Resolução do Exame de Álgebra Linear II
A seguir estão as resoluções detalhadas das questões do Exame Normal de Álgebra Linear II,
realizado pela Universidade Púnguè em 15/12/2024. Todas as soluções são apresentadas
com os cálculos completos.
Questão 1
Explique por palavras o que entende por transformação linear.
Uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as
operações de adição vetorial e multiplicação escalar. Formalmente, se T: V → W é uma
transformação linear, então para quaisquer vetores u, v em V e qualquer escalar c, temos:
1. T(u + v) = T(u) + T(v)
2. T(cu) = cT(u)
Questão 2
Explique o que são valores e vetores próprios.
Valores próprios (autovalores) de uma matriz ou operador linear são os escalares que λ
satisfazem a equação característica det(A - I) = 0, onde A é a matriz associada à λ
transformação linear e I é a matriz identidade.
Vetores próprios (autovetores) são os vetores não nulos que, sob a transformação linear,
são apenas escalados por , ou seja, satisfazem A*v = *v.λ λ
Questão 3
Prove se a aplicação T: R³ → R², T(x, y, z) = (2x + 3y, 2z + 3x − 1) é linear.
Para verificar a linearidade, precisamos verificar se T(u + v) = T(u) + T(v) e T(cu) = cT(u).
Cálculos:
T(u + v) = T((x1+x2), (y1+y2), (z1+z2)) = (2(x1+x2) + 3(y1+y2), 2(z1+z2) + 3(x1+x2) − 1) =
(2x1 + 2x2 + 3y1 + 3y2, 2z1 + 2z2 + 3x1 + 3x2 − 1).
T(u) + T(v) = (2x1 + 3y1, 2z1 + 3x1 − 1) + (2x2 + 3y2, 2z2 + 3x2 − 1) = (2x1 + 2x2 + 3y1 +
3y2, 2z1 + 2z2 + 3x1 + 3x2 − 2).
Como os termos coincidem, T é linear.
