exercícios de matemática Financiera, Exercícios de Matemática

Baixe exercícios de matemática Financiera e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity! Los métodos algebraicos a menudo son útiles en la solución de problemas aplicados en diversos campos. En general, tales problemas se establecen en forma verbal; an- tes de que podamos utilizar nuestras herramientas algebraicas, es necesario cambiar las declaraciones verbales a proposiciones algebraicas correspondientes. El siguien- te procedimiento por etapas con frecuencia es útil en la aplicación de este proceso. Paso 1 Represente la cantidad desconocida (es decir, la cantidad que de- be determinarse) mediante un símbolo algebraico, tal como x. En algunos proble- mas, deben determinarse dos o más cantidades; en tales casos, denotamos sólo una de ellas con x. Paso 2 Exprese todas las demás cantidades, si las hay, en términos de x. Paso 3 Traduzca las expresiones verbales que aparezcan en el problema en expresiones algebraicas en las cuales intervenga x. En este contexto, palabras tales como es o era se traducen al símbolo algebraico . Paso 4 Resuelva la expresión o expresiones algebraicas de acuerdo con los métodos algebraicos. Paso 5 Transforme la solución algebraica en forma verbal. En problemas verbales, aparecen un número de declaraciones que incluyen frases tales como alguna cantidad mayor que o menor que cierto valor multiplicado, digamos, dos veces o por la mitad de otra cantidad. Los ejemplos siguientes ilustran cómo cambiar tales expresiones a términos algebraicos. EJEMPLO 1 a) Si Juan tiene x pesos y Jaime 5 más que Juan, entonces Jaime tiene (x  5) pesos. Si Samuel tiene 3 menos que Juan entonces Samuel tiene (x  3) pesos. b) Si Luis tiene una edad de x años y su padre tiene 4 años más que el doble de la edad de Luis, entonces su padre tiene (2x  4) años. c) Si cierto almacén vende x refrigeradores al mes y un segundo almacén ven- de 5 menos que una tercera parte del anterior, entonces el segundo almacén vende (13x  5) refrigeradores. ☛ 6 Empezaremos con algunos ejemplos elementales que ilustran de la manera más sencilla posible la traducción entre las formas verbales y algebraicas. EJEMPLO 2 Determine dos enteros consecutivos cuya suma sea 19. Solución Paso 1 Dado que debemos encontrar dos enteros, debemos decidir a cuál de ellos llamar x. Denotemos con x al entero más pequeño. 68 CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE 2-2 APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES ☛ 6. En el ejemplo 1a), Amanda tiene tantos pesos como Juan, Jaime y Samuel juntos. ¿Cuántos tiene? En el ejemplo 1c). Si la primera tienda tiene una ganancia de $30 en cada refrigerador y la segunda tienda obtiene una ganancia de $75. ¿En cuánto exceden las ganancias mensuales de la primera tienda las de la segunda? Respuesta a) 3x  2 pesos b) 5x  375 pesos Paso 2 Luego, el segundo entero es x  1, pues son consecutivos. Paso 3 La expresión suma de dos enteros se cambia a la expresión algebrai- ca x  (x  1). La afirmación de que esta suma es 19, equivale a la ecuación x  (x  1)  19 Paso 4 Despejamos x. 2x  1  19 2x  19  1  18 x  12 8  9 Paso 5 Por tanto, el entero más pequeño es 9. El mayor, x  1, es 10. ☛ 7 EJEMPLO 3 Un hombre tiene 7 años más que su esposa. Hace 10 años tenía el doble de la edad de ella. ¿Cuántos años tiene él? Solución Denotemos con x la edad actual del hombre. Dado que su esposa es 7 años más joven que él, la edad actual de ella debe ser (x  7) años. Hace 10 años, la edad del hombre era 10 años menos de lo que es ahora, de modo que su edad era entonces x  10. (Por ejemplo, si su edad actual es x  38, hace 10 años tenía x  10  38  10  28 años). De manera similar, hace 10 años la edad de su esposa era de 10 años menos de la que es ahora, por lo que (x  7)  10 o x  17. Nos dicen que al mismo tiempo la edad del hombre, x  10, era el do- ble de la edad de su esposa, x  17. Así, escribimos x  10  2(x  17) Simplificamos y despejamos x. x  10  2x  34 x  2x  23  10 x  24 x  24 La edad actual del hombre es de 24 años. Su esposa tiene 17. Hace 10 años tenían 14 y 7, respectivamente. EJEMPLO 4 (Ingresos mensuales) Una vendedora gana un salario base de $600 por mes más una comisión del 10% de las ventas que haga. Descubre que en promedio, le toma 1 1 2  horas realizar ventas por un valor de $100. ¿Cuántas horas de- berá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2000? Solución Supóngase que trabaja x horas por mes. Cada 32 horas, efectúa ventas por $100, de modo que cada hora promedia dos terceras partes de esto, es decir, $(200/3) en ventas. Su comisión es del 10% de esto, de modo que su comisión pro- medio por hora es 23 0. Por tanto, en x horas ganará una comisión de 23 0x dólares. SECCIÓN 2-2 APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES 69 ☛ 7. Un triángulo tiene dos lados iguales y el tercero es 8 unidades más largo. Si el perímetro excede al doble de la longitud del lado más corto en 20 unidades, ¿cuáles son las longitudes de los tres lados? Respuesta 12, 12 y 20 (1-3) Si Juan tiene x dólares, ¿cuántos dólares tendrá Julia en cada caso? 1. Ella tiene $4 más que Juan. 2. Ella tiene $3 menos del doble de lo que tiene Juan. 3. Ella tiene $2 más que la mitad de lo que tiene Juan. (4-7) Si José tiene x años y Julia es 4 años más joven, ¿qué edad tiene Alfredo en cada caso? 4. Alfredo tiene 3 años más que Julia. 5. Alfredo es 1 año mayor que la edad promedio de José y Julia. 6. Alfredo es 10 años menor que la suma de las edades de Jo- sé y de Julia. 7. Alfredo es 2 años menor que cinco veces la diferencia de las edades de José y de Julia. 8. Bruno y Jaime juntos tienen $75. Si Jaime tiene $5 más que Bruno, ¿cuánto dinero tiene Jaime? 9. En una clase de matemáticas para la administración hay 52 estudiantes. Si el número de chicos es 7 más que el doble de chicas, determine el número de chicas en la clase. 10. Un padre es tres veces mayor que su hijo. En 12 años, él tendrá el doble de la edad de su vástago. ¿Qué edades tie- nen el padre y el hijo ahora? 11. Hace cinco años, María tenía el doble de la edad de su her- mano. Encuentre la edad actual de María si la suma de sus edades hoy es de 40 años. 12. Susana tiene 3 monedas más de cinco centavos que de diez centavos, y 5 monedas más de diez centavos que monedas de veinticinco centavos. En total tiene $2.10. ¿Cuántas mo- nedas de cada una tiene? 13. Yo tengo el doble de monedas de diez centavos en mi bol- sillo que de monedas de veinticinco centavos. Si tuviera 4 monedas menos de diez centavos y 3 monedas más de veinticinco centavos, tendría $2.60. ¿Cuántas monedas de diez centavos y de veinticinco centavos tengo? 14. (Inversiones) Un hombre invierte al 8% el doble de la can- tidad que destina al 5%. Su ingreso total anual por las dos inversiones es de $840. ¿Cuánto invirtió a cada tasa? 15. (Inversiones) Un colegio destina $60,000 a un fondo a fin de obtener ingresos anuales de $5000 para becas. Parte de esto se destinará a inversiones en fondos del gobierno a un 8% y el resto a depósitos a largo plazo a un 10.5%. ¿Cuán- to deberán invertir en cada opción con objeto de obtener el ingreso requerido? 16. (Inversiones) Los miembros de una fundación desean in- vertir $18,000 en dos tipos de seguros que pagan dividen- dos anuales del 9 y 6%, respectivamente. ¿Cuánto deberán invertir a cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% la inversión total? 72 CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE La mezcla debe contener 15% de alcohol, por lo que los 10,000 litros deberían con- tener 1 1 0 5 0 (10,000)  1500 litros de alcohol. Por tanto, tenemos la ecuación 1 3 0 5 0x  1 1 0(10,000  x)  1500 Resolviendo obtenemos las siguientes igualdades: 1 3 0 5 0 x  1000  1 1 0x . 1500 1 3 0 5 0x  1 1 0x . 1500  1000  500 35x  10x . 50,000 25x . 50,000 x .  50 2 ,0 5 00   2000 En consecuencia, 2000 litros de brandy y 8000 litros de vino deben mezclarse. ☛ 9 ☛ 9. En el ejemplo 7, si 400 litros de brandy se combinan con 600 litros de jerez, ¿cuál será el porcentaje de alcohol en la mezcla? Respuesta 23% EJERCICIOS 2-2 SECCIÓN 2-4 APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS 81 41. 7x  3(x2  5)  x  3 42. 2x(4x  1)  4  2x 43. x(x  1)(x  3)  (x  2)3 44. (x  1)3  (x  1)3  8x (45-68) Resuelva las siguientes ecuaciones por el método apro- piado. 45. 6x2  11 46. 5x2  7  0 47. 6x2  11x 48. 2(x2  1)  5x 49. 15x2  40(x  2) 50. (3x  5)(2x  3)  8 51. 3x(2x  5)  4x  3 52. (x  1)2  2x2 53. x2  2(x  1)(x  2) 54. 2x(x  1)  x2  1 55. 23x2  53x  x  1 56.  x 3 2   2x  1  x 57.  x 3 2    1 6 1 x  1 58. 5x2  72x  12x  1 59. 2x2  3x  1  0 60. x2  3x  2  0 61. 3x2  5x  3 62. 2x2  5x  2 63. (2x  3)(x  1)  (x  2)(x  1)  2 64. (3x  1)(x  2)  (2x  1)(x  3)  5 65. x4  3x2  4  0 66. 2x4  x2  1  0 67. 2x2/3  x1/3  1  0 68. x2/5  3x1/5  2  0 69. Resuelva s  ut  12 gt2 para t 70. Resuelva s   1  2a a2  para a 71. Resuelva A  2 R(R  H) para R 72. Resuelva A = 2x2  4xy para x 73. Si 2 es una raíz de x2 – kx  2  0, encuentre la otra raíz. 74. Si –1 es una raíz de 2x2  5x  k  0, encuentre la otra raíz. 75. Utilice la fórmula cuadrática para resolver la ecuación x2 – 2xy  1 – 3y2  0 a) Para x en términos de y b) Para y en términos de x 76. Utilice la fórmula cuadrática para resolver la ecuación 3x2 – 2y2  xy  1 a) Para x en términos de y b) Para y en términos de x EJEMPLO 1 Sue es 7 años mayor que Bobby. Si el producto de sus edades es 60, ¿cuál es la edad de Bobby? Solución Denótese con x la edad de Bobby. Entonces Sue tiene x  7 años. Es- tamos diciendo que el producto (Edad de Bobby) (Edad de Sue)  x(x  7)  60 Esto es, x2  7x – 60  0 lo cual se factoriza como (x – 5)(x  12)  0, de modo que x  5 o x  12. Pe- ro, x no puede ser negativa, por lo que la edad de Bobby es 5. EJEMPLO 2 Una caja sin tapa se fabricará a partir de una hoja rectangular de ho- ja de lata cortando, cuadrados de 4 pulgadas de cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Si el ancho de la caja es de 3 pulgadas menos que el largo y la caja con- tiene 280 pulgadas cúbicas, encuentre las dimensiones de la hoja de lata. 2-4 APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS Solución Si denotamos con x pulgadas el ancho de la caja, entonces su largo es (x  3) pulgadas y su altura 4 pulgadas. (Véase la figura 1). El volumen de la caja está dado por (Largo)(Ancho)(Altura)  (x  3)(x)(4)  4x(x  3) 82 CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE 4 x x + 34 4 x x + 3 FIGURA 1 Pero la caja contiene 280 pulgadas cúbicas, de modo que 4x(x  3)  280 Dividiendo ambos lados entre 4, tenemos x(x  3)  70 x2  3x – 70  0 (i) Comparando esto con la fórmula cuadrática ax2  bx  c  0 tenemos a  1, b  3, c  70. Entonces, por la fórmula cuadrática las raíces de (i) están dadas por x      o  7 o 10 Pero x  10 no es aceptable, ya que x representa el ancho de la caja, y el ancho no puede ser un número negativo. Así x  7. Las dimensiones de la hoja de lata antes de que le cortemos las esquinas son x  8 y (x  3)  8. Ya que x  7, las dimensiones son 15 y 18 pulgadas. ☛ 16 EJEMPLO 3 (Renta de apartamento) Steve es propietario de un edificio de apar- tamentos que tiene 60 departamentos. Él puede rentar todos los departamentos si co- 3  17  2 3  17  2 3 17  2 3 9  280  2 3 9  4(1)(70)  2(1) b b2 4ac  2a ☛ 16. Resuelva el ejemplo 2 si el ancho es 4 pulgadas menor que el largo, y el volumen es de 240 pulgadas cúbicas. Respuesta 14  18 pulgadas Solución Al final del primer año, el valor total, como se analizó anteriormente, es P1   1 R 00   4001   1 R 00  P1 Este nuevo capital total genera interés durante el segundo año, de modo que el va- lor de la inversión al final del segundo año es P11   1 R 00   4001   1 R 00 2 Así, tenemos que la ecuación cuadrática 4001   1 R 00 2  484 que se resolverá para R. No la escribimos en la forma estándar, sólo tomamos las raíces cuadradas de ambos lados: 1   1 R 00 2   4 4 8 0 4 0   1.21 de modo que 1   1 R 00   1.1 R no puede ser negativa, de modo que la solución con sentido es 1  R/100  1.1 o R  10. La tasa de interés es 10%. EJEMPLO 6 (Inversión) Una compañía desea reservar una suma de $1 millón pa- ra invertirlo a una tasa de interés y utilizarlo en una fecha posterior para liquidar dos emisiones de bonos que deberá pagar. Una año después que la suma se invirtió por primera vez, se requerirán $250,000 para la primer emisión; un año después, se ne- cesitarán $900,000 más para la segunda emisión. Determine la tasa de interés nece- saria para que la inversión sea suficiente para cubrir ambos pagos. Solución Sea R por ciento al año, la tasa de interés. Cuando se invierte a dicha tasa, el valor de la inversión después de 1 año es P1   1 R 00   (1 millón) 1   1 R 00   1   1 R 00  millones de dólares. En ese instante, se retiran 0.25 millones; por tanto, al inicio del segundo año, el monto aún invertido es (en millones) P  1   1 R 00   0.25  0.75   1 R 00  Después de un segundo año de interés, el valor de la inversión es P 1   1 R 00   0.75   1 R 00  1   1 R 00  Éste debe ser el monto (0.9 millones) necesario para pagar la emisión del segundo bono. Por tanto, llegamos a la ecuación 0.75   1 R 00  1   1 R 00   0.9 SECCIÓN 2-4 APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS 85 1. Determine dos números cuya suma sea 15 y la suma de sus cuadrados sea 137. 2. Determine dos enteros impares consecutivos cuyo produc- to sea 143. 3. Encuentre dos enteros consecutivos cuyo producto sea 132. 4. Encuentre dos enteros pares consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 100. 5. La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 13 centímetros. Determine los otros dos lados del triángu- lo, si su suma es 17 centímetros. 6. El diámetro de un círculo es 8 centímetros. ¿En cuánto de- be aumentar el radio para que el área aumente 33 centí- metros cuadrados? 7. El perímetro de un rectángulo es de 20 pulgadas y su área de 24 pulgadas cuadradas. Determine las longitudes de sus lados. 8. El perímetro de un rectángulo es 24 centímetros y su área es 32 centímetros cuadrados. Encuentre las longitudes de sus lados. 9. Se quitan cuadrados iguales de cada esquina de una hoja metálica rectangular cuyas dimensiones son 20 por 16 pul- gadas. Después los lados se doblan hacia arriba para for- mar una caja rectangular. Si la base de la caja tiene un área de 140 pulgadas cuadradas, determine el lado del cuadrado que se quitó de cada esquina. 10. Una caja con base cuadrada y sin tapa se construye a par- tir de una pieza cuadrada de metal cortando cuadrados de 2 pulgadas de cada esquina y doblando los lados hacia arri- ba. Encuentre las dimensiones de la hoja metálica, si el vo- lumen de la caja será de 50 pulgadas cúbicas. 11. Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 80 pies por segundo. La altura h (en pies) recorrida en t segundos está dada por la fórmula h  80t – 16t2 a) ¿Después de cuántos segundos la pelota alcanzará una altura de 64 pies? b) ¿Cuánto tiempo tardará la pelota en regresar al piso? 86 CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE Así, 0.75  1.75  1 R 00    1 R 00 2  0.9 Multiplicando ambos miembros por 1002 para eliminar las fracciones, llegamos a la ecuación 7500  175R  R2  9000 o bien, R2  175R – 1500  0 De la fórmula cuadrática (con a  1, b  175 y c  1500), encontramos el valor siguiente para R. R    1 2  [175 30,625  6000]   1 2  [175 36,625]   1 2  [175 191.4]  8.2 o bien 183.2 Claramente, la segunda solución no tiene sentido práctico, una tasa de interés difí- cilmente sería negativa. La solución que tiene sentido es R  8.2. De modo que la inversión debe devengar 8.2% anual, a fin de proporcionar suficientes fondos para pagar la emisión de bonos. 175 1752 4(1)(1500)  2(1) EJERCICIOS 2-4 En esta sección, estudiaremos algunas aplicaciones de las ecuaciones lineales y lí- neas rectas a problemas en la administración y la economía. Modelos de costo lineal En la producción de cualquier bien por una empresa, intervienen dos tipos de cos- tos; que se conocen como costos fijos y costos variables. A los costos fijos hay que enfrentarse sin importar la cantidad producida del artículo; es decir, no dependen del nivel de producción. Ejemplos de costos fijos son las rentas, intereses sobre présta- mos y salarios de administración. Los costos variables dependen del nivel de producción; es decir, de la canti- dad de artículos producidos. Los costos de los materiales y de la mano de obra son ejemplos de costos variables. El costo total está dado por Costo total  Costos variables  Costos fijos Consideremos el caso en que el costo variable por unidad del artículo es constante. En este caso, los costos variables totales son proporcionales a la cantidad de artículos producidos. Si m denota el costo variable por unidad, entonces los cos- tos variables totales al producir x unidades de artículos son de mx dólares. Si los costos fijos son de b dólares, se desprende que el costo total yc (en dólares) de pro- ducir x unidades está dado por Costo total  Costos totales variables  Costos fijos yc  mx  b (1) La ecuación (1) es un ejemplo de un modelo de costo lineal. La gráfica de la ecuación (1) es una línea recta cuya pendiente representa el costo variable por uni- dad y cuya ordenada al origen da los costos fijos. EJEMPLO 1 (Modelo de costo lineal) El costo variable de procesar un kilo de gra- nos de café es de 50¢ y los costos fijos por día son de $300. a) Dé la ecuación de costo lineal y dibuje su gráfica. b) Determine el costo de procesar 1000 kilos de granos de café en un día. Solución a) Si yc representa el costo (en dólares) de procesar x kilos de granos de café por día, se sigue que de acuerdo con el modelo lineal, yc  mc  b en donde m representa el costo variable por unidad y b es el costo fijo. En nuestro caso, m  50¢  $0.50 y b  $300. Por tanto, yc  0.5x  300 Con la finalidad de dibujar la gráfica de la ecuación (2), primero encontramos dos puntos en ella. 140 CAPÍTULO 4 LÍNEAS RECTAS 4-3 APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES EJEMPLO 3 (Depreciación) Una empresa compra maquinaria por $150,000. Se espera que el tiempo de vida útil de la maquinaria sea de 12 años con un valor de desecho de cero. Determine el monto de depreciación anual y una fórmula para el valor depreciado después de x años. Solución Depreciación por año  (Precio de adquisición inicial) (Vida útil en años)  (150,000 dólares) (12 años)  12,500 dólares Valor después de x años  (Valor inicial)  (Depreciación por año)(Número de años)  (150,000 dólares)  (12,500 dólares por año)(x años)  150,000  12,500x dólares La gráfica de esta relación aparece en la figura 20. ☛ 14 SECCIÓN 4-3 APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES 143 ☛ 14. Una compañía está utili- zando una depreciación lineal para calcular el valor de su planta re- cientemente construida. Después de 2 años está valuada en $8.8 millo- nes y después de 6 años en $7.2 millones. ¿Cuál fue el costo inicial y después de cuántos años el valor se depreciará a cero? Respuesta $9.6 millones, 24 años. Oferta y demanda Las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cual- quier análisis económico. La cantidad x de cualquier artículo que será adquirida por los consumidores depende del precio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores están dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de la demanda. La ley más simple es una relación del tipo p  mx  b (4) en donde p es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes. La gráfica de una ley de demanda se llama curva de demanda. Obsérvese que p se ha expresado en términos de x. Esto nos permite calcular el nivel de precio en que cierta cantidad x puede venderse. Es un hecho perfectamente conocido que si el precio por unidad de un artícu- lo aumenta, la demanda por el artículo disminuye, porque menos consumidores po- 150,000 100,000 50,000 0 2 4 6 8 10 12 x Valor FIGURA 20 drán adquirirlo, mientras que si el precio por unidad disminuye (es decir, el artículo se abarata) la demanda se incrementará. En otras palabras, la pendiente m de la re- lación de demanda de la ecuación (1) es negativa. De modo que la gráfica de la ecua- ción tiene una inclinación que baja hacia la derecha, como se aprecia en la parte a) de la figura 21. Puesto que el precio p por unidad y la cantidad x demandada no son números negativos, la gráfica de la ecuación (4) sólo debe dibujarse en el primer cuadrante. La cantidad de un artículo determinado que sus proveedores están dispuestos a ofrecer depende del precio al cual puedan venderlo. Una relación que especifique la cantidad de cualquier artículo que los fabricantes (o vendedores) puedan poner en el mercado a varios precios se denomina ley de la oferta. La gráfica de una ecua- ción de la oferta (o ley de la oferta) se conoce como curva de la oferta. 144 CAPÍTULO 4 LÍNEAS RECTAS p b p p1 x xx00 Curva de demanda lineal a) Curva de oferta lineal b) FIGURA 21 En general, los proveedores inundarán el mercado con una gran cantidad de artículos, si pueden ponerle un precio alto, y con una cantidad más pequeña de ar- tículos si el precio obtenido es más bajo. En otras palabras, la oferta aumenta al subir el precio. Una curva de oferta lineal típica aparece en la parte b) de la figura 21. El precio p1 corresponde a un precio bajo del cual los proveedores no ofrecerán el artículo. EJEMPLO 4 (Demanda) Un comerciante puede vender 20 rasuradoras eléctricas al día al precio de $25 cada una, pero puede vender 30 si les fija un precio de $20 a cada rasuradora eléctrica. Determine la ecuación de demanda, suponiendo que es li- neal. Solución Considerando la cantidad x demandada como la abscisa (o coordenada x) y el precio p por unidad como la ordenada (o coordenada y) los dos puntos sobre la curva de demanda tienen coordenadas. x  20, p  25 y x  30, p  20 De modo que los puntos son (20, 25) y (30, 20). Dado que la ecuación de demanda es lineal, está dada por la ecuación de una línea recta que pasa por los puntos (20, 25) y (30, 20). La pendiente de la línea que une estos puntos es m   2 3 0 0  2 2 0 5    1 5 0   0.5 Por la fórmula punto-pendiente, la ecuación de la línea que pasa por (20, 25) con pendiente m  0.5 es y  y1  m(x  x1) Dado que y  p, tenemos que p  25  0.5x(x  20) p  0.5x  35 que es la ecuación de demanda requerida. (Véase la figura 22). ☛ 15 SECCIÓN 4-3 APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES 145 FIGURA 22 ☛ 15. Cuando el precio por uni- dad es $10, la oferta será de 80 unidades diarias, mientras que será de 90 unidades a un precio unitario de $10.50. Determine la ecuación de oferta, suponiendo que es lineal. Dibuje la curva de oferta 40 20 4020 60 (0, 35) (70,0) x p Tasa de sustitución Con frecuencia, los planeadores tienen que decidir entre diferentes maneras de asig- nar recursos limitados. Por ejemplo, un fabricante tiene que asignar la capacidad de la planta entre dos productos diferentes. Si la relación entre las cantidades de los dos productos es lineal, la pendiente de su gráfica puede interpretarse como la tasa de sustitución de un producto por otro. Considere el ejemplo siguiente. EJEMPLO 5 (Decisión de tránsito) El gobierno de una ciudad tiene un presupues- to de $200 millones de capital para gasto sobre transporte, e intenta utilizarlo para construir metros subterráneos o carreteras. Cuesta $2.5 millones por milla construir carreteras y $4 millones por milla para metros subterráneos. Encuentre la relación entre el número de millas de carretera y de subterráneo que puede construirse para utilizar por completo el presupuesto disponible. Interprete la pendiente de la rela- ción lineal que se obtiene. Solución Suponga que se construyen x millas de carretera y y millas de subterrá- neo. El costo de construir x millas de carretera a $2.5 millones por milla es 2.5x mi- llones de dólares y el costo de construir y millas de subterráneo a $4 millones por Respuesta p   2 1 0  x  6 23. (Zoología) El peso promedio W de la cornamenta de un ciervo está relacionada con la edad del ciervo aproximada- mente por la ecuación W  mA  c. Para ciertas especies se ha encontrado que cuando A  30 meses, W  0.15 ki- logramos; mientras que cuando A  54 meses, W  0.36 kilogramos; Encuentre m y c y calcule la edad en la cual W alcanza 0.5 kilogramos. 24. (Agricultura) En los últimos 40 años el rendimiento promedio y (en bushels por acre) de maíz en Estados Uni- dos se ha incrementado con el tiempo t aproximadamente mediante la ecuación y  mt  c. En 1950 el rendimiento promedio era de 38 bushels por acre, mientras que en 1965 fue de 73. Calcule m y c. (Tome t  0 en 1950.) Estime cuál será el rendimiento promedio en 1990 suponiendo que la misma ecuación sigue siendo válida. 25. (Planeación dietética) En un hospital un paciente que está a dieta de líquidos tiene que escoger jugo de ciruela o jugo de naranja para satisfacer su requerimiento de tiamina que es de 1 miligramo diario. Una onza de jugo de ciruela con- tiene 0.05 miligramos de tiamina y 1 onza de jugo de naranja contiene 0.08 miligramos de tiamina. Si consume x onzas de jugo de ciruela y y onzas de jugo de naranja dia- riamente. ¿Cuál es la relación entre x y y que satisface exactamente el requerimiento de tiamina? 26. (Planeación dietética) Un individuo que está bajo una dieta estricta planea desayunar cereal, leche y un huevo cocido. Después del huevo, su dieta le permite 300 calorías para esa comida. Una onza de leche contiene 20 calorías y 1 onza (alrededor de una taza llena) de cereal (más azúcar) contiene 160 calorías. ¿Cuál es la relación entre el número de onzas de leche y el de cereal que puede consumir? 148 CAPÍTULO 4 LÍNEAS RECTAS 4-4 SISTEMAS DE ECUACIONES Una gran cantidad de problemas en negocios y economía desembocan en los deno- minados sistemas de ecuaciones lineales. Por ejemplo, consideremos la siguiente si- tuación. El propietario de una tienda de televisores desea expandir su negocio com- prando y poniendo a la venta dos nuevos modelos de televisores que acaban de salir al mercado. Cada televisor del primer tipo cuesta $300 y cada televisor del segundo ti- po $400. Cada televisor del primer tipo ocupa un espacio de 4 pies cuadrados, mientras que cada uno del segundo tipo ocupa 5 pies cuadrados. Si el propietario sólo tiene disponibles $2000 para su expansión y 26 pies cuadrados de espacio, ¿cuán- tos modelos de cada tipo deberá comprar y poner a la venta haciendo uso completo del capital disponible y del espacio? Supóngase que el propietario compra x televisores del primer modelo y y del segundo. Entonces, le cuesta $300x comprar el primer modelo y $400y comprar el se- gundo tipo de televisores. Dado que la cantidad total que ha de gastar es de $2000, es necesario que 300x  400y  2000 (i) Asimismo, la cantidad de espacio ocupada por los dos tipos de televisores es de 4x pies cuadrados y 5y pies cuadrados, respectivamente. El espacio total disponible pa- ra los dos modelos es de 26 pies cuadrados. Por tanto 4x  5y  26 (ii) Para encontrar el número de televisores de cada modelo que deberá comprar y poner a la venta, debemos resolver las ecuaciones (i) y (ii) para x y y. Es decir, de- bemos encontrar los valores de x y y que satisfagan a la vez las ecuaciones (i) y (ii). Obsérvese que cada una de ellas es una ecuación lineal en x y y. DEFINICIÓN Un sistema de ecuaciones lineales con dos variables x y y consta de dos ecuaciones del tipo a1x  b1y  c1 (1) a2x  b2y  c2 (2) de donde a1, b1, c1, a2, b2 y c2 son seis constantes. La solución del sistema definido por las ecuaciones (1) y (2) es el conjunto de los valores de x y y que satisfacen am- bas ecuaciones. Las ecuaciones (i) y (ii) forman uno de tales sistemas de ecuaciones lineales. Si identificamos la ecuación (i) con la ecuación (1) y la ecuación (ii) con la ecua- ción (2), las seis constantes tienen los valores a1  300, b1  400, c1  2000, a2  4, b2  5 y c2  26. Nuestro principal interés en esta sección es resolver sistemas de ecuaciones li- neales en forma algebraica. La solución por el uso de métodos algebraicos requiere la eliminación de una de las variables, x o y, de las dos ecuaciones; esto nos permi- te determinar el valor de la otra variable. La eliminación de una de las variables pue- de lograrse por sustitución o sumando un múltiplo apropiado de una ecuación a la otra. Los dos procedimientos se ilustran en el ejemplo 1. EJEMPLO 1 Resuelva las dos ecuaciones que resultan del problema formulado al inicio de esta sección. 300x  400y  2000 (i) 4x  5y  26 (ii) Solución (Método de sustitución) En este caso, despejamos x o y (lo que sea más sencillo) de una de las ecuaciones y sustituimos el valor de esta variable en la otra ecuación. De la ecuación (ii) (despejando x), tenemos 4x  26  5y x   26  4 5y  (iii) Sustituimos este valor de x en la ecuación (i) y despejamos y. 30026  4 5y   400y . 2000 75(26  5y)  400y . 2000 1950  375y  400y . 2000 25y  200  1950 . 50 y . 2 Sustituyendo y  2 en la ecuación (iii) tenemos que x  14(26  10)  4 SECCIÓN 4-4 SISTEMAS DE ECUACIONES 149 En consecuencia, la solución del sistema de ecuaciones (i) y (ii) es x  4 y y  2. En otras palabras, el comerciante deberá comprar 4 televisores del primer tipo y 2 del segundo, si emplea todo el espacio disponible y utiliza todo su capital. ☛ 16 Solución alternativa (Método de eliminación) 300x  400y  2000 (i) 4x  5y  26 (ii) De acuerdo con este método, hacemos que los coeficientes de x o y en las dos ecuaciones tengan exactamente la misma magnitud y signos opuestos; luego suma- mos las dos ecuaciones para eliminar una de las variables. Obsérvese que si multi- plicamos ambos lados de la ecuación (ii) por 80, hacemos que el coeficiente de y tenga la misma magnitud que el de la ecuación (i), pero con el signo opuesto. La ecuación se transforma en 320x  400y  2080 (iv) Recordemos que la ecuación (i) es 300x  400y  2000 Cuando sumamos estas dos ecuaciones; los términos en y se cancelan y obtenemos (320x  400y)  (300x  400y)  2080  2000 (v) o bien 20x  80 x  4 Sustituyendo x  4 en una de las ecuaciones [usamos la ecuación (ii)], tenemos que 16  5y . 26 5y . 26  16  10 y . 2 Así que, la solución es x  4 y y  2, la misma que se obtuvo por el primer método. ☛ 17 Observación Las operaciones requeridas en estos dos métodos no alteran las soluciones. Por ejemplo, cualesquiera x y y que satisfagan la ecuación (ii) también satisfarán la ecuación (iv); cualesquiera x y y que satisfagan a la vez la ecuaciones (i) y (iv) también satisfarán la ecuación (v), etc. En consecuencia, los métodos pro- ducen valores de x y y que son soluciones de la pareja original de ecuaciones. EJEMPLO 2 Resuelva el sistema siguiente:  x  3 y    y  4 1   4x  7 5y   x  7 150 CAPÍTULO 4 LÍNEAS RECTAS ☛ 16. Resuelva el sistema si- guiente usando la primer ecuación para sustituir y en la segunda: 3x – y  7; 2x  4y  14 ☛ 17. Resuelva el sistema siguiente eliminando x por medio del método de suma: x  y  3; 2x  3y  11 Respuesta Multiplique la primera ecuación por –2, luego súmela a la segunda. La solución es x  2, y  5 Respuesta Sustituya y  3x – 7 La solución es x  3, y  2 líneas, y de aquí, dan una solución al sistema dado. Esta solución es única, por- que si las dos líneas se intersecan, lo hacen en un solo punto. (Véase la parte a) de la figura 24). SECCIÓN 4-4 SISTEMAS DE ECUACIONES 153 y L, M x0 c) y L x 0 b) M y L x0 a) M x0 y0 (x0, y0) FIGURA 24 2. Las líneas L y M son paralelas. En este caso, las líneas no se cortan y no hay nin- gún punto sobre ambas. Por lo que no habrá valores de x y de y que satisfagan ambas ecuaciones. En otras palabras, en este caso las ecuaciones no tienen solu- ción. (Véase la parte b) de la figura 24). 3. Las líneas L y M coinciden. En tal caso, cada punto sobre la línea L también es- tá sobre la línea M. En esta situación, el sistema tiene un número infinito de so- luciones; es decir, cada pareja ordenada (x, y) sobre L ( M). (Véase la parte c) de la figura 24). EJEMPLO 3 Resuelva el sistema de ecuaciones siguiente: x  2y  4 3x  6y  8  0 Solución Resolvamos la primera ecuación para x: x  4  2y Luego, sustituyamos este valor de x en la segunda ecuación y simplifiquemos. 3(4  2y)  6y  8  0 12 6y  6y  8  0 4  0 Esto es imposible. Por tanto, las ecuaciones no tienen solución. Esto se ilustra grá- ficamente en la figura 25. En este caso las dos líneas rectas son paralelas y no se intersectan. Podemos ver esto de inmediato escribiendo las ecuaciones dadas en la forma pendiente-ordenada al origen. y  12x  2 y  12x  43 Las dos líneas tienen la misma pendiente (12) pero distintas ordenadas al origen. En consecuencia, las dos líneas son paralelas, sin punto de intersección común. EJEMPLO 4 Resuelva el sistema de ecuaciones. 2x  3y  6 (i)  3 x    2 y   1 (ii) Solución Multiplicamos ambos lados de la segunda ecuación por 6, y obtenemos 2x  3y  6 Sumando esta ecuación con la primera, resulta 0  0 una ecuación que siempre es válida. Escribiendo las dos ecuaciones en la forma pendiente-ordenada al origen, en- contramos que se reducen a la ecuación: y  23x  2 Dado que las dos ecuaciones son idénticas, las dos líneas coinciden en este caso y las dos ecuaciones dadas son equivalentes. En realidad, la ecuación (ii) puede ob- tenerse de la ecuación (i) multiplicando la última por 16. En este caso, tenemos un número infinito de soluciones: cualquier pareja de valores (x, y) que satisfaga la ecuación (i) dará una solución. Por ejemplo, una de tales parejas es (6, 2), otra es (0, 2). ☛ 19, 20 El método de sustitución a menudo es útil cuando tenemos un sistema de ecuaciones donde una ecuación es lineal y la otra no. EJEMPLO 5 Resuelva el sistema de ecuaciones siguiente: 2x  y  3 x2  y2  5 154 CAPÍTULO 4 LÍNEAS RECTAS y x 2 1 2 40 1 3x  6y 8  0 x  2y  4 FIGURA 25 ☛ 19. ¿Cuántas soluciones tiene cada uno de los sistemas siguientes? a) x  3y  1, y   1 3  x  1 b) 3y  5x  2 x  y  2  4(y  x  1) ☛ 20. ¿Para qué valores de c el sistema siguiente no tiene solución y para cuáles tiene un número infi- nito de soluciones? 2y  x  6  0, y  c  x 1  2 Respuesta a) Ninguna solución; b) un número infinito de soluciones. Respuesta Si c 3, no tiene solución; si c  3 tiene un núme- ro infinito de soluciones. Solución En este sistema, una de las ecuaciones no es lineal. El método de solu- ción consiste en la eliminación de una de las dos variables, x o y, de las dos ecua- ciones. De la primera ecuación, tenemos y  2x  3 Sustituimos este valor de y en la segunda ecuación y simplificamos. x2  (2x  3)2  5 x2  4x2  12x  9  5 5x2  12x  4  0 La factorización que resulta es (x  2)(5x  2)  0 Por tanto, tenemos las posibilidades x  2  0 o bien 5x  2  0 x  2 x  25 Ahora, sustituimos estos valores en la ecuación que usamos al principio para susti- tuir por y, a saber* y  2x – 3. y  2x  3 y  2x  3  2(2)  3  225  3 1  15 1 En consecuencia, hay dos soluciones: x  2, y  1 y x  25, y  15 1. ☛ 21 Continuamos con la resolución de un problema aplicado que requiere ecua- ciones simultáneas. EJEMPLO 6 (Mezclas) La tienda El Sol, que se especializa en todo tipo de fritu- ras, vende cacahuates a $0.70 la libra y almendras a $1.60 la libra. Al final de un mes, el propietario se entera de que los cacahuates no se venden bien y decide mezclar cacahuates con almendras para producir una mezcla de 45 libras, que venderá a $1.00 la libra. ¿Cuántas libras de cacahuates y de almendras deberá mezclar para mantener los mismos ingresos? Solución Sea x las libras de cacahuates que la mezcla contiene y y las libras co- rrespondientes de almendras. Dado que el peso total de la mezcla es de 45 libras, x  y  45 El ingreso de x libras de cacahuates a $0.70 la libra es de 0.7x dólares y el ingreso SECCIÓN 4-4 SISTEMAS DE ECUACIONES 155 ☛ 21. Utilice sustitución para resolver el sistema x  2y  8, xy  6 Respuesta Dos soluciones: x  2, y  3 y x  6, y  1 *Sería incorrecto sustituir los valores de x en la ecuación no lineal. 26. (Asignación de máquinas) Una empresa fabrica dos pro- ductos, A y B. Cada producto tiene que ser procesado por dos máquinas, I y II. Cada unidad del tipo A requiere 1 ho- ra de procesamiento de la máquina I y 1.5 horas por la má- quina II y cada unidad del tipo B requiere de 3 horas en la máquina I y 2 horas en la máquina II. Si la máquina I está disponible 300 horas al mes y la máquina II 350 horas, ¿cuántas unidades de cada tipo podrá fabricar al mes si uti- liza el tiempo total que dispone en las dos máquinas? 27. (Decisiones de adquisición) Una compañía trata de adqui- rir y almacenar dos tipos de artículos, X y Y. Cada artículo X cuesta $3 y cada artículo Y cuesta $2.50. Cada artículo X ocupa 2 pies cuadrados del espacio del piso y cada artícu- lo Y ocupa un espacio de 1 pie cuadrado del piso. ¿Cuán- tas unidades de cada tipo pueden adquirirse y almacenarse si se dispone de $400 para la adquisición y 240 pies cua- drados de espacio para almacenar estos artículos? 28. (Mezcla de cafés) Una tienda vende dos tipos de café, uno a $2.00 el kilo y el otro a $1.50 por la misma cantidad. El propietario de la tienda produce 50 kilos de una nuevo pro- ducto de café mezclando estos dos tipos y vendiéndolo a $1.60 el kilo. ¿Cuántos kilos de café de cada tipo deberá mezclar para no alterar los ingresos? 29. (Mezclas) Un almacén de productos químicos tiene dos ti- pos de soluciones ácidas. Una de ellas contiene 25% de ácido y la otra contiene 15%. ¿Cuántos galones de cada tipo deberá mezclar para obtener 200 galones de una mez- cla que contenga 18% de ácido? 30. (Política tributaria de los ingresos) La Secretaría de Ha- cienda fija cierta tasa de impuestos a los primeros $5000 de ingresos gravables, y una tasa diferente sobre los ingresos gravables por encima de los $5000 pero menores que $10,000. El gobierno desea fijar las tasas de impuestos en tal forma que una persona con un ingreso gravable de $7000 tenga que pagar $950 en impuestos; mientras que otra con un ingreso gravable de $9000 deba pagar $1400 de im- puestos. Encuentre las dos tasas. 31. (Plantilla de personal) Cierta compañía emplea 53 perso- nas en dos sucursales. De esta gente, 21 son universitarios graduados. Si una tercera parte de las personas que laboran en la primera sucursal; y tres séptimos de los que se en- cuentran en la segunda sucursal, son universitarios gradua- dos, ¿cuántos empleados tiene cada oficina? 32. (Inversiones) Una persona invierte un total de $25,000 en tres diferentes inversiones al 8, 10 y 12%. Los intereses to- tales al cabo de un año fueron de $2440 y los intereses por las inversiones al 8 y 12% fueron iguales. ¿Cuánto invirtió a cada tasa? 33. (Decisiones de producción) Una planta de fertilizantes produce tres tipos de fertilizantes. El tipo A contiene 25% de potasio, 45% de nitrato y 30% de fosfato. El tipo B con- tiene 15% de potasio, 50% de nitrato y 35% de fosfato. El tipo C no contiene potasio, tiene 75% de nitrato y 25% de fosfato. La planta tiene suministros de 1.5 toneladas diarias de potasio, 5 toneladas al día de nitrato y de 3 toneladas al día de fosfato. ¿Qué cantidad de cada tipo de fertilizante deberá producir de modo que agote los suministros de in- gredientes? 34. (Ecología) Un pez de la especie 1 consume por día 10 gra- mos de comida 1 y 5 gramos de comida 2. Un pez de la es- pecie 2 consume por día 6 gramos de comida 1 y 4 gramos de comida 2. Si un medio ambiente dado tiene 2.2 kilogra- mos de comida 1 y 1.3 kilogramos de comida 2 disponible diariamente, ¿qué tamaño de población de las dos especies consumirá toda la comida disponible? 35. (Ecología) Tres especies distintas de pájaros comen pul- gones de diferentes partes de los árboles. La especie 1 se alimenta la mitad del tiempo en los niveles altos y la otra mitad del tiempo en los niveles medios de los árboles. La especie 2 se alimenta la mitad en los niveles medios y la mi- tad en los niveles bajos. La especie 3 se alimenta sólo en los niveles bajos. Hay igual cantidad de pulgones aprove- chables en los niveles medios y bajos, pero solamente la mitad correspondiente en los niveles superiores. ¿Qué ta- maño relativo deben tener las poblaciones de las tres espe- cies de manera que el suministro de pulgones se consuma por completo? 158 CAPÍTULO 4 LÍNEAS RECTAS 4-5 APLICACIONES A ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA En esta sección analizaremos algunas aplicaciones importantes de los sistemas de ecua- ciones. Análisis del punto de equilibrio Si el costo total yc de producción excede al de los ingresos yI obtenidos por las ventas, entonces el negocio sufre una pérdida. Por otra parte, si los ingresos sobrepasan los costos, existe una utilidad. Si el costo de producción es igual a los ingresos obtenidos por las ventas, no hay utilidad ni pérdida, de modo que el negocio está en el punto de equilibrio. El número de unidades producidas y vendidas en este caso se deno- mina punto de equilibrio. EJEMPLO 1 (Análisis del punto de equilibrio) Para un fabricante de relojes, el costo de mano de obra y de los materiales por reloj es de $15 y los costos fijos son de $2000 al día. Si vende cada reloj a $20, ¿cuántos relojes deberá producir y vender cada día con objeto de garantizar que el negocio se mantenga en el punto de equilibrio? Solución Sea x el número de relojes producidos y vendidos cada día. El costo total de producir x relojes es yc  Costos variables totales  Costos fijos  15x  2000 Dado que cada reloj se vende a $20, el ingreso yI obtenido por vender x relojes es yI  20x El punto de equilibrio se obtiene cuando los ingresos son iguales a los costos, es decir, 20x  15x  2000 Obtenemos que 5x  2000 o x  400. De modo que deberá producir y vender al día 400 relojes para garantizar que no haya utilidades ni pérdidas. La figura 26 da una interpretación gráfica del punto de equilibrio. Cuando x  400, el costo yc excede a los ingresos yI y hay pérdidas. Cuando x  400, los ingresos yI exceden los costos yc de modo que se obtiene una utilidad. Obsérvese que gráficamente, el punto de equilibrio corresponde a la intersec- ción de las dos líneas rectas. Una de las líneas tiene la ecuación y  15x  2000, la que corresponde al costo de producción, y la otra tiene la ecuación y  20x, la que corresponde a los ingresos. ☛ 23 SECCIÓN 4-5 APLICACIONES A ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA 159 ☛ 23. Si los costos fijos son $5000 semanales, los costos varia- bles son $21 por unidad y el precio de venta es $46 por unidad, deter- mine el punto de equilibrio Respuesta 200 unidades semanales 12,000 8,000 4,000 200 400 600 x y Punto de equilibrio yI  20x yc  15x  2000 Utilid ad FIGURA 26 EJEMPLO 2 (Análisis del punto de equilibrio) Supóngase que el costo total diario (en dólares) de producir x sillas está dado por yc  2.5x  300 a) Si cada silla se vende a $4, ¿cuál es el punto de equilibrio? b) Si el precio de venta se incrementa a $5 por silla, ¿cuál es el nuevo punto de equilibrio? c) Si se sabe que al menos 150 sillas pueden venderse al día, ¿qué precio deberá fijarse con el objeto de garantizar que no haya pérdidas? Solución El costo está dado por yc  2.5x  300 a) Si cada silla se vende a $4, el ingreso (en dólares) obtenido por la venta de x sillas es yI  4x En el punto de equilibrio tenemos que yc  yI; es decir, 4x  2.5x  300 Así, 1.5x  300 o x  200. El punto de equilibrio está en 200 sillas. b) Si el precio de venta se incrementa a $5 por silla, el ingreso en este caso es yI  5x En el punto de equilibrio yI  yc, de modo que 5x  2.5x  300 En consecuencia, 2.5x  300 o x  120. Con el nuevo precio de venta, el punto de equilibrio es de 120 sillas. c) Sea p dólares el precio fijado a cada silla. Entonces, los ingresos obtenidos por la venta de 150 sillas es yI  150p y el costo de producir 150 sillas es yc  2.5(150)  300  675. Con la finalidad de garantizar una situación de equili- brio debemos tener que yI  yc; es decir, 150p  675 o p  4.50 Por tanto, el precio fijado a cada silla debe ser $4.50 con el propósito de garantizar que no haya ganancias ni pérdidas (en el peor de los casos), si al menos se venden al día 150 sillas. Debe señalarse que cuando un economista utiliza una relación lineal para describir la dependencia entre dos variables, no se puede afirmar que la verdadera relación pueda ser lineal, sino más bien, que una relación lineal es una buena apro- ximación de los datos observados sobre el rango que nos interesa. Si los datos observados se encuentran sobre o cerca de una línea recta, podemos usar una 160 CAPÍTULO 4 LÍNEAS RECTAS Fácilmente se ve que la solución es x  4. Sustituyendo x  4 en la ecuación (1), resulta p  25  8  17 En consecuencia, el precio de equilibrio es 17 y la cantidad de equilibrio es de 4 uni- dades. Las gráficas de las curvas de la oferta y la demanda aparecen en la siguiente figura. SECCIÓN 4-5 APLICACIONES A ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA 163 ☛ 25. Si la ley de la demanda es 2p  3x  36 y la ley de la oferta es 2p  x  12, grafique las curvas de la oferta y la demanda y deter- mine el punto de equilibrio del mercado. Respuesta x  6, p  9 EJEMPLO 5 Si las ecuaciones de la demanda y la oferta son, respectivamente, D: 3p  5x  22 (3) S: 2p  3x  2x (4) determine los valores de x y p en el punto de equilibrio del mercado. Solución Las ecuaciones (3) y (4) forman un sistema de ecuaciones lineales en las variables x y p. Resolvamos este sistema por el método de eliminación. Multiplican- do ambos lados de la ecuación (3) por 3 y los dos miembros de la ecuación (4) por 5, obtenemos 9p  15x  66 10p  15x  10 Enseguida sumamos estas dos ecuaciones y simplificamos. 9p  15x  10p  15x  66  10 19p  76 Así que, p  4. Sustituyendo este valor de p en la ecuación (3), obtenemos 3(4)  5x  22 Por tanto, x  2. El punto de equilibrio del mercado ocurre cuando p  4 y x  2. ☛ 25 Como la mayoría de las relaciones lineales en economía, las ecuaciones linea- les de demanda y oferta dan una representación aproximada de las relaciones exac- p x Oferta 30 20 10 Demanda 4 8 (4, 17) p  3x  5 p  25
2x FIGURA 28 p 16 20 12 8 4 4 8 12 16 x (6, 9) 2p + 3x = 36 2p = x + 12 tas entre precio y cantidad, y surgen casos en que tales aproximaciones lineales no son adecuadas. La determinación del punto de equilibrio del mercado, cuando la ecuación de demanda o la ecuación de la oferta (o ambas) no son lineales, pueden requerir cálculos muy complicados. EJEMPLO 6 (Punto de equilibrio del mercado) La demanda para los bienes pro- ducidos por una industria están dados por la ecuación p2  x2  169, en donde p es el precio y x es la cantidad demandada. La oferta está dada por p  x  7. ¿Cuáles son el precio y la cantidad del punto de equilibrio? Solución El precio y la cantidad del punto de equilibrio son los valores positivos de p y x que satisfacen a la vez las ecuaciones de la oferta y la demanda. p2  x2  169 (5) p  x  7 (6) Sustituyendo el valor de p de la ecuación (6) en la ecuación (5) y simplificando, re- sulta: (x  7)2  x2  169 2x2  14x  49  169 x2  7x  60  0 Factorizando, encontramos que (x  12)(x  5)  0 lo cual da x  12 o 5. El valor negativo de x es inadmisible, de modo que x  5. Sustituyendo x  5 en la ecuación (6), p  5  7  12 En consecuencia, el precio de equilibrio es 12 y la cantidad de equilibrio es 5. Impuestos especiales y punto de equilibrio del mercado Con frecuencia, el gobierno grava con impuestos adicionales ciertos artículos con el propósito de obtener más ingresos o dar más subsidios a los productores, para que hagan accesibles estos artículos a los consumidores a precios razonables. Conside- raremos el efecto de un impuesto adicional o subsidio sobre el punto de equilibrio del mercado con las suposiciones siguientes: 1. La cantidad demandada por los consumidores sólo depende del precio de merca- do. Denote este precio pagado por los consumidores mediante pc. 2. La cantidad ofrecida por los proveedores está determinada por el precio recibido por ellos. Denote este precio por medio de ps. 3. El precio pagado por los consumidores iguala al precio recibido por los provee- dores más el impuesto t por unidad: pc  ps  t. Si, en lugar de eso, se da un sub- sidio de s por unidad, entonces pc  ps – s. 164 CAPÍTULO 4 LÍNEAS RECTAS EJEMPLO 7 (Subsidio y punto de equilibrio del mercado) La ley de la demanda para cierto artículo es 5p  2x  200 y la ley de la oferta es p  45x  10. a) Determine el precio y cantidad de equilibrio. b) Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio después de que se ha fijado un impuesto de 6 por unidad. Determine el incremento en el precio y la disminución en la cantidad demandada. c) ¿Qué subsidio provocará que la cantidad demandada se incremente en 2 unidades? Solución Las ecuaciones de demanda y de oferta son las siguientes: D: 5p  2x  200 (7) S: p  45x  10 (8) a) Sustituyendo el valor de p de la ecuación (8) en la ecuación (7) y simplifi- cando obtenemos las ecuaciones: 5(45x  10)  2x  200 4x  50  2x  200 6x  150 x  25 Por tanto, de la ecuación (8), p  45(25)  10  20  10  30 En consecuencia, el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio antes del grava- men son p  30 y x  25 b) Sea pc el precio pagado por los consumidores y ps el precio recibido por los proveedores. Entonces las ecuaciones (7) y (8) se transforman en D: 5pc  2x  200 (9) S: p  45x  10 (10) Si se cobra un impuesto de 6 por unidad, entonces pc  ps  6, de modo que la ecua- ción de oferta puede escribirse como S: pc  6  45x  10 o pc  45x  16 (11) Sustituyendo el valor de pc de la ecuación (11) en la ecuación (9), obtenemos 5(45 x  16)  2x  200 La solución es x  20. Por tanto, de la ecuación (11), pc  45(20)  16  32 SECCIÓN 4-5 APLICACIONES A ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA 165 pc pc = x + 16 40 40 20 10 2010 4030 x (25, 30) (20, 32) 5pc + 2x = 200 4 5 pc = x + 104 5 Respuesta En el plano de x y precio del consumidor, pc, el efecto de los impuestos, es mover la curva de la oferta hacia arriba. 266 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS Una sucesión es una lista ordenada de números. Por ejemplo, 2, 5, 8, 11, 14, . . . (1) 3, 6, 12, 24, 48, . . . (2) son ejemplos de sucesiones. En la sucesión (1), el primer término es 2, el segun- do término es 5, etc. Puede observarse que cada término se obtiene sumando 3 al término anterior. En la sucesión (2), el primer término es 3 y el cuarto es 24, y cual- quier término puede obtenerse duplicando el anterior. Sucesiones de estos tipos apa- recen en muchos problemas, en particular en matemáticas financieras. Una sucesión es finita si contiene un número limitado de términos, es decir, si la sucesión tiene un último término. Si no hay un último término en la sucesión, se denomina sucesión infinita. Los términos de una sucesión se denotarán por T1, T2, T3, etc. Así, por ejemplo, T7 denotará al séptimo término, T10 al décimo y Tn al n-ésimo término. El n-ésimo término de una sucesión por lo regular se conoce co- mo el término general. ☛ 1 7-1 PROGRESIONES ARITMÉTICAS E INTERÉS SIMPLE ☛ 1. Para la sucesión 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, ¿cuáles son T2 y T5? ¿La sucesión es finita? Respuesta 1 y 3. Sí. Supóngase que el señor Muñiz pide al banco la cantidad de $5000 a un interés del 1% mensual. Él está de acuerdo en pagar $200 al capital cada mes, más el interés en el balance. Al final del primer mes, paga $200 más el interés de $5000 al 1% mensual, que son $50. En consecuencia, el primer pago es de $250 y sólo le debe $4800 al banco. Al término del segundo mes, paga $200 al capital más los intereses sobre $4800, los cuales son de $48 al 1% mensual. Por tanto, su segundo pago es de $248. Continuando en esta forma, sus pagos sucesivos (en dólares) son 250, 248, 246, 244, . . . , 202 Esta sucesión es un ejemplo de una progresión aritmética. DEFINICIÓN Una sucesión se dice que es una progresión aritmética (PA) si la diferencia entre cualquier término y el anterior es la misma a lo largo de toda la su- cesión. La diferencia algebraica entre cada término y el anterior se denomina dife- rencia común y se denota por d. La sucesión de pagos del señor Muñiz es una PA porque la diferencia entre cualquier término y el anterior es 2. Esta PA tiene 250 como su primer término y 2( 248  250) como su diferencia común. De manera similar, 2, 5, 8, 11, 14, . . . , es una PA cuyo primer término es 2 y con diferencia común 3. Si a es el primer término y d es la diferencia común de una PA, los términos sucesivos de la PA son a, a  d, a  2d, a  3d, . . . . El n-ésimo término está dado por la fórmula Tn  a  (n  1)d (3) Por ejemplo, haciendo n  1, 2 y 3, encontramos que T1  a  (1  1)d  an T2  a  (2  1)d  a  dn T3  a  (3  1)d  a  2dn De manera similar, se pueden obtener otros valores. La ecuación (3) contiene cuatro parámetros, a, d, n y Tn. Si se dan cualesquie- ra tres de ellos, podemos calcular el cuarto. EJEMPLO 1 Dada la sucesión 1, 5, 9, 13, . . . calcule: a) el décimo quinto término; b) el n-ésimo término. Solución La sucesión dada es una PA porque 5  1  9  5  13  9  4 En consecuencia, la diferencia común, d, es 4. También, a  l. a) Usando la ecuación (3) con n  15, T15  a  (15  1)d  a  14d  1  (14)(4)  57n b) Tn  a  (n  1)d  1  (n  1)4  4n  3 Por tanto, el quinceavo término es 57 y el n-ésimo término es 4n  3. ☛ 2 EJEMPLO 2 (Depreciación) Una empresa instala una máquina con un costo de $1700. El valor de la máquina se deprecia anualmente en $150. Determine una expresión para el valor de la máquina después de n años. Si el valor de desecho es de $200. ¿Cuál es el tiempo de vida útil de la máquina? Solución Ya que el valor de la máquina se deprecia $150 cada año, su valor al tér- mino del primer año, el segundo, el tercero, etc., será 1700150, 17002(150), 17003(150), . . . o bien, 1550, 1400, 1250, . . . Esta sucesión de valores forma una PA con primer término a  1550 y diferencia común d  1400  1550  150. En consecuencia, el n-ésimo término es Tn  a  (n  1)d  1550  (n  1)(150)  1700  150n ☛ 2. Para la PA –3, 0.5, 2, . . . , determine una fórmula para el n-ésimo término y calcule el término 11°. Respuesta Tn  2.5n – 5.5; T11  22 SECCIÓN 7-1 PROGRESIONES ARITMÉTICAS E INTERÉS SIMPLE 267 Esta cantidad Tn da el valor de la máquina en dólares al término del n-ésimo año. Estamos interesados en el valor de n cuando se haya reducido al valor de dese- cho, puesto que esto da la vida útil de la máquina. Así que, hacemos Tn  200 y despejamos n. 1700  150n  200 150n  1700  200  1500 55n  10 La vida útil de la máquina es de 10 años. ☛ 3 EJEMPLO 3 Los pagos mensuales que Alicia efectúa al banco por un préstamo for- man una PA. Si sus pagos sexto y décimo son de $345 y $333, respectivamente, ¿de cuánto será su décimo quinto pago al banco? Solución Sea a el primer término y d la diferencia común de los pagos mensuales de la PA. Entonces, los pagos sucesivos (en dólares) son a, a  d, a  2d, . . . Dado que los pagos sexto y décimo (en dólares) son de 345 y 333, T6  345 y T10  333. Usando la ecuación (3) para el n-ésimo término y los valores dados de T6 y T10, tenemos T6  a  5d  345 T10  a  9d  333 Restamos la primera ecuación de la segunda y simplificamos. 4d  333  345  12 d  3 Sustituyendo este valor de d en la ecuación para T6, obtenemos a  15  345 o a  360 Ahora T15  a  14d  360  14(3)  308 Por tanto, su décimo quinto pago al banco será de $308. Interés simple Sea P una cantidad de dinero invertida a una tasa de interés anual del R por ciento. En un año, la cantidad de interés ganada está dada (véase la página 68) por I  P R  100 268 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS ☛ 3. Una PA con 25 términos tiene primer término 100 y último término 28. Encuentre una expre- sión para el término general y calcule el término de en medio. Respuesta Tn  103 – 3n; el término de en medio es T13  64 Solución Como expusimos al inicio de esta sección, la sucesión de pagos es 250, 248, 246, . . . , 202 Éstos forman una PA con a  250 y d  2. Dado que $200 del capital se paga ca- da mes, el número total de pagos es n  5000/200  25. Por tanto, el último tér- mino es l  T25  a  24d  250  24(2)  202 como se indicó antes. El pago total está dado por la suma de los 25 términos. Sn   n 2  (a  l)   2 2 5  (250  202)  5650 La cantidad total pagada al banco es de $5650, lo cual significa que el interés paga- do será por la cantidad de $650. EJEMPLO 7 (Pago de préstamos) Un individuo está de acuerdo en pagar una deu- da libre de interés de $5800 en cierto número de pagos, cada uno de ellos (empe- zando por el segundo) debiendo exceder al anterior por $20. Si el primer pago es de $100, calcule cuántos pagos deberá efectuar para finiquitar la deuda. Solución Dado que el primer pago es de $100 y cada pago subsecuente se incre- menta en $20, los pagos (en dólares) son 100, 120, 140, 160, . . . Estos números forman una PA con a  100 y d  20. Indiquemos con n el número de pagos necesarios con el objetivo de pagar la deuda de $5800. Entonces, la suma de los n términos de esta sucesión debe ser igual a 5800, esto es, Sn  5800. Usando la fórmula para la suma de una PA, obtenemos 5Sn   n 2  [2a  (n  1)d] 5800   n 2  [200  (n  1)20]   n 2  (20n  180)  10n2  90n Por tanto, 10n2  90n  5800  0 Dividiendo toda la ecuación entre 10, resulta n2  9n  580  0 o bien, (n  20) (n  29)  0 lo que da n  20 o n  29. Puesto que un valor negativo de n no tiene sentido, entonces n  20. En con- secuencia, deberán efectuarse 20 pagos con la finalidad de saldar la deuda. ☛ 7 ☛ 7. Una PA tiene segundo término 7 y sexto término 15. De- termine el primer término y la dife- rencia común. ¿Cuántos términos se requieren para hacer una suma de 320? Respuesta a  5, d  2; 16 términos SECCIÓN 7-1 PROGRESIONES ARITMÉTICAS E INTERÉS SIMPLE 271 272 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS (1-4) Encuentre los términos indicados de las sucesiones dadas. 1. Términos décimo y décimo quinto de 3, 7, 11, 15, 19, . . . 2. Términos séptimo y n-ésimo de 5, 3, 1, 1, . . . 3. El r-ésimo término de 72, 70, 68, 66, . . . 4. El n-ésimo término de 4, 413, 423, 5, . . . 5. Si los términos tercero y séptimo de una PA son 18 y 30, respectivamente, encuentre el décimo quinto término. 6. Si los términos quinto y décimo de una PA son 38 y 23, respectivamente, encuentre el n-ésimo término. 7. ¿Qué término de la sucesión 5, 14, 23, 32, . . . es 239? 8. El último término de la sucesión 20, 18, 16, . . . es 4. Calcule el número de términos de esta sucesión. (9-14) Determine la suma indicada de las siguientes progresio- nes. 9. 1  4  7  10   ; 30 términos 10. 70  68  66  64   ; 15 términos 11. 2  7  12  17   ; n términos 12. 3  5  7  9   ; p términos 13. 51  48  45  42    18 14. 15  17  19  21    55 15. ¿Cuántos términos de la sucesión 9, 12, 15, . . . es necesa- rio considerar de modo que su suma sea 306? 16. ¿Cuántos términos de la sucesión 12, 7, 2, 3, 8, . . . deben sumarse de tal manera que la suma sea 105? 17. En una PA, si 7 veces el séptimo término es igual a 11 ve- ces el décimo primer término, demuestre que el término décimo octavo es cero. 18. (Pago de un préstamo) Un hombre salda un préstamo de $3250 pagando $20 en el primer mes y después aumentan- do el pago en $15 cada mes. ¿Cuánto tiempo le tomará li- quidar su préstamo? 19. (Depreciación) Una compañía manufacturera instala una máquina a un costo de $1500. Al cabo de 9 años, la máqui- na tiene un valor de $420. Suponiendo que la depreciación anual es constante, calcule la depreciación anual. 20. (Depreciación) Si una máquina tiene un costo de $2000 y ésta se deprecia $160 anualmente. ¿Cuál es la vida útil de la máquina, si su valor de desecho fue de $400? 21. (Pago de préstamos) Los pagos mensuales de Esteban al banco ocasionados por un préstamo forman una PA. Si el octavo y décimo quinto pagos son de $153 y $181, respec- tivamente, ¿cuál será su vigésimo pago? 22. (Incrementos en los salarios) El salario mensual de Carla se incrementó anualmente formando una PA. Ella ganó $440 al mes durante el séptimo año y $1160 al mes duran- te el vigésimo quinto año. a) Calcule su salario inicial y su incremento anual. b) ¿Cuál sería su salario de jubilación al completar 38 años de servicio? 23. (Pago de préstamos) En el ejercicio 21, suponga que Este- ban pagó un total de $5490 al banco. a) Calcule el número de pagos que efectuó al banco. b) ¿De cuánto fue su último pago al banco? 24. (Pago de préstamos) Debe saldarse una deuda de $1800 en 1 año efectuando un pago de $150 al término de cada mes, más intereses a una tasa del 1% mensual sobre el saldo insoluto. Determine el pago total por concepto de in- tereses. 25. (Interés simple) Una persona deposita $50 al inicio de cada mes en una cuenta de ahorros, en la cual el interés permitido es de 12% al mes sobre el balance mensual. De- termine el balance de la cuenta al término del segundo año, calculando a interés simple. 26. (Costos de perforación) El costo de efectuar una perfora- ción a 600 metros es como sigue: se fijan $15 por el primer metro y el costo por metro se incrementa a $2 por cada me- tro subsiguiente. Calcule el costo de perforar el metro nú- mero 500 y el costo total. * 27. (Descuento simple) Se pide un préstamo P al banco y debe pagarse n meses después en un solo pago A. Si el banco calcula el pago usando una tasa de descuento simple del R por ciento, entonces P y A están relacionados por la fórmula P  A1    Un hombre pide prestado dinero al banco que utiliza una tasa de interés simple del l2%. Él pagará la deuda con pa- gos de $100 al término de cada mes en los siguientes 12 meses. ¿De cuánto debe solicitar el préstamo? (Considere cada uno de los pagos mensuales A1, A2, . . . como genera- dos por sus propias deudas iniciales P1, P2, . . . y sume to- das las P). n  12 R  100 EJERCICIOS 7-1 * 28. (Descuento simple) La señorita Campos pidió dinero pres- tado de su fondo sindical, que aplica una tasa de descuen- to simple del 10%. Ella prometió pagar $50 al término de cada mes en los 24 meses siguientes. ¿De cuánto fue el in- terés total fijado por el fondo del sindicato? 29. (Pago de préstamos) Un individuo está de acuerdo en sal- dar una deuda de $1800 en cierto número de pagos, cada uno de ellos (empezando con el segundo) menor que el previo en $10. Si su quinto pago es de $200, ¿cuántos pa- gos serán necesarios de modo que salde la deuda? 30. (Bonos de ahorro) El primer día de noviembre de cada año, una persona adquiere bonos de ahorro por un valor que excede los adquiridos el año anterior en $50. Después de 10 años, el costo total de los bonos adquiridos fue de $4250. Calcule el valor de los bonos adquiridos: a) En el primer año. b) En el séptimo año. 31. (Planes de ahorro) Un sujeto invierte $200 en el fondo de una cooperativa que paga un interés simple del 10% al año. ¿Cuál es el valor de la inversión: a) Después de n años? b) Al cabo de 5 años? 32. (Planes de ahorro) Cintia deposita $1000 al inicio de ca- da año en su plan regular de ahorro que gana un interés simple del 8% anual. ¿De cuánto es el valor del plan (in- cluyendo el último pago): a) Al término de 5 años? b) Al cabo de n años? 33. (Depreciación) A menudo el método de depreciación li- neal es inapropiado, porque el bien en cuestión pierde mu- cho más valor durante el primer o segundo año que en años posteriores. Un método alternativo es el de suma de los dígitos de los años. Sea N la vida útil del bien y d la de- preciación durante el año N (esto es, durante el último año). Según este método el monto de depreciación durante el año (N  1) es 2d; durante el año (N  2), 3d, y así su- cesivamente, por lo que la depreciación durante el primer año es Nd. Muestre que la depreciación durante el año n es (N  n  1)d, (n  1, 2, . . . , N), y que la depreciación total durante los N años es D  12 N (N  1)d. (En la prác- tica D debe ser igual a [costo inicial  valor de desecho después de N años]; por tanto, d está bien determinado). 34. (Depreciación) Usando el método de depreciación de la suma de los dígitos de los años (véase el ejercicio 33), calcule la depreciación durante el primer año de una computadora cuyo costo inicial es de $230,000 y cuyo va- lor de desecho después de 10 años será de $10,000. 35. (Depreciación) Usando el método de depreciación de la suma de los dígitos de los años (véase el ejercicio 33), calcule la depreciación durante cada año de una flotilla de automóviles, cuyo precio de compra es $500,000 y su pre- cio de reventa después de 3 años será $200,000. Suponga que se depositan $1000 en un banco que ofrece una tasa de interés del 10% capitalizable anualmente. El valor de esta inversión (en dólares) al cabo de 1 año es igual a 1000  10% de 1000  1000(1  0.1)  1000(1.1)  1100 Si la inversión es a interés compuesto, entonces, durante el segundo año el interés se paga por la suma total de $1100 (véase páginas 220-222). Por tanto, el valor de la inversión (en dólares) al término de 2 años es 1100  10% de 1100  1100  0.1(1100)  1100(1  0.1)  1100(1.1)  1000(1.1)2 7-2 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS E INTERÉS COMPUESTO SECCIÓN 7-2 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS E INTERÉS COMPUESTO 273 276 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS Haciendo n igual a 1, 2, 3, . . , obtenemos los valores de la tabla 1. En conse- cuencia, observamos que después de 5 años el valor de la máquina es un poco más grande que el valor de desecho de $3000, pero después de 6 años, su valor está por debajo del valor de desecho. La vida útil de la máquina es de 6 años. ☛ 10 n Tn 1 8000 2 5120 TABLA 1 6400 3 4 5 6 4096 3276.8 2621.44 Iniciamos esta sección con un ejemplo de interés compuesto. El caso general de una inversión que crece a interés compuesto se expuso al final de la sección 6-1. Si una suma P se invierte a una tasa de interés del R por ciento anual compuesto anualmente, el valor de la inversión al término del n-ésimo año está dada por la fórmula Tn  P(1  i)n, i   10 R 0k  Estos valores para n  1, 2, 3, . . . forman una PG. La razón común es r  1  i y el primer término es a  T1  P(1  i). En la siguiente sección se darán aplicaciones adicionales relacionadas con esto. TEOREMA 1 (SUMA DE n TÉRMINOS DE UNA PG) Si a es el primer térmi- no y r la razón común de una PG, entonces, la suma Sn de n términos de la PG está dada por Sn   a( 1 1   r rn)  (2) DEMOSTRACIÓN Los n términos de la PG dada son a, ar, ar2, . . . , arn2, arn1 Por tanto, la suma de estos términos es Sn  a  ar  ar2    arn2  arn1 Multiplicamos ambos lados por r. rSn   ar ar2   arn1  arn Sumando estas dos ecuaciones, advertimos que todos los términos se cancelan ex- cepto el primer término de la primera ecuación y el último de la segunda, lo que da Sn  rSn  a  arn Factorizamos y despejamos Sn Sn(1  r)  a(1  rn) ☛ 10. Vuelva a resolver el ejem- plo 3, si la tasa de depreciación es 10% anual. Respuesta El valor después de n años  Tn  10,000  1 9 0  n . Tn es menor que $3000 después de 12 años. Sn   a( 1 1   r rn)  Esto prueba el resultado. Multiplicando el numerador y el denominador de la ecuación (2) por 1, ob- tenemos la fórmula alternativa Sn   a(r r n   1 1)  Esta fórmula por lo general se usa cuando r 1, mientras que la ecuación (2) es más útil cuando r 1. Observación La fórmula anterior para Sn es válida sólo cuando r 1. Cuan- do r  1, la PG se transforma en a  a  a    a (n términos) cuya suma es igual a na. EJEMPLO 4 Calcule la suma de los primeros 10 términos de la sucesión 2  4  8  16  . Solución La sucesión dada es una PG con a  2 y r  42  2. Aquí n  10. Por tanto, Sn   a( 1 1   r rn)  o bien, S10   2(1 1   ( (   2 2 ) ) 10)   23(1  210)  23(1  1024)  682 ☛ 11 EJEMPLO 5 (Planes de ahorro) Cada año una persona invierte $1000 en un plan de ahorros del cual percibe intereses a una tasa fija del 8% anual. ¿Cuál es el valor de este plan de ahorros al décimo aniversario de la primera inversión? (Incluya el pa- go actual). Solución Los primeros $1000 se invierten a 10 años, de modo que su valor se ha incrementado a $1000(1  i)10, i   1 R 00    1 8 00   0.08 En consecuencia, el valor es de $1000(1.08)10. Los segundos $1000 se invierten 1 año más tarde; por lo que permanecerán en el plan durante 9 años. Por tanto, su valor se incrementa a $1000(1.08)9. Los terce- ros $1000 estarán en el plan 8 años y tienen el valor de $1000(1.08)8. Continuamos de esta manera hasta el décimo pago de $1000, el cual se hizo 9 años después del primero. Su valor 1 año después es $1000(1.08). ☛ 11. Encuentre la suma de los primeros 11 términos de las PG a) 1  2  4  8   b) 2  3   9 2    2 4 7    Respuesta a) 211  1  2047 b) 4 11  1   17 5 5 1 ,0 2 99  3  2 SECCIÓN 7-2 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS E INTERÉS COMPUESTO 277 278 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS Así que el valor total del plan al cumplir su décimo aniversario se obtiene sumando estas cantidades con el pago actual de $1000. S  1000(1.08)10  1000(1.08)9      1000(1.08)  1000 Al escribir esto en orden inverso: S  1000  1000(1.08)  1000(1.08)2      1000(1.08)10 Esta es una PG con a  1000, r  1.08 y n  11. Por tanto, S  1000  (1 1 .0 .0 8 8 )1  1  1 1  usando la fórmula que da la suma de una PG. Simplificando, tenemos que S   1 0 0 .0 0 8 0  [(1.08)11  1]  12,500(2.3316  1)  16,645 Así que el valor es $16,645. ☛ 12 La suma de los primeros n términos de la sucesión geométrica a  ar  ar2   está dada por Sn  (2) Consideremos el comportamiento de rn para n grande cuando 1 r 1. Elijamos un ejemplo específico, sea r  12. La tabla 2 da los valores de rn para diferentes va- lores de n. De esta tabla, observamos que a medida que n se hace más grande, rn se hace cada vez más pequeño. Por último, cuando n tiende a infinito, rn se acerca a ce- ro. Este comportamiento de rn (es decir, que rn se acerca cada vez más a cero a me- dida que n se hace cada vez más grande) se cumple siempre que 1 r 1. Así que de la ecuación (2), podemos decir que la suma de un número infinito de térmi- nos de una PG está dada por S∞   a( 1 1   r 0)    1  a r  a(1  rn)  1  r ☛ 12. Vuelva a resolver el ejemplo 5, si la tasa de interés es 10% anual. Respuesta S  1000  (1 1 .1 .1 )1  1  1 1  18,531 Esto nos conduce al siguiente teorema. TEOREMA 2 (SUMA DE UNA PG INFINITA) La suma S de una progresión geo- métrica infinita n rn 1 0.5 2 0.06250.125 TABLA 2 0.25 3 4 5 6 7 0.03125 0.015625 0.0078125 Planes de ahorro El tipo más simple de plan de ahorro es el que consiste en pagos regulares de una cantidad fija que se realizan en el plan (por ejemplo, al término de cada mes o una vez por año), y el saldo invertido en el plan gana intereses en una tasa fija. EJEMPLO 1 Cada mes Julia deposita $100 en un plan de ahorros que gana intere- ses al  1 2 % mensual. Calcule el valor de sus ahorros: a) inmediatamente después de efectuar el vigésimo quinto depósito; b) Después de realizar su n-ésimo depósito. Solución a) El vigésimo quinto pago se realiza 24 meses después del primero. Cada in- versión se incrementa en un factor de 1.005 al mes (0.5% al mes). De modo que el primer depósito de $100 que Julia invierte tienen un valor de $100(1.005)24 después de 24 meses. El segundo depósito de $100 que ella invierte estará en el plan duran- te 23 meses, por lo que tendrán un valor de $100(1.005)23. El tercer depósito de $100 tendrá un valor de $100(1.005)22, etc. El vigésimo cuarto depósito de $100 sólo estará en el plan por 1 mes, de modo que tendrá un valor de $100(1.005). El úl- timo depósito no ganará ningún interés. En consecuencia, el valor total del plan se- rá la suma de las cantidades anteriores; esto es, S  100(1.005)24  100(1.005)23  100(1.005)22    100(1.005)2  100(1.005)  100 Pero, en orden inverso, esta expresión es la suma de 25 términos en una progresión geométrica, cuyo primer término es a  100, y su razón r  1.005. Por tanto, S   a( r rn   1 1)   100[ 1 (1 .0 .0 0 0 5 5  )25 1  1]    0 1 .0 0 0 0 5  [(1.005)25  1]  20,000[1.13280  1]  2655.91 Por consiguiente, después de 24 meses, el plan de ahorros de Julia tiene un valor de $2655.91. b) El n-ésimo depósito se realiza (n  1) meses después del primero. Al ca- bo de (n  1) meses, el primer depósito de $100 tendrá un valor de $100(1.005)n1. El segundo depósito de $100 tendrá un valor de $100(1.005)n2 dado que permane- ce en el plan por espacio de (n  2) meses. El penúltimo depósito tendrá un valor de 100(1.005) dólares y el último (n-ésimo) depósito será de exactamente $100. Por tanto, el valor total del plan estará dado por la siguiente suma: S  100(1.005)n1  100(1.005)n2    100(1.005)2  100(1.005)  100 SECCIÓN 7-3 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 281 282 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS Otra vez, los términos de esta suma en orden inverso forman una PG con a  100 y r  1.005. Hay n términos, de modo que S   a( r rn   1 1)   100[ 1 ( . 1 0 . 0 0 5 05  )n 1  1]   20,000[(1.005)n  1] Con esta fórmula podemos calcular el valor del plan al cabo de cualquier número de meses. Por ejemplo, después de 59 meses (es decir, al realizarse al sexagésimo depó- sito), el plan de ahorros tiene un valor de 20,000[(1.005)60  1]  20,000[1.34885  1]  6977.00 o $6977.00. ☛ 14 Es fácil extender el argumento que se usó en este ejemplo al caso general. Su- pongamos que una cantidad p se deposita cada periodo; en donde cada periodo pue- de ser de 1 mes, un trimestre, un año o cualquier otro periodo de longitud fija. Sea la tasa de interés del R por ciento por periodo. Se sigue que en cada periodo la in- versión se incrementa en un factor de 1  i, con i  R/100. Preguntamos ahora por el valor del plan de ahorros después de n  1 periodos después del primer depósi- to, esto es, inmediatamente después que se realiza el n-ésimo depósito. El primer depósito de P se habrá invertido durante los n  1 periodos com- pletos, de modo que habrá incrementado su valor a P(1  i)n1. Sin embargo, el se- gundo depósito sólo se habrá invertido durante n  2 periodos, de modo que habrá incrementado su valor a P(1  i)n2. (Véase la figura 1). El n-ésimo o último depó- sito apenas habrá sido invertido, de modo que tendrá un valor de P. (Véase otra vez la figura 1). ☛ 14. Vuelva a resolver el ejem- plo 1, si los pagos mensuales son de $150 y la tasa de interés es 0.25% mensual. Respuesta a) $3864.68 b) S  60,000[(1.0025)n  1] FIGURA 1 Por tanto, el valor total del plan de ahorros estará dado por la suma S  P(1  i)n1  P(1  i)n2      P(1  i)  P En orden inverso, ésta es la suma de una PG con primer término a  P y cuya ra- zón común es 1  i. Hay n términos, de modo que S   a( r rn   1 1)    P[ ( ( 1 1   i i ) )n   1 1]    P i  [(1  i)n  1] Si sustituimos P  100 e i  0.005, obtenemos de nuevo los resultados del ejemplo 1. En matemáticas financieras, es común utilizar la notación S  P sn i en donde sn i  i1[(1  i)n  1] La cantidad sn i se lee como “s de n en i” y representa el valor de un plan de ahorros después de n depósitos regulares de $1 cada uno. Sólo depende de la tasa de interés y del número n. Algunos valores de sn i para diferentes valores de i y de n aparecen en la tabla A.3.4. ☛ 15 Por ejemplo, la solución al ejemplo 1a) podría evaluarse utilizando la tabla como S  Psn i  (100)s 25 0.005  100(26.559115)  2655.91 ☛ 16 Anualidades Una anualidad es el término dado a una sucesión de pagos de cierta cantidad fija de dinero a intervalos regulares de tiempo, por ejemplo, $2500 el último día de cada trimestre, o $2000 el primero de enero de cada año. El ejemplo 1 anterior es un ejemplo de una anualidad de $100 mensuales (pagados por Julia en su plan de aho- rro). La cantidad S calculada en la parte b) de ese ejemplo proporciona el valor de la anualidad después del pago n-ésimo; con frecuencia se denomina valor futuro de la anualidad. Con mayor generalidad, la cantidad sn i representa el valor futuro después de n periodos de una anualidad de $1 por periodo cuando i  R/100 y la tasa de in- terés es R% por periodo. (Para ver esto, sólo ponga P  1 en el análisis anterior). Otro ejemplo importante de una anualidad ocurre cuando una persona depo- sita una cantidad de dinero con una compañía de seguros o institución similar y que la compañía devuelve en una serie de pagos regulares de igual monto en un periodo. Entre los pagos el saldo restante genera interés a alguna tasa predeterminada. Los pagos continúan hasta que la suma depositada se haya agotado. Éste es un método común por medio del cual la gente asegura una pensión al retirarse de trabajar. EJEMPLO 2 Al cumplir su aniversario número 65, el señor Hernández desea ad- quirir una anualidad que le pagará $5000 cada año en los próximos 10 años, el pri- mer pago lo recibirá al cumplir 66 años. Su compañía de seguros le dará una tasa de interés del 8% anual en la inversión. ¿Cuánto deberá depositar con el propósito de adquirir tal anualidad? Solución Consideremos el primer pago, que el señor Hernández recibirá al cum- plir 66 años. Este pago será de $5000, y debe pagarse por un depósito realizado un año antes. Sea este depósito A1. En el año que corre, A1 ganará un interés del 8%, de modo que se habrá incrementado a (1.08)A1. Esto debe ser igual a 5000. (1.08)A1  5000 A1  5000(1.08)1 ☛ 15. Utilizando la tabla A.3.4 encuentre a) s40 0.02; b) s25 0.07 ☛ 16. En el ejemplo 1, utilice la tabla A.3.4 para calcular el valor del plan de ahorro, inmediatamente después de pago número 50. Respuesta a) 60.401983 b) 63.249038 Respuesta S  100s 50 0.005  5664.52 SECCIÓN 7-3 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 283 Por ejemplo, el ejemplo 2 puede resolverse utilizando la tabla como A  Pan i  5000a10 0.08  5000(6.710081)  33550.40 A menudo llamamos a A el valor presente de una anualidad P por periodo para n periodos. Es la cantidad que debe pagarse para adquirir dicha anualidad. La cantidad an i representa el valor presente de una anualidad de $1 por periodo duran- te n periodos. Por contraste, recuerde que sn i es el valor futuro de tal anualidad, es- to es, el valor al final de todos los pagos. ☛ 19 Cuando una compañía de seguros otorga una póliza de pensión a una perso- na, por lo regular no la emite por un número determinado de años, sino más bien por el tiempo que la persona referida viva. En tal caso, el valor de n utilizado es la es- peranza de vida de la persona, esto es, el número de años (en promedio) que vive una persona de su edad. EJEMPLO 3 (Anualidad) La señora Jiménez se retira a la edad de 63 años y usa sus ahorros de toda la vida de $120,000 para adquirir una pensión anual. La compa- ñía de seguros de vida otorga una tasa de interés del 6% y estima que su esperanza de vida es de 15 años. ¿De cuánto será la anualidad (esto es, qué tan grande será la pensión anual) que recibirá? Solución En la ecuación (1), sabemos que A  120,000 e i  R/100  1 6 00  0.06. Deseamos calcular P. Tenemos que A  Pan i Esto es, 120,000  Pa15 0.06  P(9.712249) (por la tabla A.3.4). Por tanto, P  120,000/9.712249  12,355.53 y la señora Jiménez recibirá una pensión anual de $12,355.53. Amortización Cuando una deuda se salda mediante pagos constantes en un periodo, decimos que la deuda se amortiza. Por ejemplo, una persona podría pedir prestados al banco $5000 con el propósito de adquirir un automóvil nuevo mediante el acuerdo de que una cantidad determinada le pagará al banco cada mes durante los próximos 24 me- ses. Nos gustaría determinar de cuánto deberían ser los pagos mensuales, dado que el banco fija un interés a cierta tasa sobre cada balance restante. Otro ejemplo de gran importancia son las hipotecas, que se liquidan mediante pagos regulares casi siempre a lo largo de 20 o 25 años. Matemáticamente hablando, la amortización de una deuda presenta el mismo problema que el pago de una anualidad. Con una anualidad, podemos considerar que el receptor le prestó cierta cantidad a la compañía de seguros; ésta paga enton- ces la deuda mediante n pagos regulares iguales a una cantidad P cada uno. Sobre cada balance restante, la compañía agrega interés al crédito del acreedor a un inte- rés del R por ciento por periodo. Ésta es la misma situación que aparece en el caso de un préstamo. Aquí el banco presta una cantidad determinada A al prestatario, el cual salda la deuda mediante n pagos regulares de P cada uno. Sobre cada saldo insoluto, el prestatario debe agregar interés a una tasa del R por ciento por periodo. 286 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS ☛ 19. En el ejemplo 2, utilice la tabla A.3.4 para calcular el valor presente de una anualidad de $5000 por año durante 20 años. Respuesta A  5000a 20 0.08  49,090.74 En consecuencia, la ecuación (1) también se aplica a la amortización de un préstamo. A  Pan i i  1 R 00 (2) EJEMPLO 4 Una pequeña compañía constructora planea expandir sus operaciones solicitando un préstamo al banco. Éste fija una tasa de interés del 1% mensual e in- siste en que la deuda debe pagarse en un máximo de 24 meses. La compañía estima que puede comprometerse a pagar la deuda con pagos de $1500 al mes. ¿Cuánto es lo máximo que puede pedir al banco? Solución En la fórmula anterior, hacemos P  1500, i  1 1 00  0.01 (dado que la tasa de interés del 1% por periodo, esto es, por mes en este caso) y n  24. Se si- gue que A  1500a24 0.01  1500(21.243387)  31,865.08 En consecuencia, la compañía puede pedir prestado hasta $31,865.08. ☛ 20 EJEMPLO 5 (Préstamo hipotecario máximo) Un matrimonio tiene un ingreso combinado de $45,000. Su compañía hipotecaria les prestará una cantidad en la cual los pagos corresponden a una tercera parte de su ingreso. Si la tasa de interés es del 1.2% mensual amortizado en 25 años, ¿cuánto pueden pedir prestado? Solución Aquí los pagos mensuales son de P  (13  45,000) 12  1250 e i  1.2/100  0.012. En 25 años el número de pagos mensuales es n  25(12)  300. Por tanto, la suma que pueden pedir prestada es A  Pan i  [1  (1  i)n]  [1  (1.012)300]  104166.67(0.97208)  $101,258.80 Aquí usamos la fórmula para an i porque el valor de an i no está dado en la tabla A.3.4 para n  300 e i  0.012. Por lo regular, necesitamos usar la ecuación (2) con el objetivo de calcular el monto de los pagos P. Despejando P, obtenemos P   (3) EJEMPLO 6 Durante sus años en la universidad, un estudiante acumula préstamos de modo que, al graduarse, la deuda es de $8000. El préstamo acumula intereses al A  an i iA  1  (1  i)n 1250  0.012 P  i ☛ 20. En el ejemplo 4, si la com- pañía sólo pide prestado $20,000, ¿cuáles serán los pagos mensuales, si con ellos se salda el préstamo en 18 meses? Respuesta P   1219.64 20,000  a 18 0.01 SECCIÓN 7-3 MATEMÁTICAS FINANCIERAS 287 288 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS (1-8) Use la tabla A.3.4 para encontrar los siguientes valores. 1. s6 0.08 2. s30 0.01 3. s36 0.0075 4. s40 0.005 5. a10 0.01 6. a15 0.08 7. a20 0.005 8. a36 0.0075 (En lo que sigue, las tasas de interés indicadas, son tasas nomi- nales). (9-14) (Plan de ahorro) Encuentre el valor del plan de ahorro al final de: 9. Diez años si se depositan $1000 al final de cada año en una cuenta que produce 8% de interés anualmente compuesto. 10. Cinco años si se depositan $2000 al final de cada año al 6% de interés compuesto anualmente. 11. Cuatro años si se depositan $500 al final de cada 6 meses al 8% de interés compuesto semestralmente. 12. Seis años si se depositan $1000 al final de cada 3 meses al 8% de interés compuesto trimestralmente. 13. Tres años si se depositan $200 al final de cada mes al 12% de interés compuesto mensualmente. 14. Cinco años si se depositan $500 al final de cada 4 meses al 9% de interés compuesto tres veces al año. (15-18) (Planes de ahorro) ¿Cuánto debe depositarse al final de: 15. Cada año durante 6 años para obtener la suma de $15,000 al 8% anual de interés compuesto? 16. Cada 6 meses para obtener la suma de $50,000 al final de 10 años cuando el interés compuesto ganado sea de 6% compuesto semestralmente? 17. Cada 3 meses para obtener la suma de $20,000 al final de 4 años al 8% de interés anual compuesto trimestralmente? 18. Cada mes durante 3 años para obtener la suma de $8000 al 12% de interés anual compuesto mensualmente? (19-20) (Planes de ahorro) ¿Al final de qué año se tendrán: 19. $5486.45 si se depositan $100 al final de cada año al 6% anual de interés compuesto? 20. $2950.21 si se depositan $75 al final de cada mes al 6% de interés anual compuesto mensualmente? 21. (Planes de ahorro) Al inicio de cada año, se invierten $2000 en un plan de ahorros, la tasa de interés es del 8% anual. Calcule el valor de la inversión: a) Al término del quinto año; b) Al finalizar el n-ésimo año. 22. [Plan de ahorros (fondo de amortización)] Jaime invierte dinero cada mes en un plan de ahorros que le paga inte- reses al 12% mensual. Tres años (36 meses) después de empezar el plan, planea retirar el dinero y usarlo con el propósito de pagar la hipoteca de su casa. Si requerirá $8000 para pagar la hipoteca, ¿cuánto deberá ahorrar cada mes? 23. (Fondo de amortización) El señor Gómez estima que en- viar a su hijo a la universidad dentro de 8 años le costará $20,000. Si deposita una suma de P dólares cada mes en una cuenta de ahorros que paga 6% anual de interés com- puesto mensualmente, ¿cuánto deberá valer P para que el señor Gómez tenga $20,000 cuando su hijo esté listo para su educación universitaria? 8% anual y debe liquidarlo en pagos únicos al término de cada año. ¿Cuánto debe- rá pagar el estudiante cada año con el propósito de saldar la deuda en 5 años? Solución La deuda inicial es A  8000. El periodo de pago es n  5. Puesto que la tasa de interés es R  8, i  R/100  0.08. El pago anual se obtiene de la ecua- ción (3). P    2003.65 Por tanto, el estudiante deberá pagar $2003.65 al término de cada año con ob- jeto de amortizar la deuda en un plazo de 5 años. 8000  3.992710 8000  a5 0.08 EJERCICIOS 7-3