Baixe ALGEBRA LINEAR (exercicios) e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! n. 3 – ESCALONAMENTO: cálculo de matrizes inversas Escalonamento: Método de eliminação de Gauss A eliminação de Gauss é um método, segundo o qual é permitido efetuar 3 tipos de operações, sem que o determinante se altere: 1) trocar linhas de lugar; [ 1 1 1 2 −1 1 5 2 4 1 3 6 ] {𝐿2 ↔ 𝐿3 [ 1 1 1 5 2 4 2 −1 1 1 6 3 ] 2) multiplicar uma linha por um número qualquer não- nulo; [ 1 1 1 5 2 4 2 −1 1 1 6 3 ] {𝐿3 = 4 𝐿3 [ 1 1 1 5 2 4 8 −4 4 1 6 12 ] 3) somar a uma linha, outra linha multiplicada por um número qualquer não nulo. [ 1 1 1 5 2 4 8 −4 4 1 6 12 ] {𝐿2 = 5 𝐿3 − 8 𝐿2 [ 1 1 1 0 −36 −12 8 −4 4 1 12 12 ] Obs.: começar sempre pela primeira coluna e ir zerando os elementos abaixo do primeiro elemento da coluna. Uma matriz é denominada escalonada, ou forma escada, quando o número de zeros no lado esquerdo do primeiro elemento não nulo da linha, aumenta a cada linha. Nesse caso, a quarta linha não aumentou o número de zeros por terem esgotado as colunas, mas ainda assim é uma matriz escalonada. Exercício – Escalone as matrizes a seguir: a. 𝐴 = [ 1 1 1 2 −1 1 5 2 4 1 3 6 ] b. 𝐵 = [ 1 2 −1 2 4 −2 3 6 1 3 6 9 ]  depois de feitas as operações com as linhas da matriz para obter a matriz unidade, no lado esquerdo do bloco, a matriz que resultar no bloco do lado direito, será a matriz inversa de A: [ 1 0 0 | ? ? ? 0 1 0 | ? ? ? 0 0 1 | ? ? ? ] Exercício: Utilizando o escalonamento, obtenha as matrizes inversas de: a. 𝐷 = [ 1 1 1 1 1 0 1 0 1 ] R: 𝐷−1 = [ −1 1 1 1 0 −1 1 −1 0 ] b. 𝐾 = [ 2 −3 4 −1 2 −3 3 2 −1 ] R: 𝐾−1 = [ − 2 3 5 6 1 6 5 3 − 7 3 1 3 − 4 3 − 13 6 1 6] c. 𝐽 = [ 1 0 2 2 1 3 3 1 0 ] R: 𝐽−1 = [ − 3 5 − 2 5 2 5 9 5 6 5 − 1 5 1 5 1 5 − 1 5] d. 𝑀 = [ 3 0 1 0 −2 0 2 0 0 1 0 1 0 −1 0 1 ] R: 𝑀−1 = [ 1 4 − 1 8 0 0 0 0 1 2 − 1 2 1 4 3 8 0 0 0 0 1 2 1 2 ] Resoluções dos exercícios: Utilizando o escalonamento, obtenha as matrizes inversas de: a. 𝐷 = [ 1 1 1 1 1 0 1 0 1 ] Construindo a matriz aumentada: 𝐷 = [ 1 1 1 | 1 0 0 1 1 0 | 0 1 0 1 0 1 | 0 0 1 ] [ 1 1 1 | 1 0 0 1 1 0 | 0 1 0 1 0 1 | 0 0 1 ] → 𝐿1 = 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑝𝑖𝑣ô 𝐿2 = 𝐿1 − 𝐿2 𝐿3 = 𝐿1 − 𝐿3 [ 1 1 1 | 1 0 0 0 0 1 | 1 −1 0 0 1 0 | 1 0 −1 ] [ 1 1 1 | 1 0 0 0 0 1 | 1 −1 0 0 1 0 | 1 0 −1 ] → 𝐿2 ↔ 𝐿3 [ 1 1 1 | 1 0 0 0 1 0 | 1 0 −1 0 0 1 | 1 −1 0 ] [ 1 1 1 | 1 0 0 0 1 0 | 1 0 −1 0 0 1 | 1 −1 0 ] → 𝐿2 = 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑝𝑖𝑣ô 𝐿1 = 𝐿1 − 𝐿2 [ 1 0 1 | 0 0 1 0 1 0 | 1 0 −1 0 0 1 | 1 −1 0 ] [ 1 0 1 | 0 0 1 0 1 0 | 1 0 −1 0 0 1 | 1 −1 0 ] → 𝐿3 = 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑝𝑖𝑣ô 𝐿1 = 𝐿1 − 𝐿3 [ 1 0 0 | −1 1 1 0 1 0 | 1 0 −1 0 0 1 | 1 −1 0 ] Portanto, a matriz inversa de 𝐷 = [ 1 1 1 1 1 0 1 0 1 ] é 𝐷−1 = [ −1 1 1 1 0 −1 1 −1 0 ] b. 𝐾 = [ 2 −3 4 −1 2 −3 3 2 −1 ] 𝐾 = [ 2 −3 4 | 1 0 0 −1 2 −3 | 0 1 0 3 2 −1 | 0 0 1 ] [ 2 −3 4 | 1 0 0 −1 2 −3 | 0 1 0 3 2 −1 | 0 0 1 ] → 𝐿1 ↔ 𝐿2 [ −1 2 −3 | 0 1 0 2 −3 4 | 1 0 0 3 2 −1 | 0 0 1] [ −1 2 −3 | 0 1 0 2 −3 4 | 1 0 0 3 2 −1 | 0 0 1] → 𝐿1 = 𝐿1 (−1) [ 1 −2 3 | 0 −1 0 2 −3 4 | 1 0 0 3 2 −1 | 0 0 1] [ 1 −2 3 | 0 −1 0 2 −3 4 | 1 0 0 3 2 −1 | 0 0 1] → 𝐿2 = 𝐿2 − 2𝐿1 𝐿3 = 𝐿3 − 3𝐿1 [ 1 −2 3 | 0 −1 0 0 1 −2 | 1 2 0 0 8 −10 | 0 3 1] [ 1 −2 3 | 0 −1 0 0 1 −2 | 1 2 0 0 8 −10 | 0 3 1] → 𝐿1 = 2 𝐿2 + 𝐿1 𝐿3 = 𝐿3 − 8 𝐿2 [ 1 0 −1 | 2 3 0 0 1 −2 | 1 2 0 0 0 6 | −8 −13 1] [ 1 0 −1 | 2 3 0 0 1 −2 | 1 2 0 0 0 6 | −8 −13 1] → 𝐿1 = 6 𝐿1 + 𝐿3 𝐿2 = 3 𝐿2 + 𝐿3 [ 6 0 0 | 4 5 1 0 3 0 | −5 −7 1 0 0 6 | −8 −13 1] [ 1 0 0 0 | 1 4 − 1 8 0 0 0 1 0 0 | 0 0 1 2 − 1 2 0 0 1 0 | 1 4 3 8 0 0 0 0 0 1 | 0 0 1 2 1 2 ] Portanto, a matriz inversa de 𝑀 = [ 3 0 1 0 −2 0 2 0 0 1 0 1 0 −1 0 1 ] é 𝑀−1 = [ 1 4 − 1 8 0 0 0 0 1 2 − 1 2 1 4 3 8 0 0 0 0 1 2 1 2 ] SISTEMAS ESCALONADOS. Disponível em: <http://www.ime.unicamp.br/~ms211/sistemaslin.pdf> Acesso em: 12 ago. 2016. Referências Bibliográficas BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980. CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990. ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008. KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 1998. LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972. STEINBRUCH, A. ; WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010.

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