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Cálculo Diferencial e Integral III – 1ª Lista
- Determine a curva definida pela função vetorial e dê as suas equações paramétricas.
a) r ( t )= ti + 4 tj +( 3 − t ) k , t R
b) r ( t )= senti + 3 j +cos tk
- Encontre a equação vetorial e as equações paramétricas
a) para o segmento de reta que liga P e Q ; P =( 1 ,− 1 , 2 )e Q =( 4 , 1 , 7 );
b) da reta que passa pelo ponto A =(− 1 , 2 , 0 )na direção de v = 5 i − 2 j + 5 k ;
c) da reta que passa pelos pontos (^) A =( 2 , 0 , 1 )e (^) B =(− 3 , 4 , 0 );
d) da curva 4 ; 4 ;
2 2 x + y = z =
e) da curva ; ;
y x x = e z = e
f) da curva
2 2 (^) y = x ; z = x + y.
- Identifique as curvas e parametrize-as.
a) 8 4 0 ;
2 x − y + =
b) 2 2 5 2 3 0
2 2 x + y + x + y − =
- A intersecção entre as superfícies z = x + y e z = 2 + y
2 2 .determinam uma curva.
Escrever uma equação vetorial para essa curva.
- Encontre uma primitiva da função vetorial j t k
t
i
t
f t
- Para cada uma das curvas dadas
() (cos , ),
rt = tsent t =
r ( t )= ( 1 + t ) i + t j t =
a) Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada.
b) Determine ()
r t.
c) Desenhe o vetor posição r ( t )e o vetor tangente ()
r t para o valor de t dado.
- Determine ()
()e
r t r t.
a) i j t k
t r ( t ) e ln( 1 3 )
2
b) r ( t )= 5 sen 2 ti −sec 4 t j
c) r t t i 1 5 tj
- Se ),
r ( t )=( t , t t encontre ()
r t xr t.
- Escreva uma função vetorial
f : R → R que associa a cada ponto do espaço um vetor
unitário, com a mesma direção do vetor posição e sentido contrário.
- Determine o domínio das seguintes funções vetoriais.
a) , 1 , 5 )
r ( t )=( t t − − t
b) i sent j t k
t
t
r t )
ln( 9
2
c)
f ( x , y )= xi + yj + 4 − x − y k
d) , )
( , ) ( xy
xy
f x y =
e)
r ( x , y , z )= 2 − x − y
i + 1 − x − y j + zk
- Calcule os seguintes limites das funções vetoriais.
a) )
1
lim
t t
t
t
t e
t
b) )
ln
,
lim ( ,
t
t t arctgtte
t
c) 1 )
lim i t j
t e
t
d) ln k)
lim j y z
z
xz x x yi
x yx
e) )
lim
→ (^) x
x
z
xy x y
xyz
- Analise a continuidade das seguintes funções vetoriais.
a) ( ) ,ln( 1 ))
= t
t
t t rt e
b) )
t t t
t gt t
c) f ( x , y )=( x ln y , y ln x )
d)
a
a r x y z
(^ , , )= , a = xi + yj + zk
e) ,^2 )
f ( x , y )=( x − y , x − y
- Calcule as derivadas parciais de 1ª ordem das funções vetoriais.
a) k
x y z
z
j
x y z
y
i
x y z
x
f x y z
2 2 2 2 2 2 2 2 2
b) f ( x , y , z )=cos xzj − senxyk
- Mostre que qualquer campo vetorial da forma F ( x , y , z )= f ( y , z ) i + g ( x , z ) j + h ( x , y ) k
é incompressível.
- Prove que a função escalar é harmônica, mostrando que seu laplaciano é nulo.
a) seny
x senx e
y f ( x , y )= e +
b)
f ( x , y )=ln( x + y
- Sejam f =( xz , yz , xy )e )
g =( x y z. Determine:
a) (^) . f b) (^) xg c) (^) xf d)( x f ).( xg )
