Baixe Estatística e Probabilidade: Distribuição, Estimadores e Testes e outras Exercícios em PDF para Estatística, somente na Docsity!
12.6. ESTIMAÇÃO PONTUAL 103
12.6 Estimação Pontual
6.1 Considere a população formada pelo número de filhos por família ( X ) num determinado país, em que X = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 (não há famílias com mais de 4 filhos). Suponha que se conhece a sua distribuição de probabilidade:
X
(a) Quais os valores populacionais de μ e σ^2? (b) Desta população recolhe-se uma amostra aleatória constituída por 2 famílias - ( X 1 , X 2 ). Qual a distribuição de probabilidade de X 1 e X 2 e os respectivos parâmetros μ e σ^2? (c) Suponha que recolheu a seguinte amostra aleatória de 10 famílias:
(1 , 3 , 0 , 0 , 2 , 3 , 0 , 2 , 4 , 1).
Com base nesta amostra estime pontualmente μ e σ^2. Estime ainda o erro padrão da estimativa de μ.
6.2 Considere que se seleccionou uma amostra aleatória ( X 1 , X 2 ,... , Xn ) de uma população com valor médio μ e variância σ^2.
(a) Mostre que X =
∑ n i =1 Xi n
é estimador centrado e consistente da média populacional.
(b) Mostre que θ ˆ 1 =
X 1 + Xn 2
e θ ˆ 2 =
2 X 1 + 3 X 2 + 5 X 3
também são estimadores centrados de μ. Qual é melhor? São consistentes? (c) Mostre que ( X )^2 não é estimador centrado de μ^2.
6.3 Suponha que seleccionou uma amostra aleatória ( X 1 , X 2 ,... , Xn ) de uma população com distri- buição U (0 , θ ), isto é, com função densidade:
f ( x ) =
θ ,^^0 ≤^ x^ ≤^ θ 0 , c.c.
(a) Mostre que 2 X é o estimador dos momentos de θ. (b) Verifique se o estimador da alínea anterior é centrado e consistente. (c) Dada a amostra (1.215, 1.580, 0.726, 2.843, 3.394, 0.612, 2.621, 1.181, 2.930, 0.317), estime o valor de θ. Nota:
xi = 17_._ 42.
6.4 (Teste de P.E. - 2006/07) Seja ( X 1 , X 2 ,... , Xn ) uma amostra aleatória, extraída de uma população com distribuição Geométrica. Determine o estimador de p usando o método dos momentos.
6.5 Considere a experiência aleatória que consiste em contar o número de vezes que se lança um dado (eventualmente não equilibrado) até sair um número par. Em 15 realizações da experiên- cia obtiveram-se os seguintes resultados:
1 9 2 2 1 9 2 3 1 1 4 1 7 2 1
(a) Estime a probabilidade de sair um número par (num lançamento do dado). (b) Estime a probabilidade de ser necessário lançar mais de 2 vezes o dado para obter um número par.
6.6 Considere a amostra aleatória ( X 1 , X 2 ,... , Xn ) de uma população com distribuição Bin ( r, p ), com r conhecido.
(a) Determine o estimador dos momentos de p.
104 CAPÍTULO 12. EXERCÍCIOS
(b) Verifique se o estimador obtido, na alínea anterior, é centrado e consistente.
6.7 Considere a amostra aleatória ( X 1 , X 2 ,... , Xn ) de uma população com com função densidade,
f ( x ) = θ xθ +^
, x > 1 ( θ > 0).
Sabendo que E ( X ) = (^) θ − θ 1 , θ > 1 , determine o estimador dos momentos de θ.
6.8 Sabe-se que a idade de determinada camada do subsolo segue uma distribuição Normal com média de 0.5 milhões de anos e um desvio padrão de 20000 anos. Seleccionadas ao acaso 10 amostras de subsolo calcule a probabilidade de a média amostral das suas idades ser superior a 490000 anos.
6.9 Considere uma amostra aleatória de dimensão 25, extraída de uma população Normal de média 100 e desvio padrão 10.
(a) Qual a probabilidade de a média amostral cair no intervalo de E ( X ) − 1_._ 96 × SE ( X ) a E ( X ) + 1_._ 96 × SE ( X )? (b) Quanto deverá ser o tamanho amostral tal que a amplitude do intervalo definido em (a) diminua para 2.
6.10 O tempo de espera em pista para a descolagem de cada avião no aeroporto de Lisboa é uma v.a. com valor médio 4 minutos e desvio padrão 2.5 minutos. Suponha que se selecciona ao acaso 50 aviões, para se registarem os seus correspondentes tempos de espera. Calcule a probabilidade de a média dos tempos de espera exceder os 5 minutos.
6.11 Assuma que o número de ovos que as tartarugas verdes depositam nas praias, em cada desova, é uma v.a. de P oisson , com valor médio 15 ovos. Seleccionando ao acaso uma amostra de 100 tartarugas verdes, qual a probabilidade de que a média do número de ovos destas esteja compreendido entre o seu valor médio e ± 3 vezes o seu erro padrão.
6.12 Suponha que o tempo de vida de determinada espécie de burros é uma v.a. com distribuição exponencial, de valor médio 25 anos. Seleccionando ao acaso uma amostra de 40 burros desta espécie, qual a probabilidade de que a média dos seus tempos de vida seja inferior a 20 anos?
6.13 No país das Maravilhas a proporção de loucos é de 0.45. Suponha que se pretende seleccionar uma amostra aleatória de 500 habitantes deste país. Qual a probabilidade de a proporção de loucos que vão calhar na amostra exceder 0.5?
6.14 Numa população Normal de média desconhecida e desvio padrão 5 calcule a probabilidade de a variância de uma amostra aleatória de dimensão 20 dessa população estar compreendida entre 26 e
106 CAPÍTULO 12. EXERCÍCIOS
(a) Construa um intervalo de confiança a 95% para o tempo médio de reacção dos cães. (b) Suponha que só se conseguiu obter uma amostra de 15 cães, tendo resultado em x ¯ = 1_._ 1 s e
( xi − x ¯)^2 = 15_._ 9 s^2. Construa, para este caso, um intervalo de confiança a 95% para o tempo médio de reacção dos cães, referindo eventuais pressupostos que tenha tido de fazer.
7.9 Numa fábrica de embalagem de queijo em fatias seleccionaram-se aleatoriamente 100 embalagens, das quais se verificaram que 18 tinham peso inferior ao suposto - sendo por isso inadequadas. Construa um intervalo de confiança a 98%para a verdadeira proporção de pacotes inadequados na produção total. 7.10 De 200 casos de pessoas com cancro do cólon, aleatoriamente detectadas, 12 morreram após 5 anos da detecção.
(a) Estime pontualmente a probabilidade de uma pessoa que contraia o cancro do cólon morrer após 5 anos da sua detecção. (b) Quanto deveria aumentar ao tamanho da sua amostra aleatória de forma a que a largura do intervalo de confiança a 90% para a probabilidade considerada na alínea anterior fosse inferior a 0.01?
7.11 O tempo (horas) que o Pedro dispende em filas de trânsito, por dia, é uma v.a. Normal. Seleccio- nando aleatoriamente 15 dias registaram-se os seguintes valores de espera:
1_._ 5 1_._ 0 1_._ 0 2_._ 0 1_._ 5 1_._ 25 1_._ 0 2_._ 0 1_._ 5 1_._ 25 1_._ 75 0_._ 5 1_._ 0 1_._ 5 1_._ 25
Determine um intervalo de confiança a 99% para a variância do tempo de espera. 7.12 Um profissional de bowling jogou 8 partidas num torneio, tendo obtido as seguintes pontuações:
117_._ 0 220_._ 2 199_._ 5 237_._ 2 249_._ 5 179_._ 8 259_._ 2 248_._ 5
Admitindo a normalidade das pontuações, construa um intervalo de confiança a 95% para a variância e para o desvio padrão (este último fornece uma medida da consistência da prestação do jogador).
12.8. TESTES DE HIPÓTESES 107
12.8 Testes de Hipóteses
8.1 Uma fábrica de gelados afirma que a procura do gelado de chocolate no verão, por dia e em euros, é uma v.a. Normalmente distribuída com valor médio e200 e desvio padrão e40. Numa amostra aleatória constituída por 10 dias seleccionados ao acaso do período de verão verificou-se que x ¯ = 222.
(a) Teste, ao nível de significância de 5%, se o consumo médio de gelado de chocolate no verão pode ser assumido de 200 e por dia. (b) Teste, ao nível de significância de 5%, se o consumo médio de gelado de chocolate no verão é no máximo de 200 e por dia. (c) Qual a potência dos testes realizados nas duas alíneas anteriores, se μ = 210. (d) Resolva as duas primeiras alíneas usando o valor-p.
8.2 Um produtor de azeite afirma que a acidez média do seu azeite é de 0.9o. De forma a confirmar tal facto recolheu-se uma amostra aleatória da sua produção de azeite, tendo-se medido os seguintes valores de acidez: 0_._ 9 0_._ 8 0_._ 7 1_._ 1 0_._ 9 0_._ 9 1_._ 0 0_._ 7 1_._ 5 1_._ 1. Admitindo a Normalidade da acidez do azeite:
(a) Teste, ao nível de significância de 1%, se o produtor tem razão. (b) Um outro produtor afirma que a acidez média do referido azeite é superior a 0.9o. Comente a afirmação efetuando um teste de hipóteses adequado (considere α = 0_._ 01 ).
8.3 Um biólogo acha que o peso médio de uma determinada espécie de coelhos - coelhos anões - é superior a 250g. Para tal seleccionou aleatoriamente 40 coelhos, tendo obtido uma média dos pesos de 255.3g e um desvio padrão de 30g. Assumindo a Normalidade dos pesos dos coelhos, faça um teste de hipóteses adequado que permita ao biólogo tirar uma conclusão a um nível de significância de 10%.
8.4 A Inês recebe, para além do seu salário, vencimento correspondente a 2 horas extra que devia fazer todos os dias. Contudo ela está desconfiada que tem andado a trabalhar, em média, mais do que 2 horas extra. Como a empresa onde trabalha regista sempre a hora de entrada e de saída dos seus funcionários, ela seleccionou aleatoriamente 12 dias de trabalho passados e registou os seguintes valores relativos ao horário extra: x ¯ = 2_._ 3 h e s = 0_._ 5 h. Admitindo a Normalidade do tempo extra de trabalho, efetue um teste de hipóteses adequado a um nível de significância de 5%, que permita à Inês tirar uma conclusão.
8.5 Uma companhia de seguros tem previsto no seu orçamento um total de 5000e/dia para pagar as indemnizações dos seus segurados. De forma a testar se o valor médio das indemnizações pagas por dia está bem previsto seleccionaram-se, de anos anteriores, 100 dias, tendo-se verificado x ¯ = 5625e e
( xi − x ¯)^2 = 6187500e^2. Teste, ao nível de significância 5%, se a previsão se adequa.
8.6 Numa fábrica de massas embalam-se pacotes de esparguete que deveriam ter peso médio de 500g. O peso dos pacotes é uma v.a. Normal com variância σ^2 = 225 g^2. Selecionaram-se ao acaso 40 embalagens a que correspondem um peso médio de 495g. Teste, ao nível de significância 1%, se o peso médio das embalagens é superior ou igual às 500g indicadas na embalagem.
8.7 Seja X uma v.a. com distribuição Normal de valor médio μ e desvio padrão σ. A partir de uma amostra de dimensão 30, retirada da população, obtiveram-se os seguintes resultados:
∑^30
i =
xi = 64_._ 0
∑^30
i =
( xi − ¯ x )^2 = 84_._ 4
(a) Teste, ao nível de significância de 1%, as hipóteses H 0 : μ = 2 vs H 1 : μ > 2. (b) Suponha que está a testar a hipótese H 0 : μ ≤ 2 e que rejeita a hipótese nula se X ¯ 30 > 2_._ 3. Considere σ = 1_._ 5 e calcule a probabilidade do erro de 1a^ espécie do teste e também a probabilidade do erro de 2a^ espécie do teste para μ = 2_._ 5.
