Baixe Estimação de Parâmetros em Modelos Lineares: Exercícios de Estatística Linear e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity!
ESTIMAÇÃO PELO MÉTODO ORDINÁRIO DE MÍNIMOS QUADRADOS (OLS)
No quadro abaixo, reproduzem-se os resultados de uma estimação realizada
com o programa informático EViews. Alguma da informação fornecida pelo
programa foi suprimida; reconstitua-a, apresentando os cálculos.
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: 1 32 Included observations: 32 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 5.416354 3.819416?? X2 0.830504 0.064008?? R-squared? Mean dependent var 49. Adjusted R-squared? S.E. of regression? Sum squared resid 2728. F-statistic? Durbin-Watson stat 2.096630 Prob(F-statistic)?
E, relativamente ao exemplo do quadro seguinte, conseguiria também reconstituir a
informação ocultada? Justifique.
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: 1 28 Included observations: 28 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 7.129457 4.065095?? X2 0.838313 0.064644?? X3 -0.056367 0.076669?? R-squared? Mean dependent var 49. Adjusted R-squared? S.E. of regression? Sum squared resid 2170. F-statistic? Durbin-Watson stat 2.336293 Prob(F-statistic)?
Suponha ter dois estimadores independentes e cêntricos, ^ ˆ 1 e ^ ˆ 2 , de um
certo parâmetro, , com variâncias diferentes, v 1 e v 2. Qual dos estimadores ˆ^ definidos
pela combinação linear
ˆ^ = c 1 ^ ˆ 1 + c 2 ^ ˆ 2
é o estimador cêntrico de variância mínima de ?
(Greene (2003), exercício 1, p.62)
Considere o modelo de regressão linear
Yi = β 1 + β 2 Xi + ui,
em que as perturbações ui têm função densidade de probabilidade
f(ui) = e ui
− , u
i ^ 0,^ ^ > 0.
Note-se que se assume serem não negativas todas as perturbações e que é
E(ui) = e Var(ui) = ^2 ;
supõe-se também independência entre Xi e ui.
Prove que o estimador OLS de β 2 é cêntrico e que o estimador OLS de β 1 é
excêntrico.
(Greene (2003), exercício 4, p.63)
Considere o modelo de regressão linear
Yi = β 1 + β 2 Xi + ui
sob as hipóteses clássicas e a amostra {(Xi, Yi), i = 1, 2, ..., n}. Verifique se são cêntricos os
estimadores de β 2 definidos nas alíneas seguintes:
a)
i j
i j 2
X X
~ Y Y
= , quaisquer que sejam i e j, i j, e Xi Xj;
b)
= (^) −
−
n
i (^2) i i 1
i i 1 2
X X
Y Y
n 1
, se Xi Xi-1, para todo i = 2, 3, ..., n;
c)
=
n
i (^1) i
i 2
X
Y
n
, supondo Xi 0, qualquer que seja i;
d)
x
x y
n
i 1
3 i
n
i 1
i
2 i 2
=
= = , em que x
i = Xi –^ X^ , yi = Yi –^ Y^ e^
=
n
i 1
3
x i 0.
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: 1 33 Included observations: 33 White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 20.52004 18.28413 1.122287 0. X2 0.414662 0.447877 0.925838 0. X3 -2.032783 0.189870 -10.70617 0. R-squared 0.692088 Mean dependent var -27. Adjusted R-squared 0.671561 S.D. dependent var 108. S.E. of regression 62.02179 Akaike info criterion 11. Sum squared resid 115401.1 Schwarz criterion 11. Log likelihood -181.4594 F-statistic 33. Durbin-Watson stat 1.919310 Prob(F-statistic) 0.
Comente os resultados, designadamente quanto aos aspectos seguintes:
i) possível razão de ser da análise no segundo quadro;
ii) conclusões que dessa análise se retiram;
iii) possível razão de ser da regressão no terceiro quadro;
iv) metodologia seguida na obtenção dos resultados desse quadro;
v) justificação dessa metodologia.
Reproduz-se abaixo um pequeno programa escrito para EViews e, de
seguida, os resultados das duas estimações pedidas no programa. Descreva o
procedimento seguido, explique os seus objectivos e indique que conclusões retira dos
resultados obtidos.
workfile exemplo u 1 28 sort x smpl 1 11 equation eq01.ls y c x2 x smpl 18 28 equation eq02.ls y c x2 x
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: 1 11 Included observations: 11 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 1.043904 1.355231 0.770278 0. X2 0.305780 0.054350 5.626095 0. X3 0.435727 0.493036 0.883763 0. R-squared 0.839017 Mean dependent var 7. Adjusted R-squared 0.798771 S.D. dependent var 4. S.E. of regression 2.050307 Akaike info criterion 4. Sum squared resid 33.63008 Schwarz criterion 4. Log likelihood -21.75471 F-statistic 20. Durbin-Watson stat 2.484511 Prob(F-statistic) 0.
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: 18 28 Included observations: 11 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -15.56554 67.70570 -0.229900 0. X2 0.398252 0.734685 0.542072 0. X3 0.794632 3.230872 0.245950 0. R-squared 0.038309 Mean dependent var 22. Adjusted R-squared -0.202113 S.D. dependent var 15. S.E. of regression 16.74340 Akaike info criterion 8. Sum squared resid 2242.732 Schwarz criterion 8. Log likelihood -44.85487 F-statistic 0. Durbin-Watson stat 2.308857 Prob(F-statistic) 0.
Os Quadros I a VI apresentam vários resultados obtidos na estimação do
modelo
Yt = β 1 + β 2 X2t + ut
com base numa amostra de observações trimestrais.
Quadro I:
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: 1991:1 1995: Included observations: 20 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 231.6756 305.0190 0.759545 0. X2 1.238694 0.237148 5.223299 0. R-squared 0.602499 Mean dependent var 1821. Adjusted R-squared 0.580415 S.D. dependent var 132. S.E. of regression 86.10105 Akaike info criterion 11. Sum squared resid 133441.0 Schwarz criterion 11. Log likelihood -116.4356 F-statistic 27. Durbin-Watson stat 3.277505 Prob(F-statistic) 0.
a) O Quadro I mostra os resultados da estimação do modelo por OLS e o Quadro II
o correlograma dos resíduos dessa regressão. Que conclui dessas peças quanto à eventual
existência e padrão de autocorrelação das perturbações do modelo?
b) Relativamente aos quadros restantes, explique o propósito de cada uma das
regressões, justifique os procedimentos usados e exponha as conclusões relevantes que
retira da análise. (A variável dependente RESIDEQ01 refere-se aos resíduos de estimação
da equação no Quadro I.)
Quadro V:
Dependent Variable: Y+0.745277Y(-1) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1991:2 1995: Included observations: 19 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -95.52165 262.0740 -0.364483 0. X2+0.745277X2(-1) 1.464815 0.117056 12.51383 0. R-squared 0.902071 Mean dependent var 3179. Adjusted R-squared 0.896311 S.D. dependent var 177. S.E. of regression 57.01797 Akaike info criterion 11. Sum squared resid 55267.83 Schwarz criterion 11. Log likelihood -102.7272 F-statistic 156. Durbin-Watson stat 1.583191 Prob(F-statistic) 0.
Quadro VI:
Dependent Variable: Y+0.679671Y(-1) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1991:2 1995: Included observations: 19 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -65.78312 263.0142 -0.250112 0. X2+0.679671X2(-1) 1.452628 0.122027 11.90411 0. R-squared 0.892885 Mean dependent var 3061. Adjusted R-squared 0.886584 S.D. dependent var 171. S.E. of regression 57.71744 Akaike info criterion 11. Sum squared resid 56632.16 Schwarz criterion 11. Log likelihood -102.9588 F-statistic 141. Durbin-Watson stat 1.796863 Prob(F-statistic) 0.
Considere o modelo
Yi = Xi + ui,
em que Yi é uma variável binária codificada com os valores 1 ou 0 e ui é um erro aleatório
com média nula.
a) Mostre por que é esse modelo chamado um modelo linear de probabilidade.
b) Que problemas suscita a estimação do modelo por OLS?
c) Descreva com pormenor o procedimento que seguiria para estimar o modelo pelo
método GLS exequível.
d) Se, em vez do par (0,1), tivesse sido usado outro par qualquer, (a,b), para
codificar os dois valores possíveis da variável Y, seria ainda apropriada a qualificação do
modelo em causa como um modelo linear de probabilidade? Justifique.
Quadro I:
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: 1 1000 Included observations: 1000 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 50.63595 0.686223 73.78934 0. X2 -0.520070 0.011138 -46.69320 0. X3 0.264491 0.008898 29.72633 0. R-squared 0.758560 Mean dependent var 32. Adjusted R-squared 0.758076 S.D. dependent var 20. S.E. of regression 10.19779 Akaike info criterion 7. Sum squared resid 103683.0 Schwarz criterion 7. Log likelihood -3739.608 F-statistic 1566. Durbin-Watson stat 2.051965 Prob(F-statistic) 0.
c) Partindo de estimativas iniciais ˆ^ = ˆ= 0, procedeu~se à estimação do modelo
pelo método da regressão linearizada. Os resultados das três primeiras iterações constam
dos Quadros II, III e IV. Comente os aspectos que considere relevantes nesses resultados.
Quadro II:
Dependent Variable: Y0_ Method: Least Squares Sample: 1 1000 Included observations: 1000 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 58.18748 0.875083 66.49369 0. Z0_1 -0.528023 0.015285 -34.54464 0. R-squared 0.544569 Mean dependent var 32. Adjusted R-squared 0.544113 S.D. dependent var 20. S.E. of regression 13.99895 Akaike info criterion 8. Sum squared resid 195578.7 Schwarz criterion 8. Log likelihood -4056.920 F-statistic 1193. Durbin-Watson stat 2.120294 Prob(F-statistic) 0.
Quadro III:
Dependent Variable: Y0_ Method: Least Squares Sample: 1 1000 Included observations: 1000 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 50.40196 0.350677 143.7274 0. Z0_2 -0.516523 0.006638 -77.80877 0. R-squared 0.858484 Mean dependent var 39. Adjusted R-squared 0.858342 S.D. dependent var 27. S.E. of regression 10.19349 Akaike info criterion 7. Sum squared resid 103699.4 Schwarz criterion 7. Log likelihood -3739.687 F-statistic 6054. Durbin-Watson stat 2.050720 Prob(F-statistic) 0.
Quadro IV:
Dependent Variable: Y0_ Method: Least Squares Sample: 1 1000 Included observations: 1000 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 50.39727 0.353130 142.7157 0. Z0_3 -0.516471 0.006731 -76.73225 0. R-squared 0.855065 Mean dependent var 39. Adjusted R-squared 0.854920 S.D. dependent var 26. S.E. of regression 10.19353 Akaike info criterion 7. Sum squared resid 103700.1 Schwarz criterion 7. Log likelihood -3739.690 F-statistic 5887. Durbin-Watson stat 2.050674 Prob(F-statistic) 0.
d) Por último, procedeu-se à estimação do modelo do enunciado por NLS; os
resultados figuram no quadro abaixo. Comente-os.
Quadro V:
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: 1 1000 Included observations: 1000 Convergence achieved after 3 iterations Y=C(1)+C(2)X2+(C(2)^2)X Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C(1) 50.39727 0.353142 142.7111 0. C(2) -0.516471 0.006731 -76.72743 0. R-squared 0.758521 Mean dependent var 32. Adjusted R-squared 0.758279 S.D. dependent var 20. S.E. of regression 10.19353 Akaike info criterion 7. Sum squared resid 103700.1 Schwarz criterion 7. Log likelihood -3739.690 Durbin-Watson stat 2.
No exercício 4 da secção sobre estimação por GLS citam-se vários resultados
da estimação do modelo
Yt = β 1 + β 2 X2t + ut
com uma amostra de observações trimestrais; o quadro da página seguinte exibe resultados
adicionais da análise, desta vez obtidos por recurso a estimadores NLS.
a) Justifique o procedimento adoptado na regressão a que se refere esse quadro e
interprete a informação obtida.
ESTIMAÇÃO PELO MÉTODO DA MÁXIMA VEROSIMILHANÇA (ML)
Suponha que Y é uma variável aleatória com função densidade de
probabilidade
f(y) =
, 0 y .
Com base numa amostra aleatória {Y 1 , Y 2 , ..., Yn}, consegue determinar o estimador ML
do parâmetro ? Discuta a questão.
Seja {Y 1 , Y 2 , ..., Yn} uma amostra aleatória de uma variável Y
i) com distribuição de Bernoulli e função de probabilidade
f(y; ) = y^ ( 1 − )^1 −y, 0 1, y = 0 ou y = 1;
ii) com distribuição de Poisson e função de probabilidade
f(y; ) =
y!
e
y
−
, 0 , y = 0, 1, 2, ...;
iii) com distribuição exponencial e função densidade de probabilidade
f(y; ) = e-y, > 0, y > 0.
Determine o estimador ML de em cada um desses casos.
Considere o modelo de regressão linear Y = X + u sob a hipótese
u ~ N( 0 , 2 In ).
a) Deduza a função logarítmica de verosimilhança, ln L(,
2
b) Mostre que é
E
2
ln L
lnL
c) Determine os estimadores ML de e de
2
d) Usando o resultado
Var
2
ln L
lnL
= – E
2 2
2
2
2
2
2 2
lnL lnL
lnL lnL
determine a matriz de variâncias do estimador ML de e a variância do estimador ML de
Considere o modelo
Yi = Xi + ui,
Yi =
0 , emcaso contrário
1 , seYi* 0
ui ~ N(0, 1).
e admita disponível uma amostra de n observações ( Xi , Yi).
a) Deduza a função logarítmica de verosimilhança, ln L().
b) Para o caso particular Xi = , qualquer que seja i, deduza o estimador ML de .
c) Sendo n 0 e n 1 , respectivamente, o número de observações na amostra em que
Yi = 0 e o número de observações com Yi = 1, mostre, para o caso particular analisado em
b), que o valor máximo de ln L() pode ser determinado apenas pelo conhecimento de n 0 e
n 1.
Considere o modelo
Yi = Xi + ui,
b) Mostre que, sob a hipótese adicional de normalidade de , são diferentes as
funções de verosimilhança para estimação dos parâmetros β 1 , β 2 e no modelo do
enunciado e no modelo
Yt – Yt-1 = β 1 (1 – ) + β 2 (Xt – Xt-1) + t,
com t = 2, 3, ..., n.
Relativamente a cada uma de um grupo de 100 mulheres casadas, dispõe-se
de informação quanto às variáveis seguintes:
NC: número de filhos;
HW: salário do marido;
ED: número de anos de educação completados;
OW: salário da mulher.
A variável OW foi codificada com o valor 0 se a mulher não tinha emprego remunerado.
Admite-se que a decisão de participação da mulher no mercado de trabalho depende do
número de filhos e do salário do marido, mas não do nível de escolaridade completado pela
mulher, enquanto o salário auferido por trabalho no mercado depende apenas desse nível de
habilitações (mas não do número de filhos ou do salário do cônjuge).
Os quadros seguintes apresentam um conjunto de resultados obtidos na análise
dessa amostra.
Quadro I:
Dependent Variable: OW Method: Least Squares Sample(adjusted): 13 100 IF OW> Included observations: 61 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 2.161649 0.294084 7.350440 0. ED 0.870329 0.028929 30.08534 0. R-squared 0.938805 Mean dependent var 10. Adjusted R-squared 0.937768 S.D. dependent var 3. S.E. of regression 0.970827 Akaike info criterion 2. Sum squared resid 55.60785 Schwarz criterion 2. Log likelihood -83.73249 F-statistic 905. Durbin-Watson stat 2.482569 Prob(F-statistic) 0.
a) Que objecções lhe suscitam os resultados apresentados nos Quadros I e II?
Quadro II:
Dependent Variable: OW Method: Least Squares Sample: 1 100 Included observations: 100 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.715668 1.264298 0.566060 0. ED 0.604421 0.126360 4.783313 0. R-squared 0.189279 Mean dependent var 6. Adjusted R-squared 0.181006 S.D. dependent var 5. S.E. of regression 5.283298 Akaike info criterion 6. Sum squared resid 2735.498 Schwarz criterion 6. Log likelihood -307.3388 F-statistic 22. Durbin-Watson stat 0.403324 Prob(F-statistic) 0.
b) O Quadro III refere-se a um modelo probit em que a variável dependente, PART,
é uma variável binária que assume o valor 1 se a mulher tem trabalho no mercado ou o
valor 0 em caso contrário. Para uma mulher cujo marido tem um salário de 20, havendo um
filho do casal, que influência estima venha a ter o nascimento do segundo filho sobre a
participação no mercado de trabalho? E que influência estima se desse parto resultar um par
de gémeos?
Quadro III:
Dependent Variable: PART Method: ML - Binary Probit Sample: 1 100 Included observations: 100 Convergence achieved after 5 iterations Covariance matrix computed using second derivatives Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. C 5.403366 0.925919 5.835680 0. NC -1.214181 0.249816 -4.860308 0. HW -0.215718 0.043715 -4.934623 0. Mean dependent var 0.610000 S.D. dependent var 0. S.E. of regression 0.344499 Akaike info criterion 0. Sum squared resid 11.51190 Schwarz criterion 0. Log likelihood -34.17708 Hannan-Quinn criter. 0. Restr. log likelihood -66.87481 Avg. log likelihood -0. LR statistic (2 df) 65.39546 McFadden R-squared 0. Probability(LR stat) 6.33E-
c) O Quadro IV, por sua vez, apresenta resultados da estimação de um modelo tobit
para os salários. Especifique completamente o modelo e escreva a função de
verosimilhança em que se baseou a estimação.
d) O Quadro V contém resultados da estimação do modelo pelo método de
Heckman em dois passos. Descreva o procedimento seguido. Que vantagens terá esse
método sobre as alternativas?
ESTIMAÇÃO PELO MÉTODO DAS VARIÁVEIS INSTRUMENTAIS (IV)
Considere o modelo
Yt = β 1 + β 2 Yt-1 + ut.
a) Prove que, se Y for uma variável estacionária (no sentido de fracamente
estacionária), terá de ser 22 < 1.
b) Indique as propriedades do estimador OLS de β 2 (i) caso ut seja uma variável
aleatória de espectro branco e (ii) caso ut siga um processso auto-regressivo estacionário de
1ª ordem com média nula.
c) Se houvesse razões para considerar insatisfatório o uso do método OLS na
estimação do modelo, parece-lhe que o método das variáveis instrumentais constituirira
uma boa alternativa? Discuta a questão.
Dispõe-se de uma amostra de observações trimestrais das variáveis Xt e Yt
para o período 1981:1 a 1996:4, com as quais pretende estimar-se o modelo.
Yt = β 1 + β 2 Yt-1 + β 3 Xt + ut.
Alguns resultados da análise aparecem nos quadros seguintes:
Quadro I:
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample(adjusted): 1981:2 1996: Included observations: 63 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 16.51403 4.585442 3.601405 0. Y(-1) 0.587715 0.053186 11.05020 0. X2 0.121247 0.019199 6.315190 0. R-squared 0.758569 Mean dependent var 78. Adjusted R-squared 0.750521 S.D. dependent var 10. S.E. of regression 5.453106 Akaike info criterion 6. Sum squared resid 1784.182 Schwarz criterion 6. Log likelihood -194.7159 F-statistic 94. Durbin-Watson stat 0.453151 Prob(F-statistic) 0.
a) A avaliar pelo valor da estatística de Durbin-Watson no Quadro I, há
autocorrelação das perturbações. Concorda? Se, de facto, existir autocorrelação, que críticas
lhe merece a estimação?
Quadro II:
Dependent Variable: Y Method: Two-Stage Least Squares Sample(adjusted): 1982:1 1996: Included observations: 60 after adjusting endpoints Instrument list: C X2 X2(-1) X2(-2) X2(-3) X2(-4) Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 42.31340 13.38106 3.162186 0. Y(-1) 0.218346 0.168281 1.297505 0. X2 0.142596 0.026517 5.377637 0. R-squared 0.534760 Mean dependent var 79. Adjusted R-squared 0.518435 S.D. dependent var 10. S.E. of regression 7.401693 Sum squared resid 3122. F-statistic 16.52460 Durbin-Watson stat 0. Prob(F-statistic) 0.
b) O Quadro II exibe resultados da estimação do modelo pelo método IV. Parece-
lhe adequada a escolha das variáveis instrumentais usadas? Justifique.
c) Descreva, com rigor, o processo de estimação pelo método bietápico de mínimos
quadrados que lhe permitiria obter as mesmas estimativas dos coeficientes β 1 , β 2 e β 3 que
no Quadro II.
