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Geometria (10.o^ ano)
Pontos, retas e planos
Exerc´ıcios de Provas Nacionais e Testes Interm´edios
- Na figura ao lado, est´a representada, num referencial o.n. xOy, a reta AB
Sabe-se que:
- o ponto A pertence ao semieixo negativo Ox e o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy
- a reta AB tem equa¸c˜ao y = 2x + 4 Seja M o ponto m´edio do segmento de reta [AB]
Quais s˜ao as coordenadas do ponto M? (^) O x
y
A
B
(A)
(B) (− 1 ,2) (C)
(D) D(− 2 ,4)
Exame – 2019, 2.a^ Fase
- Na figura ao lado, est´a representado, num referencial o.n. Oxyz, um cilindro de revolu¸c˜ao de altura 3
Sabe-se que:
- o ponto A tem coordenadas (1, 2 ,0) e ´e o centro da base inferior do cilindro, a qual est´a contida no plano xOy
- o ponto B tem coordenadas (1, 3 ,0) e pertence `a circunferˆencia que delimita a base inferior do cilindro;
- o ponto C ´e o centro da base superior do cilindro.
Determine a ´area da sec¸c˜ao produzida no cilindro pelo plano de equa¸c˜ao x = 1
x
y
O
z
A B
C
Exame – 2017, Ep. especial´
- Considere, num referencial o.n. xOy, os pontos A(− 1 ,3) e B(2,4)
Qual das seguintes equa¸c˜oes define uma reta paralela `a reta AB?
(A) y = −
x (B) y =
x (C) y = 3x (D) y = − 33 x
Exame – 2016, Epoca especial´
- Na figura ao lado, est´a representado, num referencial o.n. Oxyz, o cubo [OP QRST U V ] de aresta 2
Os pontos, P , R e T pertencem aos semieixos positivos.
Numa das op¸c˜oes seguintes est˜ao as coordenadas de um ponto pertencente a uma das arestas do cubo. Em qual?
(A) (1, 1 , 2) (B) (1, 2 , 0)
(C) (0, 1 , 1) (D) (1, 1 , 1) x
O y
z
U V
P Q
R
T S
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 16.03.
- Considere, num referencial o.n. xOy :
- a reta r, definida pela equa¸c˜ao y = 2x − 1
- o ponto A de coordenadas (0, − 2)
Escreva a equa¸c˜ao reduzida da reta paralela `a reta r que passa no ponto A
O
x
y r
A
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 16.03.
- Na figura ao lado, est´a representado, em referencial o.n. Oxyz, o prisma quadrangular regular [ABCDEF GH]
As coordenadas dos pontos A, B e G s˜ao (11, − 1 ,2), (8, 5 ,0) e (6, 9 ,15), respectivamente.
Escreva uma condi¸c˜ao que defina a reta que passa no ponto G e que ´e paralela ao eixo Oy
x
O y
z
F
H
D
G
A
C
B
E
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 06.05.
- Na figura ao lado, est´a representada, num referencial o.n. xOy, a reta r, que intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa 2 e o eixo Oy no ponto de ordenada 2
Qual ´e a equa¸c˜ao reduzida da reta r?
(A) y = 2x + 2 (B) y = − 2 x + 2
(C) y = −x + 2 (D) y = x + 2
O x
y
r
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 29.01.
- Na figura ao lado, est˜ao representados, num referencial o.n. Oxyz, a pirˆamide quadrangular regular [V OP QR] e o prisma quadrangular regular [ABCDEF GH]
Sabe-se que:
- os v´ertices P e R da pirˆamide pertencem aos eixos co- ordenados Ox e Oy, respetivamente;
- uma das bases do prisma est´a contida na base da pirˆamide e cada v´ertice da outra base pertence a uma aresta da pirˆamide. y
x
O
z
R
P Q
V
E F
B
H
A
D C
G
Preencha cada um dos espa¸cos seguintes, de modo a obter afirma¸c˜oes verdadeiras quanto `a posi¸c˜ao relativa das retas e/ou dos planos.
Copie as afirma¸c˜oes obtidas para a sua folha de respostas.
As retas DQ e V F s˜ao
As retas EH e s˜ao n˜ao complanares.
A reta P Q e o plano HGB s˜ao
A reta F Q e o plano ADH s˜ao
Os planos BQV e s˜ao perpendiculares.
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 29.01.
- Na figura ao lado est´a representado, em referencial o.n. Oxyz, o prisma triangular n˜ao regular [ABCDEF ]
Sabe-se que:
- as bases s˜ao triˆangulos is´osceles (AB = AC e DE = DF )
- a base [ABC] est´a contida no plano xOy
- as arestas laterais do prisma s˜ao perpendiculares `as bases
- o ponto A tem coordenadas (4, 0 ,0)
- o ponto E tem coordenadas (0, 3 ,8)
- o ponto F ´e o sim´etrico do ponto E, relativamente ao plano xOz
Determine a ´area lateral do prisma.
y
x
O
z
C
B
A
D
F E
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 06.05.
- Na figura seguinte est´a representado, em referencial o.n. Oxyz, um cone de revolu¸c˜ao. Sabe-se que:
- o v´ertice V do cone tem coordenadas (1, 2 ,6)
- o ponto C ´e o centro da base do cone
Seja W o ponto sim´etrico do ponto V , em rela¸c˜ao ao plano xOy.
Indique as coordenadas do ponto W e escreva uma condi¸c˜ao que defina o segmento de reta [V W ]
y
x
O
z V
C
Teste Interm´edio 11.o^ ano – 29.01.
- Na figura est´a representado, em referencial o.n. Oxyz, um s´olido que pode ser decomposto num cubo e numa pirˆamide quadrangular regular.
A origem do referencial ´e um dos v´ertices do cubo, o v´ertice P pertence ao eixo Ox e o v´ertice R pertence ao eixo Oy.
Os v´ertices da base da pirˆamide s˜ao os pontos m´edios dos lados do quadrado [OP QR].
O ponto Q tem coordenadas (2, 2 ,0).
O volume do s´olido ´e igual a 10
Determine a cota do ponto E.
y
x
O
z
Q
A
B
P
R
E
V
T
S
U
C
D
Teste Interm´edio 10.o^ ano – 28.01.
- Na figura ao lado est˜ao representados, em referencial o. n. Oxyz, um prisma e uma pirˆamide quadrangulares regulares, com a mesma altura.
A base do prisma, que coincide com a base da pirˆamide, est´a con- tida no plano xOy.
O v´ertice P pertence ao eixo Ox.
O v´ertice R pertence ao eixo Oy.
O v´ertice S pertence ao eixo Oz.
O v´ertice U tem coordenadas (2, 2 ,4).
Escreva uma condi¸c˜ao que define a reta T U
P
R
x
O (^) y
z
Q
T
W
S
U
V
Exame – 2001, ´Epoca especial (c´od. 135)
- Considere, num referencial o.n.Oxyz, uma reta r, perpendicular ao plano yOz
Qual das afirma¸c˜oes seguintes ´e necessariamente verdadeira?
(A) A reta r ´e perpendicular ao plano xOy (B) A reta r est´a contida no plano xOy
(C) A reta r ´e perpendicular ao eixo Ox (D) A reta r ´e paralela ao eixo Ox
Exame – 2000, Prova 2 para Militares (c´od. 135) Exame – 2000, Prova de reserva (c´od. 135)
- Na figura ao lado est´a representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirˆamide quadrangular regular.
- A base da pirˆamide ´e paralela ao plano xOy
- O ponto A tem coordenadas (8, 8 ,7)
- O ponto B pertence ao plano yOz
- O ponto C pertence ao eixo Oz
- O ponto D pertence ao plano xOz
- O ponto E ´e o centro da base da pirˆamide
- O v´ertice V da pirˆamide pertence ao plano xOy
Determine o per´ımetro de uma face lateral da pirˆamide. x
O y
z
D
V
C
A
B
E
Exame – 2000, ´Epoca Especial (setembro) (c´od. 135) Exame – 1999, Prova de reserva (c´od. 135)
- Na figura ao lado est´a representada, em referencial o.n. Oxyz, um prisma triangular regular.
Sabe-se que:
- O v´ertice O coincide com a origem do referencial
- O v´ertice P pertence ao semieixo positivo Ox
- O v´ertice R pertence ao semieixo positivo Oy
- O segmento [QR] tem comprimento 6
Sabendo que a ´area lateral do prisma ´e 72, determine as coor- denadas do ponto S x
O y
z
S
T
P
Q
R
Exame – 2000, 1.a^ fase - 2.a^ chamada (c´od. 135)
- Num referencial o.n. Oxyz, a condi¸c˜ao
x = 0
z = 3
define
(A) o conjunto vazio (B) um ponto (C) uma reta (D) um plano
Exame – 1999, ´Epoca Especial (c´od. 135)
- Na figura ao lado, est´a representado, num referencial o.n. Oxyz.
Sabe-se que:
- [ABCD] ´e uma face do cubo
- [EF GH] ´e a face oposta `a face [ABCD] (o ponto H n˜ao est´a representado na figura)
- [AE], [BF ], [CG] e [DH] s˜ao quatro arestas do cubo
- O ponto A tem coordenadas (3, 5 ,3)
- O ponto D tem coordenadas (− 3 , 3 ,6)
- O ponto E tem coordenadas (1, 2 , − 3)
Determine o volume do cubo. (^) x
O^ y
z
B
F
A
D
C
E
G
Exame – 1999, Epoca Especial (c´´ od. 135)
- Qual das condi¸c˜oes seguintes define, num referencial o.n. Oxyz, uma reta paralela, ao eixo Oy?
(A) x = 1 ∧ y = 2 ∧ z = 3 (B) x = 2 ∧ z = 1 (C) x = y = z (D) y = 1 Exame – 1998, Prova para militares (c´od. 135)
