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ÁLGEBRA LINEAR
Assunto: Transformações Lineares
Aluno:
Tarefa para entregar
QUESTÃO 1: Verifique se a transformação a seguir, é uma transformação linear.
T : R
2
→ R
3
; T
x , y
=( 2 x , x , 3 y )
Vetores genéricos:
u = (x¹ , y¹)
v = (x², y²)
Obs: “¹” e “²” servem para distinguir as incógnitas e não no sentido de potência.
Substituindo na condição I:
T (u + v) = T (u) + T (v)
T ((x¹ , y¹) + (x² , y²)) = T ((x¹ , y¹)) + T ((x² , y²))
T ((x¹ + x² , y¹ + y²)) = T ((x¹ , y¹)) + T ((x² , y²)) → Aplicar “lei da transformação”
( 2(x¹ + x²), x¹ + x², 3(y¹ + y²)) = (2x¹, x¹, 3y¹) + ( 2x², x², 3y²)
(2x¹ + 2x², x¹ + x², 3y¹ + 3y²) = (2x¹ + 2x², x¹ + x², 3y¹ + 3y²) Atende a condição.
Substituindo na condição II:
T(αu) = αT(u)
T ( α(x¹, y¹)) = αT ((x¹, y¹))
T ((αx¹, αy¹)) = αT ((x¹, y¹)) → Aplicar “lei da transformação”
(2αx¹, αx¹, 3αy¹) = α(2x¹, x¹, 3y¹)
(2αx¹, αx¹, 3αy¹) = (2αx¹, αx¹, 3 αy¹)
Logo, T : R
2
→ R
3
;T ( x , y )=( 2 x , x , 3 y ) é uma Transformação Linear.
QUESTÃO 2: Verifique se a transformação a seguir, é uma transformação linear.
T : R
2
→ R ;T
x , y
= x
Vetores genéricos:
u = (x¹ , y¹)
v = (x², y²)
Substituindo na condição I:
T (u + v) = T (u) + T (v)
T ((x¹ , y¹) + (x² , y²)) = T ((x¹ , y¹)) + T ((x² , y²))
T ((x¹ + x² , y¹ + y²)) = T ((x¹ , y¹)) + T ((x² , y²)) → Aplicar “lei da transformação”
(x¹ + x²) = x¹ + x² Atende a condição.
Substituindo na condição II:
T(αu) = αT(u)
T ( α(x¹, y¹)) = αT ((x¹, y¹))
T ((αx¹, αy¹)) = αT ((x¹, y¹)) → Aplicar “lei da transformação”
αx¹ = α(x¹) → αx¹ = αx¹
Logo, T : R
2
→ R ;T ( x , y )= x , é também uma Transformação Linear.
QUESTÃO 3: Seja a aplicação T : R
2
→ R ³
:
(x , y) = (x + ky, x + k, y)
Verificar em quais casos T é linear: (Pulei algumas etapas para economizar tempo)
a) Se k = x
T (x , y) = (x + xy, x + x, y)
((x¹ + x²) + (x¹ + x²)(y¹ +y²), (x¹ + x²) + (x¹ + x²), y¹+ y²) = (x¹ + x¹y¹, x¹ + x¹, y¹) + (x²
+x²y², x² + x², y²)
(x¹ + x² +x¹y¹ + x¹y² +x²y¹ + x²y², 2x¹ + 2x², y¹ + y²) ≠ (x¹ + x² + x¹y¹ + x²y², 2x¹ + 2x², y¹ +
y²)
Logo, a) não é Linear.
b) Se k = 1
(x , y) = (x + y, x + 1, y)
(x¹ + x² + y¹ + y², x¹ + x² + 1, y¹ + y²) = (x¹ + y¹, x¹ + 1, y¹) + (x² + y², x² + 1, y²)
(x¹ + x² + y¹ + y², x¹ + x² + 1 , y¹ + y²) ≠ (x¹ + x² + y¹ + y², x¹ + x² + 2 , y¹ + y²)
Logo, b) também não é Linear.
QUESTÃO 5: Verifique se a transformação a seguir, é uma transformação linear.
T : M ( 2 x 2 ) → R ; T
([
a b
c d
])
= det
[
a b
c d
]
↓
T : M ( 2 x 2 ) → R ;T
[
a b
c d
]
=( a ×d − b ×c )
Vetores genéricos:
u = (a¹, b¹, c¹, d¹)
v = (a², b², c², d²)
Substituindo na condição I:
T (u + v) = T (u) + T (v)
T ((a¹, b¹, c¹, d¹) + (a², b², c², d²)) = T ((a¹, b¹, c¹, d¹)) + T ((a², b², c², d²))
T ((a¹ + a², b¹ + b², c¹ + c², d¹ + d²)) = T ((a¹, b¹, c¹, d¹)) + T ((a², b², c², d²))
((a¹ + a²) x (d¹ + d²) – (b¹ + b²) x (c¹ + c²)) = T ((a¹ x d¹) – (b¹ x c¹)) + ((a² x d²) –
(b² x c²))
(a¹d¹ + a¹d² +a²d¹ + a²d² – b¹c¹ + b¹c² + b²c¹ + b²c²) = (a¹d¹ - b¹c¹ + a²d² - b²c²)
Logo não é Transformação Linear.
