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Exemplos - Matriz de uma Transformação
Linear
Exemplo 1: Seja F : R^3 −→ R^2 , de nida por F (x, y, z) = (x + y, 2 z). Determine a matriz da transformação linear F , isto é, (F )B,C com B e C as bases canônicas de R^3 e R^2 , respecti- vamente.
Escrevendo as imagens dos elementos da base canônica B = {(1, 0 , 0), (0, 1 , 0), (0, 0 , 1)} do R^3 , pela transformação F , como combinações lineares dos elementos da base C = {(1, 0), (0, 1)} do R^2 , temos:
F (1, 0 , 0) = (1, 0) = 1(1, 0) + 0(0, 1) F (0, 1 , 0) = (1, 0) = 1(1, 0) + 0(0, 1) F (0, 0 , 1) = (0, 2) = 0(1, 0) + 2(0, 1)
Assim, pela de nição da matriz de uma transformação linear, obtemos:
(F )B,C =
[
]
Exemplo 2: Seja F : R^3 −→ R^2 , de nida por F (x, y, z) = (x + y, 2 z). Determine (F )B,C com B = {(1, 1 , 0), (1, 0 , 1), (0, 0 , −1)} base de R^3 e C = {(1, 0), (1, 1)} base de R^2.
Escrevendo as imagens dos elementos da base B, pela transformação linear F , como combi- nações lineares dos elementos da base C, temos:
F (1, 1 , 0) = (2, 0) = α 11 (1, 0) + α 21 (1, 1) ⇔
α 11 + α 21 = 2 α 21 = 0
α 11 = 2 α 21 = 0
F (1, 0 , 1) = (1, 2) = α 12 (1, 0) + α 22 (1, 1) ⇔
α 12 + α 22 = 1 α 22 = 2
α 12 = − 1 α 22 = 2
F (0, 0 , −1) = (0, −2) = α 13 (1, 0) + α 23 (1, 1) ⇔
α 13 + α 23 = 0 α 23 = − 2
α 13 = 2 α 23 = − 2
Assim, obtemos:
(F )B,C =
[
]
Exemplo 3: Determinar o operador linear F do R^2 cuja matriz em relação a base B = {(1, 2), (0, 5)} é:
(F )B =
[
]
Pela de nição da matriz de uma transformação linear, sabemos que:
F (1, 2) = 3(1, 2) + 2(0, 5) = (3, 16)
e F (0, 5) = 1(1, 2) − 1(0, 5) = (1, −3)
Considere um elemento (x, y) ∈ R^2 , escrevendo esse elemento como combinação linear da base B, temos:
(x, y) = α 1 (1, 2) + α 2 (0, 5) ⇔
α 1 = x 2 α 1 + 5α 2 = y ⇒
α 1 = x α 2 = y− 52 x
Desse modo, temos que:
F (x, y) = F
x(1, 2) + y − 2 x 5
= xF (1, 2) + y − 2 x 5
F (0, 5) =
= x(3, 16) + y − 2 x 5
3 x + y − 2 x 5
, 16 x − 3
y − 2 x 5
13 x + y 5
86 x − 3 y 5
⇒ F (x, y) =
(13x + y, 86 x − 3 y)
Exemplo 4: Seja F : P 2 (R) −→ P 3 (R) uma transformação linear, dada por: F (p(x)) = (x + 1)p(x), ∀p(x) ∈ P 2 (R). Determine a matriz de F com relação as bases B =
1 , (x − 1), (x − 1)^2
de P 2 (R) e C =
1 , x, x^2 , x^3
de P 3 (R).
Vamos escrever as imagens dos elementos da base B, pela transformação linear F , como combi- nações lineares dos elementos da base C:
F (1) = (x + 1)1 = (x + 1) = 1 + 1x + 0x^2 + 0x^3 F (x − 1) = (x + 1)(x − 1) = (x^2 − 1) = −1 + 0x + 1x^2 + 0x^3 F ((x−1)^2 ) = F (x^2 − 2 x+1) = (x+1)(x^2 − 2 x+1) = (x^3 −x^2 −x+1) = 1− 1 x− 1 x^2 +1x^3
Assim, obtemos:
(F )B,C =
Exemplo 5: Considere o operador linear F : M 2 (R) −→ M 2 (R), de nido por:
F
([
a b c d
])
[
2 a + b 2 b 2 c 3 d
]
Considerando M 2 (R) com a base canônica B, determine a matriz da transformação F com re- lação a base B.
Vamos escrever as imagens dos elementos da base B, pela transformação linear F , como combi- nações lineares dos elementos de B, isto é:
F
([
])
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
F
([
])
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
F
([
])
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
F
([
])
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
Desse modo, pela de nição da matriz de uma transformação linear, obtemos:
(F )B =
Assim, sabemos como o isomor smo inverso F −^1 age nos elementos da base B. Temos:
F −^1 (1, 0 , 0) = 1(1, 0 , 0) + 0(0, 1 , 0) + 0(0, 0 , 1) = (1, 0 , 0);
F −^1 (0, 1 , 0) =
F −^1 (0, 0 , 1) = 0(1, 0 , 0) + 0(0, 1 , 0) + 1(0, 0 , 1) = (0, 0 , 1)
Portanto, considerando um elemento (x, y, z) ∈ R^3 , temos que:
F −^1 (x, y, z) = F −^1 (x(1, 0 , 0) + y(0, 1 , 0) + z(0, 0 , 1)) =
= xF −^1 (1, 0 , 0) + yF −^1 (0, 1 , 0) + zF −^1 (0, 0 , 1) = x(1, 0 , 0) + y
x + y 2
y 2
y 2
2 x + y 2
y 2
−y + 2z 2
⇒ F −^1 (x, y, z) =
(2x + y, y, −y + 2z)
Ficando, assim, determinado o isomor smo inverso da transformação linear F.
