)
]
, D =
[ 1 1
2 20 0
]
, e = [ 1 1 0 0 ], F = [ 1 20 3 ], g = [ 1 ], H = [ 1 00 1 ], J =
[ 0 0 0
0 0 00 0 0
]
, i = [ 0 ]. (a) Indique as matrizes retangulares e o seu tipo. (b) Indique as matrizes quadradas e a sua ordem. (c) Indique as matrizes linha. (d) Indique as matrizes coluna. (e) Indique as matrizes diagonais. (f) Indique as matrizes escalares. (g) Indique as matrizes triangulares superiores. (h) Indique as matrizes triangulares inferiores.
- Considere as matrizes A = [^ −1 10 1^ ], B = [bij ] ∈ M 2 × 2 (R), bij = 3i − j e C = [γij ] ∈ M 3 × 2 (R), γij = i^2. Indique se est˜ao bem definidas as seguintes express˜oes, efetuando nesses casos as respetivas opera¸c˜oes: (a) A + B. (b) B + A.
(c) A − C. (d) −C.
(e) (A − B) + 3A. (f) 4A − B.
- Sejam A uma matriz do tipo 2 × 3, B uma matriz de ordem 2 e C uma matriz do tipo 3 × 2. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A a express˜ao A + B est´a bem definida. B a express˜ao 2A − 3 B^2 est´a bem definida. C a express˜ao CBA est´a bem definida. D a express˜ao ABC est´a bem definida.
- Considere as matrizes A =
[ 1 0 − 2 1
1 11 2 (^) − 01 − (^21)
]
e B =
[ 1 2
0 12 1 2 1
]
. Determine AB.
- Considere as matrizes A = [^ −1 10 1^ ], B = [bij ] ∈ M 2 × 2 (R), bij = j e C = [ 1 1 01 2 1 ]. Indique se est˜ao bem definidas as seguintes express˜oes, efetuando nesses casos as respetivas opera¸c˜oes: (a) (AB)C. (b) A(BC). (c) CI 3. (d) I 2 C.
- Mostre que a multiplica¸c˜ao de matrizes ´e associativa.
- Seja B = [^12 −−^21 ]. Calcule: (a) B^2. (b) B^3.
- Sejam A e B matrizes de ordem 2. Mostre que tr(AB − BA) = 0.
- Seja X = [^ c da b^ ]^ ∈ M 2 × 2 (R). Mostre que X^2 = (a + d)X − (ad − bc)I 2.
- Mostre que as matrizes X =
[ 1 0 0
0 1 01 0 2
]
e Y =
[ 2 4 0
−^31 −4 11 0
]
s˜ao comut´aveis.
- Mostre que a multiplica¸c˜ao de matrizes n˜ao ´e comutativa.
- Considere as matrizes A = [ 0 10 1 ] e B = [^ −^10 −^10 ]. Mostre que: (a) (A + B)^2 6 = A^2 + 2AB + B^2. (b) (A − B)^2 6 = A^2 − 2 AB + B^2. (c) (A + B)(A − B) 6 = A^2 − B^2.
- Sejam A e B matrizes comut´aveis. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma pro- posi¸c˜ao verdadeira: A (A − B)^3 = A^3 + A^2 B − AB^2 − B^3. B (A − B)^3 = A^3 − A^2 B + AB^2 − B^3. C (A − B)^3 = A^3 + 3A^2 B − 3 AB^2 − B^3. D (A − B)^3 = A^3 − 3 A^2 B + 3AB^2 − B^3.
- Considere as seguintes proposi¸c˜oes: P 1 : “∀A ∈ M 2 × 2 (R) − { (^02) × 2 } [A^2 6 = 0 2 × 2 ].” P 2 : “∀A ∈ M 2 × 2 (R) − {−I 2 , I 2 } [A^2 6 = I 2 ].” Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A As duas proposi¸c˜oes s˜ao verdadeiras. B As duas proposi¸c˜oes s˜ao falsas. C A primeira proposi¸c˜ao ´e verdadeira e a segunda ´e falsa. D A primeira proposi¸c˜ao ´e falsa e a segunda ´e verdadeira.
- Sejam A e B matrizes comut´aveis e B ´e uma matriz invert´ıvel. Mostre que A e B−^1 s˜ao matrizes comut´aveis.
- Seja A uma matriz quadrada tal que Ap^ = 0 para algum p ∈ N. Mostre que
(I − A)−^1 = I +
p∑− 1 k=
Ak^.
- Sejam A e B matrizes quadradas da mesma ordem. Supondo que todas as inversas existem, mostre que (A−^1 + B−^1 )−^1 = A(A + B)−^1 B.
- Sejam X, Y ∈ Mn×m(R) tais que A = In + XY T^ ´e uma matriz invert´ıvel. Mostre que A−^1 = In − X(Im + Y T^ X)−^1 Y T^.
- Considere as matrizes A = [^ −^12 −1 01 1^ ], B = [bij ] ∈ M 2 × 3 (R), bij = i − j, C = [cij ] ∈ M 2 × 2 (R), cij =
{ 0 se i < j, ( 1 − 1)i+1^ sese ii > j, = j, e u =
[ 1
(^20)
]
. Calcule: (a) ABT+ 2 BAT. (b) CT.
(c) (CBATC)^2. (d) uuT.
(e) uTu. (f) uTATBu.
(g) (Au)T. (h) uTAT.
- Sejam A e B matrizes quadradas da mesma ordem n˜ao-singulares. Resolva em ordem a X a equa¸c˜ao matricial ((AT)−^1 X)T^ + (AB)−^1 = A.
- Sejam A e B matrizes invert´ıveis de ordem n tais que
A−^1 )T^ B
= In. Ent˜ao: A B = AT. B B = A.
C B = A−^1.
D B = (A−^1 )T.
- Seja A = [aij ] ∈ M 2 × 2 (R), aij =
{i se i 6 j, 0 se i > j. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A A^2 + AT^ = [ 2 31 6 ]. B A^2 + AT^ = [ 1 10 2 ].
C A^2 + AT^ = [ 2 26 6 ].
D A^2 + AT^ = [ 1 06 2 ].
- Uma matriz quadrada A diz-se antissim´etrica se AT^ = −A. Mostre que, dada qualquer matriz quadrada B, a matriz B − BT^ ´e antissim´etrica.
- Sejam A e B matrizes sim´etricas da mesma ordem. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A (AB)T^ = AB. B AT^ = B.
C A−^1 = B.
D (AB)T^ = BA.
- Considere as seguintes proposi¸c˜oes: P 1 : “O produto de duas matrizes sim´etricas da mesma ordem ´e uma matriz sim´etrica.” P 2 : “A soma de duas matrizes sim´etricas da mesma ordem ´e uma matriz sim´etrica.” Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A As duas proposi¸c˜oes s˜ao verdadeiras. B As duas proposi¸c˜oes s˜ao falsas. C A primeira proposi¸c˜ao ´e verdadeira e a segunda ´e falsa. D A primeira proposi¸c˜ao ´e falsa e a segunda ´e verdadeira.
- Indique quais das seguintes matrizes s˜ao ortogonais: (a) A = [^43 −^34 ]. (b) B = 15 [^43 −^34 ]. (^) (c) C = (^13)
[ 1 2 − 2
−2 12 2^21
]
- Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais da mesma ordem ´e uma matriz ortogonal.
- Seja x ∈ Mn× 1 (R) tal que xTx = I 1. Mostre que In − 2 xxT^ ´e uma matriz sim´etrica e ortogonal.
- Seja A =
[ 0 1 2
− − (^12) −0 33 0
]
. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verda- deira: A Pode-se calcular (A − 2 AT)^3. B A^2 = I 3.
C (A) 31 + (A) 13 = (A) 23.
D A ´e uma matriz ortogonal.
- Seja A = [aij ] ∈ M 3 × 3 (R), aij =
{(−1)i+j+1 2 j− (^1) se i < j, ( 0 − 1)i+1^ sese ii > j. = j^. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A A ´e uma matriz escalar. B A ´e uma matriz sim´etrica.
C A ´e uma matriz ortogonal. D A^2 = I 3.
- Aplique, para cada uma das seguintes matrizes, o “Algoritmo ATEsc” e o “Algoritmo ATEscRed” e indique quantas opera¸c˜oes elementares dos tipos I, II e III efetuou:
Defini¸c˜ao: Considere um grafo com n v´ertices. A matriz M = [mij ] ∈ Mn×n(R) definida por
mij =
1 se {Vi , Vj } ´e uma aresta do grafo 0 se n˜ao existe uma aresta que liga Vi e Vj
´e a matriz de adjacˆencia do grafo. Exemplo: A matriz de adjacˆencia do grafo G 1
M =
[ 0 1 0 0
1 0 1 10 1 0 1 0 1 1 0
]
Nota: A matriz de adjacˆencia M ´e sempre sim´etrica. Defini¸c˜ao: Um caminho num grafo ´e uma sequˆencia de arestas que ligam um v´ertice a outro. O comprimento do caminho ´e o n´umero de arestas que o formam. Exemplo: No grafo simples G 1 , a sequˆencia de arestas ({V 1 , V 2 }, {V 2 , V 4 }) repre- senta um caminho de comprimento 2 que liga V 1 a V 4 e a sequˆencia de arestas ({V 2 , V 3 }, {V 3 , V 2 }, {V 2 , V 3 }) representa um caminho de comprimento 3 que liga V 2 a V 3. Teorema: Sejam M = [mij ] ∈ Mn×n(R) uma matriz de adjacˆencia de um grafo e m( ijk )um elemento de Mk^. Ent˜ao, m( ijk )´e igual ao n´umero de caminhos de compri- mento k de Vi a Vj. Exemplo: Para determinar o n´umero de caminhos de comprimento 3 que ligam V 2 e V 3 no grafo simples G 1 , calcula-se M^3 :
M^3 =
[ 0 3 1 1
3 2 4 41 4 2 3 1 4 3 2
]
Conclui-se, ent˜ao, que o n´umero de caminhos de comprimento 3 que ligam V 2 e V 3 ´e m(3) 23 = 4. Exerc´ıcio 1: Considere o grafo com a representa¸c˜ao
V 1 V 4 V 5
V 2 V 3
b
b b b b
(a) Determine a matriz de adjacˆencia M do grafo. (b) Indique os caminhos de comprimento 2 que come¸cam em V 1. (c) Indique quantos caminhos de comprimento 3 existem de V 2 a V 4.
(d) Indique quantos caminhos de comprimento menor ou igual a 3 existem de V 2 a V 4. Exerc´ıcio 2: Seja M =
[ 0 1 1 1
1 0 1 01 1 0 1 1 0 1 0
]
(a) Desenhe um grafo que tenha M como matriz de adjacˆencia e indique os v´ertices. (b) Analisando o grafo e a matriz M^2 , indique o n´umero de caminhos de comprimento 2 de V 1 a V 3.
Enunciados dos exerc´ıcios do cap´ıtulo 2 — Determinantes
- Calcule o determinante das matrizes B = [^32 −^64 ], C =
[ 2 − 1 3
− 11 24 − (^20)
]
[ e^ D^ = (^22) − 31 −1 43 2 (^00 10) 20 32 1
]
- Calcule o determinante da matriz A =
[ 1 2 − 1 1
− 10 −− 11 20 − (^13) − 1 − 2 2 − 1
]
por dois processos distintos.
- Considere a matriz A =
[ 1 0 1
0 1 01 1 0
]
. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma pro- posi¸c˜ao verdadeira: A det(A) = 2. B det(A) = −2.
C det(A) = 0. D det(A) = −1.
- Considere as matrizes A = [ 1 12 1 ] e B =
[ 1 0 2
0 1 01 1 0
]
. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A |A| + |B| = −6. B |A| + |B| = −3.
C |A| + |B| = −1.
D |A| + |B| = 0.
- Seja A =
[ 1 2 0
(^0) 0 0 α (^) α− (^0) β
]
, α, β ∈ R. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A A ´e invert´ıvel sse α 6 = 0 e β 6 = 0. B A ´e invert´ıvel sse α 6 = 0 e β 6 = α.
C A ´e invert´ıvel sse α = 0 ou β = 0. D A ´e invert´ıvel sse β 6 = 0 e β 6 = α.
- Considere a matriz A =
[ (^) 1 1 x 1 1x y y 1
]
, x, y ∈ R. Indique para que valores de x e y a matriz A ´e invert´ıvel.
- Considere a matriz Z =
[ (^) x 1 1 (^1) 1 1 x (^1) x
]
, x ∈ R. Indique para que valores de x a matriz Z ´e invert´ıvel.
- Considere a matriz A =
[ 2 − 1 3 5
(^04) − (^11) −2 32 1 − 2 3 1 4
]
e seja B uma matriz de ordem 4 tal que |B| = 12. Calcule o determinante da matriz (AB−^1 )T.
- Sejam A uma matriz quadrada tal que det(A) = 2 e B = 2AT. Mostre que a matriz B ´e invert´ıvel.
- Considere a matriz A = [aij ] ∈ Mn×n(R), aij =
{i se i > j, 0 se i < j. Indique qual das se- guintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A det(A) = 0. B det(A) = 1.
C det(A) = n. D det(A) = n!.
- Considere a matriz A = [aij ] ∈ Mn×n(R), aij =
{ 2 se i 6 j, 0 se i > j. Indique qual das se- guintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A det(ATA) = 2n. B det(ATA) = 4n.
C det(ATA) = 1. D det(ATA) = 0.
- Sejam A, B ∈ M 2 × 2 (R) tais que det(A) = 2 e det(B) = −2. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A det(A + B) = 0. B det(−A) = − det(A).
C det(−A) = det(A). D det(AB) = 0.
- Considere a matriz A =
[ 2 3 4
0 1 10 0 1
]
. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma pro- posi¸c˜ao verdadeira: A det(AAT) det(A−^1 ) = 1. B det(AAT) det(A−^1 ) = 2.
C det(AAT) det(A−^1 ) = 4. D det(AAT) det(A−^1 ) = 8.
- Considere a matriz A =
[ 1 0 2 0
0 1 0 01 1 0 0 1 0 2 3
]
. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma pro- posi¸c˜ao verdadeira:
A det(A) = −6. B det(A) = −2.
C det(A) = 0. D det(A) = 2.
- Considere a matriz E =
[ 1 1 1
0 1 10 0 1
]
(a) Verifique que a matriz E ´e invert´ıvel. (b) Determine a inversa da matriz E pelo m´etodo da adjunta.
- Calcule o determinante das matrizes A = [^ −^41 −^14 ], Bα = [ cos sen^ αα^ −^ sencos^ αα ], α ∈ R, C =
[ 2 1 1
1 1 10 2 2
]
, D =
[ 0 − 1 2
− (^12) − (^23) − (^02)
]
, E =
[ 0 1 0 0
1 0 1 00 1 0 1 0 0 1 1
]
e F =
[ 2 3 3 2
1 1 1 11 2 2 3 2 1 2 1
]
- Calcule o determinante, a adjunta e a inversa das matrizes A = [ 3 21 1 ], B = [^13 −^21 ], C = [ 3 12 4 ] e D =
[ 1 3 1
−2 12 2^ −^11
]
- Sejam A, B ∈ Mn×n(R). Mostre que det(AB) = det(BA).
- Considere as matrizes A = [ 1 20 1 ], D = [ 11 ] e F = [ 2 3^ ] e a equa¸c˜ao matricial em X dada por ((AX)T^ + DF )−^1 = I 2. (a) Resolva a equa¸c˜ao dada. (b) Diga, sem efetuar quaisquer c´alculos, qual o determinante de (AX)T^ + DF.
- Sejam p ∈ N e A uma matriz quadrada tal que Ap^ = 0. Mostre que A ´e uma matriz singular.
- Seja A uma matriz ortogonal. Mostre que det(A) = ±1.
- Sejam γ, δ ∈ R. Sejam, ainda, as matrizes A =
[ (^1 2) γ δ 1 δ+ (^1) γ 12
]
e B =
[ (^1 2) γ δγ δγδγ +γ δ^2 2 γδ
]
Sabendo que |A| = 1, determine |B|.
- Neste exerc´ıcio vai-se apresentar uma aplica¸c˜ao de Criptografia envolvendo os con- ceitos introduzidos neste cap´ıtulo. Pode-se codificar uma mensagem associando a cada letra do alfabeto um n´umero inteiro e enviar a lista de n´umeros que substitui a mensagem. A teoria dos determi- nantes ´e usada neste contexto para o c´alculo de inversas com propriedades especiais. Exemplo: A mensagem “BOA SORTE!” pode ser codificada por 3 , 1 , 5 , 10 , 1 , 6 , 2 , 8 , 0 , onde a letra “B” ´e representado pelo algarismo “3”, a letra “O” pelo algarismo “1”, etc. (neste exemplo n˜ao se codifica o espa¸co).
- Seja (S) o sistema de equa¸c˜oes lineares cuja matriz dos coeficientes ´e A = [ 2 1 21 0 1 ] e cujo vetor dos termos independentes ´e b = [ 02 ]. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A CS(S) = {(2, − 4 , 0)}. B CS(S) = {(2 − α, − 4 , α) : α ∈ R}.
C CS(S) = ∅.
D CS(S) = {(2, − 4 , α) : α ∈ R}.
- Seja (S) o sistema de equa¸c˜oes lineares cuja matriz dos coeficientes ´e A =
[ 1 1 − 1
−1 10 1 − (^12)
]
e o vetor dos termos independentes ´e b =
[ 1
− (^13)
]
. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A A resolu¸c˜ao de (S) atrav´es do m´etodo de Gauss-Jordan envolve 0 opera¸c˜oes elementares do tipo I, 2 do tipo II e 5 do tipo III. B A resolu¸c˜ao de (S) atrav´es do m´etodo de Gauss-Jordan envolve 1 opera¸c˜ao elementares do tipo I, 2 do tipo II e 6 do tipo III. C A resolu¸c˜ao de (S) atrav´es do m´etodo de Gauss-Jordan envolve 0 opera¸c˜oes elementares do tipo I, 0 do tipo II e 7 do tipo III. D A resolu¸c˜ao de (S) atrav´es do m´etodo de Gauss-Jordan envolve 0 opera¸c˜oes elementares do tipo I, 1 do tipo II e 6 do tipo III.
- Seja (S) o sistema linear Ax = b de n equa¸c˜oes a n inc´ognitas tal que car(A) = n. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A # CS(S) = 0. B # CS(S) = 1.
C # CS(S) = 2.
D # CS(S) = ∞.
- Considere as seguintes proposi¸c˜oes: P 1 : “Um sistema homog´eneo ´e sempre poss´ıvel.” P 2 : “Um sistema com 5 equa¸c˜oes e 10 inc´ognitas pode ser poss´ıvel e determinado.” Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A As duas proposi¸c˜oes s˜ao verdadeiras. B As duas proposi¸c˜oes s˜ao falsas. C A primeira proposi¸c˜ao ´e verdadeira e a segunda ´e falsa. D A primeira proposi¸c˜ao ´e falsa e a segunda ´e verdadeira.
- Discuta os seguintes sistemas de equa¸c˜oes lineares Ax = b em fun¸c˜ao dos respetivos parˆametros reais:
(a) A =
[ (^) 1 1 α 3 42 3 (^) − (^21)
]
, b =
[ 2
α 1
]
(b) A =
[ 1 0 − 3
(^2) 1 2 k −k 1
]
, b =
[ − 3
− (^21)
]
(c) A =
[ 1 2 1 0
3 3 0 3 (^) − (^52) −c 3
]
, b =
[ 2
(^3) t
]
(d) A =
[ 1 2 2 0
0 2 1 11 0 1 a
]
, b =
[ 1
(^2) t
]
(e) A =
[ 1 2
− 21 − (^42 3) β
]
, b =
[ 1
(^23)
]
(f) A =
[ 1 2 1
−^2 1 1^ 5 3 γ
]
, b =
[ 0
(^00)
]
- Seja[ (^) 2 1 ( 0 S ) 1 o sistema de equa¸c˜oes lineares cuja matriz dos coeficientes ´e A = 3 33 0 (^) −k (^13) − (^52)
]
, k 1 ∈ R, e cujo vetor dos termos independentes ´e b =
[ 2
k^32
]
, k 2 ∈ R. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A se k 1 ∈ [0, 1] e k 2 ∈ [0, 1] o sistema (S) ´e imposs´ıvel. B se k 1 ∈ [1, 3] e k 2 ∈ [1, 2] o sistema (S) ´e poss´ıvel e indeterminado. C se k 1 ∈ [1, 2] e k 2 ∈ [2, 3] o sistema (S) ´e poss´ıvel e determinado. D se k 1 ∈ [0, 1] e k 2 ∈ [0, 1] o sistema (S) ´e poss´ıvel e indeterminado.
- Seja (S) o sistema de equa¸c˜oes lineares cuja matriz dos coeficientes ´e A =
[ 3 1 3 0 1
23 1 s^1 2 0 −4 0
]
s ∈ R, e cujo vetor dos termos independentes ´e b =
[ 11
t+^2 2
]
, t ∈ R. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A se s ∈ [1, 2] e t ∈ [2, 4] o sistema (S) poss´ıvel e determinado. B se s = 4 e t = −2 o sistema (S) ´e imposs´ıvel. C se s ∈ [1, 2] e t = −2 o sistema (S) ´e poss´ıvel e determinado. D se s ∈ [1, 2] e t ∈ [1, 2] o sistema (S) ´e poss´ıvel e indeterminado.
- Seja (S) o sistema de equa¸c˜oes lineares cuja matriz dos coeficientes ´e A = [ α 2 α^1 ], α ∈ R, e cujo vetor dos termos independentes ´e b = [ 21 ]. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A (S) ´e um sistema poss´ıvel e determinado sse α ∈ R − {√ 2 }. B (S) ´e um sistema poss´ıvel e determinado sse α = √2. C (S) ´e um sistema poss´ıvel e determinado sse α ∈ R − {−√ 2 , √ 2 }. D (S) ´e um sistema poss´ıvel e determinado sse α = √ 2 ∨ α = −√2.
- Seja (S) o sistema de equa¸c˜oes lineares cuja matriz dos coeficientes ´e A =
[ 1 2 4
0 10 0 (^) k 10 − 1
]
e cujo vetor dos termos independentes ´e b =
[ 1
2 k 22 +k 1
]
, k 1 , k 2 ∈ R. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira:
A se k 1 = 1, o sistema (S) ´e poss´ıvel e determinado. B se 2k 2 + k 1 = 0, o sistema (S) ´e poss´ıvel e indeterminado. C se k 1 ∈ [3, 4] e k 2 = 1, o sistema (S) ´e imposs´ıvel. D se k 1 = 1 e k 2 ∈ [3, 4], o sistema (S) ´e imposs´ıvel.
- Considere o sistema de equa¸[ (^) 2 3 c˜oes lineares (S) cuja matriz dos coeficientes ´e A = −5 7
] (^) e o vetor dos termos independentes ´e b = [ (^) − 1 2
].
(a) Mostre, sem o resolver, que o sistema de equa¸c˜oes lineares dado ´e poss´ıvel e determinado. (b) Resolva o sistema de equa¸c˜oes lineares dado atrav´es da Regra de Cramer.
- Considere o sistema de equa¸[ (^) 1 1 2 c˜oes lineares (S) cuja matriz dos coeficientes ´e A = 2 43 6 −− (^35)
]
e o vetor dos termos independentes ´e b =
[ 9
(^10)
]
(a) Mostre, sem o resolver, que o sistema de equa¸c˜oes lineares dado ´e poss´ıvel e determinado. (b) Resolva o sistema de equa¸c˜oes lineares dado atrav´es da Regra de Cramer.
- Indique quais das seguintes matrizes s˜ao invert´ıveis:
(a) A =
[ 1 0 − 1
−2 01 1^00
]
(b) B = [ 1 22 4 ].
(c) C =
[ − 1 2 − 3
(^24) − (^12 )
]
(d) D = [ 1 11 0 ].
(e) E =
[ 2 3 1
1 2 33 1 2
]
(f) F =
[ −2 3 5
−1 0 10 2 2
]
- Seja (S) o sistema de equa¸c˜oes lineares cuja matriz dos coeficientes ´e A =
[ 1 1
1 2 1 1 a 2 aa
]
e cujo vetor dos termos independentes ´e b =
[ 1
(^1) b
]
, a, b ∈ R. (a) Discuta (S) em fun¸c˜ao dos parˆametros a e b. (b) Resolva (S) atrav´es da Regra de Cramer para a = 2 e b = 1.
- Seja (S) o sistema de equa¸c˜oes lineares cuja matriz dos coeficientes ´e A =
[ 1 0 − 2
0 1a 0 −−β 1
]
e cujo vetor dos termos independentes ´e b =
[ 1
21 α
]
, α, β ∈ R. (a) Discuta (S) em fun¸c˜ao dos parˆametros α e β. (b) Seja (S′) o sistema homog´eneo associado a (S) para α = 12 e β = 1. Resolva-o.
- Determine a equa¸c˜ao da par´abola que passa nos pontos (1, 2), (− 1 , 6) e (2, 3).
- Seja (S) o sistema n˜ao linear com inc´ognitas reais α, β e γ dado por
2 sen α − cos β + 3 tan γ = 3 4 sen α + 2 cos β − 2 tan γ = 10 6 sen α − 3 cos β + tan γ = 9. Mostre que, neste caso, ´e poss´ıvel concluir que (S) ´e imposs´ıvel recorrendo ao m´etodo de Gauss.
- Considere a matriz A =
[ 1 1 0
1 0 10 1 1
]
(a) Calcule A−^1. (b) Mostre que o sistema Ax = b ´e poss´ıvel e determinado, qualquer que seja o vetor dos termos independentes b ∈ M 3 × 1 (R). (c) Usando a al´ınea (a), resolva o sistema Ax = b, em que b = [bi ] ∈ M 3 × 1 (R), bi = i.
- Determine, por dois processos distintos, para que valores de[ (^) α 1 1 α ∈ R a matriz A = (^1) 1 1 α (^) α 1
]
´e invert´ıvel.
- Neste exerc´ıcio vai-se apresentar uma aplica¸c˜ao de Circuitos el´etricos envolvendo os conceitos introduzidos neste cap´ıtulo por forma a determinar a corrente em cada trecho de um circuito el´etrico atrav´es das leis de Kirchhoff. Considere o seguinte circuito el´etrico: 8V
9V
4Ω 2Ω
3Ω 2Ω
i 1 H
◭ i 3
A • ◮ i 2 • B
A bateria, medida em volt (V), gera uma carga que produz uma corrente. A corrente sai da bateria do lado que cont´em a reta vertical mais longa. As resistˆencias s˜ao medidas em ohm (Ω). As letras mai´usculas representam os n´os do circuito el´etrico. A letra i representa a corrente entre os n´os e as setas indicam o sentido de fluxo, mas se i for negativa, ent˜ao a corrente flui no sentido oposto ao indicado. As correntes s˜ao medidas em ampere. Para determinar as correntes, recorre-se `as leis de Kirchhoff :
(e) v 1 = (1, −1), v 2 = (− 1 , 1). (f) v 1 = (1, −1), v 2 = (0, 1), v 3 = (2, −1).
- Sejam u = (1, 2 , −4), v = (2, 5 , −6), w = (1, − 1 , −10), r = (1, 0 , α), α ∈ R. (a) Escreva o vetor w como combina¸c˜ao linear de u e v. (b) Indique para que valores de α o vetor r ´e uma combina¸c˜ao linear de u e v.
- Sejam a = (− 1 , 2 , −3), b = (3, 4 , 2) e d = (− 9 , − 2 , 5). Mostre que d /∈ 〈a, b〉.
- Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A (1, 0 , 0) ∈ 〈(1, 0), (0, 0)〉. B (1, 0 , 0) ∈ 〈(2, 1 , 0), (0, 1 , 0)〉.
C (1, 0 , 0) ∈ 〈(1, 2 , 3), (2, 4 , 6)〉.
D (1, 0 , 0) ∈ 〈(0, 0 , 0), (0, 1 , 1)〉.
- Indique quais dos seguintes conjuntos de vetores s˜ao conjuntos geradores de R^2 :
(a) A = {(1, 0), (0, 1)}. (b) B = {(1, 2), (− 1 , 0)}. (c) C = {(1, 0), (0, 1), (1, 3)}.
(d) D = {(1, 2)}. (e) E = {(1, 2), (2, 4), (− 1 , −2)}. (f) F = {(1, −1), (− 2 , 2)}.
- Seja X = {(1, 0 , α), (α, β, β), (1, 0 , 0), (0, 0 , 1)}, α, β ∈ R. Indique para que valores de α e β o conjunto X ´e um conjunto gerador de R^3.
- Indique um conjunto gerador de V = 〈(1, 3 , 2), (1, 0 , 2), (0, 1 , 0), (2, 2 , 4)〉 com o n´umero m´ınimo de elementos.
- Indique um conjunto gerador de V = 〈(1, − 3 , 1 , − 1 , 3), (1, − 1 , 1 , − 1 , 1), (− 1 , − 3 , − 1 , 1 , 3), (1, 1 , 1 , − 1 , −1)〉 com o n´umero m´ınimo de elementos.
- Indique quais dos seguintes conjuntos de vetores s˜ao conjuntos linearmente indepen- dentes: (a) A = {(3, 1), (4, 2)} em R^2. (b) B = {(3, 1), (4, −2), (7, 2)} em R^2. (c) C = {(0, − 3 , 1), (2, 4 , 1), (− 2 , 8 , 5)} em R^3. (d) D = {(− 1 , 2 , 0 , 2), (5, 0 , 1 , 1), (8, − 6 , 1 , −5)} em R^4.
- Indique para que valores do parˆametro real α, os vetores a = (1, −2) e b = (α, −1) s˜ao linearmente independentes.
- Sejam v 1 = (α 1 , β 1 , 1) e v 2 = (α 2 , β 2 , 0), α 1 , α 2 , β 1 , β 2 ∈ R. Indique para que valores de α 1 , α 2 , β 1 e β 2 os vetores v 1 e v 2 s˜ao linearmente independentes.
- Considere o espa¸co vetorial R^3 e um seu subespa¸co X = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R^3 : x 1 = x 2 }. (a) Determine dois vetores linearmente independentes u e v de X. (b) Mostre que qualquer vetor w ∈ X ´e uma combina¸c˜ao linear de u e v.
- Sejam V um espa¸co vetorial e {v 1 , v 2 , v 3 } um conjunto de vetores de V linearmente independente. Mostre que os seguintes conjuntos tamb´em s˜ao linearmente indepen- dentes: (a) {v 1 + v 2 }. (b) {v 1 , v 1 + v 2 }.
(c) { 2 v 1 , v 1 + v 2 , −v 1 + v 3 }. (d) {v 1 + v 2 , v 1 + v 3 , v 2 + v 3 }.
- Averig´ue quais dos seguintes conjuntos de vetores s˜ao bases de R^2 : (a) A = {(1, 1), (3, 0)}. (b) B = {(1, 1), (0, 2), (2, 3)}.
(c) C = {(1, 1), (0, 8)}. (d) D = {(1, −2), (− 2 , 4)}.
- Indique para que valores de α o conjunto {(α, 6), (1, α)} ´e uma base de R^2.
- Considere o subespa¸co F = {(x, y , z, w ) ∈ R^4 : x = z = w } de R^4. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A {(1, 0 , 1 , 1), (0, 1 , 0 , 0)} ´e uma base de F. B {(1, 1 , 1 , 1), (0, 1 , 1 , 0)} ´e uma base de F. C {(1, 0 , 1 , 1), (0, 0 , 1 , 0)} ´e uma base de F. D {(1, 0 , 1 , 1), (0, 1 , 0 , 1)} ´e uma base de F.
- Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A {(1, 1 , 0), (0, 0 , 0)} ´e uma base de R^2. B {(1, 1 , 0), (0, 0 , 1)} ´e uma base de R^2. C {(1, 1), (0, 0)} ´e uma base de R^2. D {(1, 1), (2, 3)} ´e uma base de R^2.
- Seja B = ((1, 1 , 1), (0, 1 , 1), (1, 0 , 1)). (a) Mostre que B ´e uma base ordenada de R^3. (b) Determine as coordenadas de z = (0, 1 , 0) na base ordenada B.
- Sejam z = (1, 1 , 0) e B = ((1, 0 , 1), (0, 1 , 1), (1, 0 , 0)) uma base ordenada de R^3. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira:
A [z]B = (1, 1 , 2). B [z]B = (− 1 , − 1 , 2).
C [z]B = (1, − 1 , −2). D [z]B = (− 1 , 1 , 2).
- Seja X = {(a, 0 , a) : a ∈ R} um subespa¸co de R^3. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A dim(X) = 0. B dim(X) = 1.
C dim(X) = 2. D dim(X) = 3.
- Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira:
A dim(R^2 ) + dim(R^5 ) = 2. B dim(R^2 ) + dim(R^5 ) = 5.
C dim(R^2 ) + dim(R^5 ) = 7. D dim(R^2 ) + dim(R^5 ) = 14.
- Determine uma base e a dimens˜ao do subespa¸co R^4 dado por F = {(x, y , z, w ) ∈ R^4 : x − y + 3z = 0 ∧ z − 2 w = 0}.
- Sejam F = {(x, y , z) ∈ R^3 : z = 0}, u 1 = (0, 2 , 0), u 2 = (1, 0 , 0) e u 3 = (− 1 , 6 , 0). (a) Mostre que F ´e um subespa¸co de R^3. (b) Verifique que F = 〈u 1 , u 2 , u 3 〉. (c) O conjunto {u 1 , u 2 , u 3 } ´e uma base de F? (d) Indique a dimens˜ao de F.
- Sejam V um espa¸co vetorial, v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ∈ V , A = {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 }, B = {v 1 } e {v 1 , v 2 } uma base de V. (a) A ´e um conjunto gerador de V? (b) A ´e constitu´ıdo por vetores linearmente independentes? (c) B ´e um conjunto gerador de V? (d) B ´e constitu´ıdo por vetores linearmente independentes? (e) Seja C um subconjunto de V que gera V. Que pode dizer sobre o n´umero de vetores de C? (f) Seja D um subconjunto de V constitu´ıdo por vetores linearmente independentes. Que pode dizer sobre o n´umero de vetores de D? (g) Em que condi¸c˜oes ´e que E = {v 1 , v 4 } ´e um conjunto gerador de V?
- Sejam V um espa¸co vetorial e u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ∈ V tais que V = 〈u 1 , u 2 , u 3 〉, {u 1 , u 2 } ´e um conjunto linearmente independente, u 3 = 2u 1 e u 4 = u 1 +u 2. Indique, justificando, o valor l´ogico das seguintes as proposi¸c˜oes:
P 1 : {u 1 , u 2 , u 3 } ´e um conjunto linearmente independente. P 2 : {u 3 } ´e um conjunto linearmente independente. P 3 : V = 〈u 2 , u 3 , u 4 〉. P 4 : dim(V ) = 3. P 5 : {u 2 , u 4 } ´e uma base de V.
- Sejam {v 1 , v 2 } uma base do espa¸co vetorial V e F um subespa¸co de V. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira:
A {v 1 , v 2 } ´e uma base de F. B dim(V ) = dim(F ).
C se v ∈ V , ent˜ao v ∈ F. D se v ∈ F , ent˜ao v ∈ V.
- Seja X um espa¸co vetorial tal que X = 〈x 1 , x 2 〉. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A dim(X) = 2. B X = R^2. C ∀x ∈ X, ∃α 1 , α 2 ∈ R [x = α 1 x 1 + α 2 x 2 ]. D {x 1 , x 2 } ´e uma base de X.
- Considere os seguintes vetores de R^3 : u = (1, 2 , 0), v = (2, 0 , 1), w = (1, 1 , 1), x = (0, 0 , 0) e y = (2, 4 , 0). Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A v , w e x s˜ao vetores linearmente independentes. B R^3 = 〈w , x, y 〉. C {u, w , y } ´e uma base de R^3. D u ´e uma combina¸c˜ao linear de x e y.
- Seja V um espa¸co vetorial tal que V = 〈v 1 , v 2 〉. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira:
A dim(V ) 6 2. B dim(V ) < 2.
C dim(V ) > 2. D dim(V ) > 2.
(a) Determine as matrizes associadas `as transforma¸c˜oes lineares dadas. (b) Para as seguintes opera¸c˜oes, indique as que est˜ao bem definidas, e determine, para esses casos, a respetiva matriz da transforma¸c˜ao linear: i. T + αS, α ∈ R. ii. U ◦ U. iii. S ◦ T. iv. T ◦ S. v. U ◦ U + α(T ◦ S), α ∈ R.
- Sejam S e T duas transforma¸c˜oes lineares definidas por
S : R^2 −→ R^2 (x, y ) 7 −→ (2x + y , −y ) e^
T : R^2 −→ R^2
(x, y ) 7 −→ (x, x + y ). Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A AT ◦S = [^ −^31 −^11 ]. B AT ◦S = [^31 −−^11 ].
C AT ◦S = [^22 −^10 ].
D AT ◦S = [ 2 12 0 ].
- Sejam S, T ∈ L(R^2 , R^2 ), S(x, y ) = (−y , x) e T (x, y ) = (y , 0). Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A AS◦T = [^00 −^01 ]. B AS◦T = [ 0 00 1 ].
C AS◦T = [^00 −^11 ].
D AS◦T = [^00 −^10 ].
- Determine a imagem e o n´ucleo das seguintes transforma¸c˜oes lineares de R^3 em R^3 :
(a) T 1 : R^3 −→ R^3 , T 1 (x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 3 , x 2 , x 1 ). (b) T 2 : R^3 −→ R^3 , T 2 (x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 , x 2 , 0). (c) T 3 : R^3 −→ R^3 , T 3 (x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 , x 1 , x 1 ).
- Para cada uma das al´ıneas seguintes, determine a fun¸c˜ao T sabendo que ´e uma transforma¸c˜ao linear definida por: (a) T (1, 0) = (− 1 , 1 , 2) e T (0, 1) = (3, 0 , 1). (b) T (1, 2) = (3, − 1 , 5) e T (0, 1) = (2, 1 , −1). (c) T (1, 1 , 1) = 3, T (0, 1 , −2) = 1 e T (0, 0 , 1) = −2.
- Seja T ∈ L(R^3 , R^3 ) tal que T (0, 0 , 1) = (0, 0 , 1) e Nuc(T ) = 〈(1, 1 , 1), (0, 1 , 1)〉. Determine T.
- Determine a imagem, a caracter´ıstica, o n´ucleo, a nulidade e a matriz das seguintes transforma¸c˜oes lineares: (a) T 1 : R^2 −→ R, T 1 (x, y ) = x + y. (b) T 2 : R^3 −→ R^2 , T 2 (x, y , z) = (x + y + z, 2 x + 2y + 2z). (c) T 3 : R^3 −→ R^3 , T 3 (x, y , z) = (x − z, 0 , y − 2 z). (d) T 4 : R^4 −→ R^3 , T 4 (x, y , z, w ) = (x − y , z − w , x − 3 w ).
- Seja a transforma¸c˜ao linear T de R^3 em R^3 definida por T (x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 −x 2 , 2 x 2 − x 1 − x 3 , x 3 − x 2 ). (a) Determine uma base do n´ucleo de T. (b) Determine a dimens˜ao do n´ucleo de T.
- Sejam T ∈ L(Rn) e S = {u 1 ,... , uk } ⊂ Rn^ um conjunto linearmente dependente. Mostre que {T (u 1 ),... , T (uk )} tamb´em ´e um conjunto linearmente dependente.
- Seja T ∈ L(R^3 , R^3 ), T (x, y , z) = (x − 2 y − 2 z, x − 2 z, − 2 x + 4z). Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A Im(T ) = R^3. B Im(T ) = 〈(− 2 , 0 , 0)〉.
C Im(T ) = 〈(1, 1 , −2), (− 2 , − 2 , 4)〉. D Im(T ) = 〈(1, 1 , −2), (− 2 , 0 , 0)〉.
- Seja T ∈ L(R^3 , R^3 ), T (x, y , z) = (x − 2 y − 2 z, x − 2 z, − 2 x + 4z). Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A Nuc(T ) = 〈(1, 1 , −2), (− 2 , 0 , 0), (− 2 , − 2 , 4)〉. B Nuc(T ) = {(0, 0 , 0)}. C Nuc(T ) = 〈(2, 0 , 1)〉. D Nuc(T ) = R^3.
- Seja T ∈ L(R^2 , R^3 ), T (a, b) = (a + b, 0 , a + b). Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A Nuc(T ) ⊆ R^3 e cT = 1. B Im(T ) = 〈(1, 0 , 1)〉 e nT = 1.
C Nuc(T ) = 〈(1, 0)〉 e cT = 1. D cT + nT = 3.
- Seja T ∈ L(R^2 , R^3 ), T (x, y ) = (−x − y , − 2 x − 2 y , − 3 x − 3 y ). Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A Im(T ) = 〈(1, 2 , 3)〉.
B Im(T ) = 〈(− 1 , − 1 , −1), (− 2 , − 2 , −2), (− 3 , − 3 , −3)〉. C Im(T ) = 〈− 1 , − 2 , − 3 〉. D Im(T ) = R^3.
- Seja T ∈ L(R^3 , R^2 ), T (x, y , z) = (x + z, 0). Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A Nuc(T ) = 〈(− 1 , 0 , 1), (0, 1 , 0)〉. B Nuc(T ) = 〈(− 1 , 0 , 1)〉.
C Nuc(T ) = 〈(0, 1 , 0)〉. D Nuc(T ) = R^3.
- Seja T ∈ L(R^3 , R^2 ), T (x, y , z) = (0, x − z). Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A Nuc(T ) = 〈(1, 0 , 0), (0, 0 , 1)〉. B Nuc(T ) = 〈(1, 0 , 1), (0, 1 , 0)〉.
C Nuc(T ) = 〈(1, 0 , 1)〉. D Nuc(T ) = R^3.
- Seja AT = [ 1 2 22 0 4 ] a matriz de uma transforma¸c˜ao linear T. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A T (x, y , z) = (x + 2y + 2z, 2 x + 4z). B Im(T ) = 〈(1, 2), (2, 4)〉.
C cT = 1. D T ∈ L(R^2 , R^3 ).
- Seja T : R^3 → R^3 , T (x, y , z) = (x, 0 , z). Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A Im(T ) = 〈(1, 0 , 0), (0, 1 , 0), (0, 0 , 1)〉 e nT = 1. B Im(T ) = 〈(1, 0 , 0), (0, 0 , 1)〉 e nT = 2. C Nuc(T ) = 〈(0, 1 , 0)〉 e cT = 2. D Nuc(T ) = 〈(0, 1 , 0), (0, 0 , 1)〉 e cT = 2.
- Seja a transforma¸c˜ao linear T : R^2 → R^3 , T (x, y ) = (x + y , y − x, 2 x). Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A dim(Im(T )) = 0. B dim(Im(T )) = 1.
C dim(Im(T )) = 2. D dim(Im(T )) = 3.
- Seja T ∈ L(R^2 , R^2 ) tal que T (1, 0) = (2, 1) e T (0, 1) = (0, 1). Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira:
A T (x, y ) = (2x, x + y ). B T (x, y ) = (x + 2, y + 1).
C T (x, y ) = (2x, y ). D T (x, y ) = (x, 2 y ).
- Seja T ∈ L(R^2 , R^3 ) tal que T (1, 0) = (0, 1 , 1) e Nuc(T ) = 〈(0, 1)〉. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A T (x, y ) = (0, x, x). B T (x, y ) = (0, y , y ).
C T (x, y ) = (x, y , y ). D T (x, y ) = (y , x, x).
- Seja T ∈ L(R^4 , R^3 ). Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verda- deira: A nT + cT = 3. B nT + cT = 4.
C nT + cT = 7. D nT + cT = 1.
Enunciados dos exerc´ıcios do cap´ıtulo 6 — Valores e Ve-
tores Pr´oprios
- Determine o espetro das seguintes matrizes, bem como os espa¸cos pr´oprios associados aos seus valores pr´oprios: (a) A = [ 1 42 3 ]. (b) B = [^12 −−^11 ].
(c) C =
[ 1 −3 3
36 −−5 36 4
]
(d) D =
[ 3 0 − 1
−0 21 0^03
]
(e) E =
[ 1 2 1
−2 01 2^ −^23
]
(f) F =
[ 4 0 1
− −2 1 02 0 1
]
- Considere a matriz A =
[ (^) α 0 0 (^1) 1 1 α (^) α 0
]
, α ∈ R. Calcule os valores pr´oprios de A e os respetivos espa¸cos pr´oprios.
- Considere a matriz A = [ 0 33 0 ]. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira: A 0 ´e um valor pr´oprio de multiplicidade dois da matriz A. B 0 ´e um valor pr´oprio simples da matriz A. C 3 ´e um valor pr´oprio de multiplicidade dois da matriz A. D 3 ´e um valor pr´oprio simples da matriz A.
- Considere a matriz A =
[ 3 0 1
0 5 01 0 0
]
. Indique qual das seguintes hip´oteses ´e uma pro- posi¸c˜ao verdadeira:
(a) A = [ 1 01 1 ]. (^) (b) B =^ [^ −^056 −− 1169 −−−^464 ]. (c) C =^ [^ −^212 −−^234 −^113 ].
- Seja A ∈ Mn×n(R). Mostre que λ(A) = λ(AT).
- Seja A ∈ M 2 × 2 (R).
(a) Mostre que ΠA(λ) = λ^2 − tr(A)λ + det(A). (b) Determine o espetro de A sabendo que tr(A) = 8 e det(A) = 12.
- Seja T ∈ L(Rn, Rn). Indique o valor l´ogico das seguintes proposi¸c˜oes:
(a) a matriz AT ´e invert´ıvel sse CS(AT x=0) = { 0 }. (b) a matriz AT ´e invert´ıvel sse ∀b ∈ Rn^ [# CS(AT x=b) = 1]. (c) a matriz AT ´e invert´ıvel sse det(AT ) 6 = 0. (d) a matriz AT ´e invert´ıvel sse Im(T ) = Rn. (e) a matriz AT ´e invert´ıvel sse as colunas da matriz AT s˜ao linearmente indepen- dentes. (f) a matriz AT ´e invert´ıvel sse as linhas da matriz AT s˜ao linearmente independentes. (g) a matriz AT ´e invert´ıvel sse as colunas da matriz AT geram Rn. (h) a matriz AT ´e invert´ıvel sse as linhas da matriz AT geram Rn. (i) a matriz AT ´e invert´ıvel sse as colunas da matriz AT formam uma base de Rn. (j) a matriz AT ´e invert´ıvel sse as linhas da matriz AT formam uma base de Rn. (k) a matriz AT ´e invert´ıvel sse nT = 0. (l) a matriz AT ´e invert´ıvel sse cT = n. (m) a matriz AT ´e invert´ıvel sse 0 ∈/ λ(AT ).
- Determine[ (^) 1 1 a e b de modo que (1, 1) e (1, 0) sejam vetores pr´oprios da matriz A = a b
].
- A ∈ Mn×n(R) diz-se idempotente se A^2 = A. Mostre que, se λ ´e um valor pr´oprio de uma matriz idempotente, ent˜ao λ tem que ser igual a 0 ou 1.
- Sejam A ∈ Mn×n(R) e B = A − αIn, α ∈ R. Explicite a rela¸c˜ao entre os valores pr´oprios de A e B.
- Neste exerc´ıcio vai-se apresentar uma aplica¸c˜ao a problemas de misturas envolvendo os conceitos introduzidos neste cap´ıtulo. Os valores e vetores pr´oprios podem ser usados para determinar as solu¸c˜oes de alguns sistemas de equa¸c˜oes diferenciais.
Considere o seguinte sistema de equa¸c˜oes diferenciais lineares de primeira ordem com coeficientes constantes:
y 1 ′ :=: d dyt^1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 y 2 ′ :=: d dyt^2 = a 21 y 1 + a 22 y 2.
Sejam y = [ y y^12 ], y ′^ =
[ (^) y 1 ′ y 2 ′
]
e A = [ a a^1121 aa^1222 ]. Ent˜ao, o sistema pode ser escrito na forma y ′^ = Ay : [y ′ 1 y 2 ′
]
[a 11 a 12 a 21 a 22
] [y 1 y 2
]
Se A tem dois valores pr´oprios reais distintos λ 1 e λ 2 com vetores pr´oprios v 1 e v 2 associados a λ 1 e λ 2 respetivamente, ent˜ao a solu¸c˜ao geral do sistema de equa¸c˜oes diferenciais considerado ´e y (t) = c 1 exp(λ 1 t)v 1 + c 2 exp(λ 2 t)v 2 , c 1 , c 2 ∈ R. Se al´em disso impusermos que y (t) assume um determinado valor y 0 quando t = 0, ent˜ao o problema vai ter uma ´unica solu¸c˜ao. Um problema da forma y ′^ = Ay , y (0) = y 0 ´e designado por problema com condi¸c˜oes iniciais. Problema de misturas Dois tanques est˜ao ligados como ilustrado na figura seguinte:
tanque A tanque B
mistura 5L/min ←−
´agua 15L/min −→
mistura 20L/min
−→ mistura 15L/min
−→
Inicialmente, o tanque A cont´em 200 litros de ´agua, onde foram dissolvidos 60 gramas de sal. O tanque B cont´em 200 litros de ´agua pura. Bombeia-se l´ıquido para dentro
e para fora dos dois tanques a taxas indicadas na figura. Pretende-se determinar a quantidade de sal no instante t. Sejam y 1 (t) e y 2 (t) a quantidade de sal em gramas nos tanques A e B, respetiva- mente, no instante de tempo t. Inicialmente, tem-se
y (0) =
[y 1 (0) y 2 (0)
]
[ 60
]
A quantidade total de l´ıquido em cada tanque ´e sempre 200 litros, porque a quantidade de l´ıquido bombeada para dentro ´e igual a quantidade bombeada para fora em cada tanque. A taxa de varia¸c˜ao da quantidade de sal em cada tanque ´e iguala taxa em que est´a sendo adicionado sal menos a taxa em que est´a sendo bombeado para fora. Para o tanque A, a taxa em que o sal est´a a ser adicionado ´e dada por
(5 L/min)
( (^) y 2 (t) 200 g/L
= y^240 (t )g/min
e a taxa de sal que est´a sendo bombeada para fora ´e
(20 L/min)
( (^) y 1 (t) 200 g/L
= y^110 (t )g/min.
Ent˜ao, a taxa de varia¸c˜ao para o tanque A ´e dada por
y 1 ′(t) = y^240 (t )− y^110 (t ).
Analogamente, a taxa de varia¸c˜ao para o tanque B ´e dada por
y 2 ′(t) =^20200 y^1 (t )− 20200 y^2 (t )= y^110 (t )− y^210 (t ).
Para determinar y 1 (t) e y 2 (t), precisamos de resolver o problema com condi¸c˜oes iniciais
y ′^ = Ay , y (0) = y 0 ,
onde A =
[ − 101 401
101 −^101
]
e y 0 = [ 600 ]. Calculando os valores pr´oprios de A, obt´em-se λ 1 = − 203 e λ 2 = − 201 com vetores pr´oprios associados v 1 = (1, −2) e v 2 = (1, 2). A solu¸c˜ao deste problema ´e da forma
y = c 1 exp
− 203 t
v 1 + c 2 exp
− 20 t
v 2.
No instante t = 0, y = y 0 , logo
c 1 v 1 + c 2 v 2 = y 0 ,
ou, escrito de outra forma [ (^1 ) − 2 2
] [c 1 c 2
]
[ 60
]
Podemos calcular o valor das constantes c 1 e c 2 resolvendo o sistema associado `a ´ultima equa¸c˜ao. A solu¸c˜ao ´e c 1 = c 2 = 30. Conclui-se que a solu¸c˜ao do problema de valor inicial ´e y = 30 exp
− 203 t
) [ 1
]
− 20 t
) [ 1
]
que pode ser reescrita da forma y (t) =
[y 1 (t) y 2 (t)
]
[ (^) 30 exp(− 3 −60 exp(− 203 t) + 30 exp(−^20 t^ ) 20 t) + 60 exp(−^20 t )
]
Dois tanques contˆem, cada um, 100 litros de uma mistura. A mistura no tanque A cont´em 40 gramas de sal e a mistura no tanque B cont´em 20 gramas de sal. Bombeia-se l´ıquido para dentro e para fora dos tanques de acordo com a seguinte figura:
tanque A tanque B
mistura 4L/min ←−
´agua 12L/min −→
mistura 16L/min
−→ mistura 12L/min
−→
Determine a quantidade de sal em t = 1min.
Enunciados dos exerc´ıcios do cap´ıtulo 7 — Geometria
Anal´ıtica
- Sejam os vetores x = (0, − 1 , 1), y = (2, 0 , 3) ∈ R^3. (a) Determine x × y e y × x.
- (a) A + B = [ 1 25 5 ]. (b) B + A = [ 1 25 5 ]. (c) A express˜ao A − C n˜ao est´a bem definida (pois as matrizes A e C n˜ao s˜ao do mesmo tipo). (d) −C =
[ − 1 − 1
− − 49 −− (^49)
]
(e) (A − B) + 3A = [^ − −6 35 0^ ]. (f) 4A − B = [^ − −6 35 0^ ].
- C.
- AB =
[ −1 1
−3 11 4
]
- (a) (AB)C = [ 0 0 03 5 2 ]. (b) A(BC) = [ 0 0 03 5 2 ].
(c) CI 3 = [ 1 1 01 2 1 ]. (d) I 2 C = [ 1 1 01 2 1 ].
- —
- (a) B^2 = [^ −^30 −^03 ]. (b) B^3 = [^ − −3 66 3^ ].
- —
- —
- —
- —
- (a) (A + B)^2 = [ 1 00 1 ] 6 = A^2 + 2AB + B^2 = [ 1 20 1 ]. (b) (A − B)^2 = [ 1 40 1 ] 6 = A^2 − 2 AB + B^2 = [ 1 20 1 ]. (c) (A + B)(A − B) = [^ −^10 −^21 ]^6 = A^2 − B^2 = [^ −1 00 1^ ].
- D.
- B.
- —
- —
- —
- —
- (a) ABT+ 2 BAT= [^ − −^11 −^11 ]. (b) CT^ = [^10 −^11 ]. (c) (CBATC)^2 = [ 2 00 2 ]. (d) uuT^ =
[ 1 2 0
2 4 00 0 0
]
(e) uTu = [ 5 ]. (f) uTATBu = [ − 2 ]. (g) (Au)T^ = [ 1 0 ]. (h) uTAT^ = [ 1 0 ].
- X = (A^2 − B−^1 )T.
- A.
- A.
- —
- D.
- D.
- B e C.
- —
- —
- A.
- D.
- (a)
[ 1 0 0 2 0
0 0 10 0 0 (^) −0 02 1 0 0 0 0 2
]
∈ fe(A), I: 0, III: 2, fer(A) =
[ 1 0 0 0 0
0 0 1 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 1
]
, I: 0, II: 2, III: 4.
(b)
[ 6 3 − 4
0 3 0 0 − (^2630)
]
∈ fe(B), I: 0, III: 3, fer(B) =
[ 1 0 79
0 1 0 0 − (^2690)
]
, I: 0, II: 2, III: 4.
(c)
[ 1 1 0 2 0
0 0 2 0 40 0 0 1 5 0 0 0 0 0
]
∈ fe(C), I: 2, III: 1, fer(C) =
[ 1 1 0 0 − 10
0 0 1 00 0 0 1 (^25) 0 0 0 0 0
]
, I: 2, II: 1, III: 2.
(d)
[ 1 − 2 3 − 1
00 30 − 47 4 3 −^103
]
∈ fe(D), I: 0, III: 3, fer(D) =
[ 1 0 0 157
0 1 0 − (^47) 0 0 1 − (^107)
]
, I: 0, II: 2, III: 6.
(e)
[ 1 3 −1 2
0 11 0 0 −5 30 0 0 0 0 0
]
∈ fe(E), I: 0, III: 4, fer(E) =
[ 1 0 1141311
0 1 0 0 − (^1150 ) 0 0 0 0
]
, I: 0, II: 1, III: 5.
(f)
[ 1 2 − 1 2 1
0 0 3 − 6 1 0 0 0 − (^2 )
]
∈ fe(F ), I: 0, III: 3, fer(F ) =
[ 1 2 0 0 43
0 0 1 0 0 0 0 0 1 − (^16)
]
, I: 0, II: 2, III: 6.
(g) G ∈ fe(G), I: 0, III: 0, fer(G) =
[ 1 0 0 0
0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0
]
, I: 0, II: 1, III: 1.
(h)
[ 1
(^00)
]
∈ fe(h), I: 0, III: 2, fer(h) =
[ 1
(^00)
]
, I: 0, II: 0, III: 2.
(i)
[ −1 1 −1 3
0 40 0 −−4 83 3
]
∈ fe(I), I: 0, III: 3, fer(I) =
[ 1 0 0 − 1
0 1 00 0 1 (^) − (^11)
]
, I: 0, II: 3, III: 6.
(j)
[ 1 − 1 0 0
00 10 − (^11) − (^01) 0 0 0 0
]
∈ fe(J), I: 0, III: 3, fer(J) =
[ 1 0 0 − 1
0 1 00 0 1 −− (^11) 0 0 0 0
]
, I: 0, II: 0, III: 5.
32. D.
- (a) A ´e invert´ıvel com A−^1 =
[ 0 12
0 12 1 − 1 12 0
]
(b) B n˜ao ´e invert´ıvel. (c) C ´e invert´ıvel com C−^1 =
[ − 5 4 − 3
108 −− (^76 )
]
(d) D ´e invert´ıvel com D−^1 = [^01 −^11 ]. (e) E ´e invert´ıvel com E−^1 =
[ 181 − 185 187
187 181 −^185 − 185 187 181
]
(f) F n˜ao ´e invert´ıvel.
- (a) bTA = [ 3 2 − 1 ]. (b) A express˜ao AbT^ n˜ao est´a bem definida pois o n´umero de colunas da matriz A, que ´e 3, ´e diferente do n´umero de linhas da matriz bT, que ´e 1. (c) cTA + dTA = [ 0 2 2 ]. (d) ATb =
[ 3
−^21
]
(e) bT(c + d) = [ 8 ]. (f) (AE)T^ = [^11 −^02 ]. (g) ETAT^ = [^11 −^02 ]. (h) A express˜ao A^2 (= AA) n˜ao est´a bem definida pois o n´umero de colunas da matriz A, que ´e 2, ´e diferente do seu n´umero de linhas, que ´e 3. (i) (AAT)^2 = [^ −^1324 −^2445 ]. (j) (AE)−^1 = 12 [^20 −^11 ].
- D.
- A.
37. X = 15 [^ −^12 −^31 ].
- Proposi¸c˜ao falsa.
- D.
- Exerc´ıcio 1 (a) M =
[ 0 1 0 1 0
1 0 1 1 00 1 0 0 0 1 1 0 0 10 0 0 1 0
]
(b) Existem 6 caminhos de comprimento 2 que come¸cam em V 1 : V 1 V 2 V 1 , V 1 V 4 V 1 , V 1 V 4 V 2 , V 1 V 2 V 3 , V 1 V 2 V 4 , V 1 V 4 V 5. (c) 5. (d) 7. Exerc´ıcio 2 (a). V 1 V 2
V 3 V 4
b b
b b
(b) 2.
Solu¸c˜oes dos exerc´ıcios do cap´ıtulo 2 — Determinantes
1. |B| = 24, |C| = 0, |D| = 8.
2. |A| = −3.
3. D.
4. B.
5. B.
- x 6 = y.
- x ∈ R − {− 2 , 1 }.
- det((AB−^1 )T) = −5.
- —
- D.
