Exercícios e Resoluções de Cálculo Trigonométrico, Exercícios de Matemática

Baixe Exercícios e Resoluções de Cálculo Trigonométrico e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!

M´odulo de C´ırculo Trigonom´etrico

Rela¸c˜ao Fundamental da Trigonometria

a

s´erie E.M.

C´ırculo Trigonom´etrico Rela¸c˜ao Fundamental da Trigonometria.

1 Exerc´ıcios Introdut´orios

Exerc´ıcio 1. Se sen x = 1/3, determine cos x.

Exerc´ıcio 2. Se cos x = − 1 /4, determine sen x.

Exerc´ıcio 3. Seja x um arco do terceiro quadrante. Se

tg x = 3/4, determine cos x e sen x.

Exerc´ıcio 4. Sabendo que 0 < x < π/2 e sen x = 3/5,

determine cos x.

2 Exerc´ıcios de Fixa¸c˜ao

Exerc´ıcio 5. Sabendo que x ´e um arco do quarto quadrante

e 6 sen 2 x − sen x − 1 = 0, determine cos x.

Exerc´ıcio 6. Se cos x = 2 sen x, sendo x um arco do pri-

meiro quadrante, determine sen x e tg x.

Exerc´ıcio 7. Se cos 72 ◦ =

, determine cos 18 ◦ .

Exerc´ıcio 8. Demonstre a igualdade 1 − 2 sen 2 x + sen 4 x =

cos 4 x.

Exerc´ıcio 9. Se x ´e a medida de um arco em radianos e a

um n´umero real, determine a sabendo que sen x =

3 − a

e cos x =

a − 2

2

Exerc´ıcio 10. Demonstre a igualdade

cos x

1 + sen x

1 − sen x

cos x

Exerc´ıcio 11. Demonstre a igualdade

1 − 2 cos^2 x

sen x · cos x

= tg x−

1

tg x

Exerc´ıcio 12. Mostre que

sen x · cos x

cos^2 x − sen^2 x

´e igual a

tg x

1 − tg 2 x

Exerc´ıcio 13. Mostre que (tg x − sen x)^2 + (1 − cos x)^2 ´e

igual

cos x

3 Exerc´ıcios de Aprofundamento e

de Exames

Exerc´ıcio 14. Sabendo que 9 sen x + 3

5 cos x = 11, com

0 < x < π/2, determine tg x.

Exerc´ıcio 15. Se tg x + tg(π/4) = 2 sen(π/4), determine sen x · cos x, sendo x um arco do terceiro quadrante.

Exerc´ıcio 16. Para que valores de x vale a equa¸c˜ao (cos x+ sen x) 4 − (cos x − sen x) 4 = 2[(cos x + sen x) 2 − (cos x − sen x) 2 ]?

Figura 3

7. Como 72 ◦ e 18 ◦ s˜ao complementares, cos 72 ◦ =

sen 18◦^ =

. Pela rela¸c˜ao fundamental da trigono-

metria, temos

2

• cos 2 18 ◦ = 1

cos 2 18 ◦ = 1 −

cos 2 18 ◦ =

cos 18 ◦ =

1 − 2(sen x) 2

• (sen x) 4 = [1 − (sen x) 2 ] 2

= (cos 2 x) 2

= cos 4 x.

(sen x) 2

• (cos x) 2 = 1

3 − a) 2

• (

a − 2

2

2 = 1

3 − a +

a 2 − 4 a + 4

4

12 − 4 a + a 2 − 4 a + 4 = 4

a 2 − 8 a + 12 = 0.

Resolvendo a equa˜ao anterior, como 3−a ≥ 0, temos a = 2.

cos x

1 + sen x

cos x

1 + sen x

1 − sen x

1 − sen x

(cos x)(1 − sen x)

1 − sen^2 x

(cos x)(1 − sen x)

cos^2 x

1 − sen x

cos x

1 − 2 cos 2 x

sen x · cos x

1 − cos 2 x − cos 2 x

sen x · cos x

1 − cos 2 x

sen x · cos x

cos 2 x

sen x · cos x

sen^2 x

sen x · cos x

cos x

sen x

= tg x −

tg x

sen x · cos x

cos^2 x − sen^2 x

sen x · cos x

sen x · cos x cos 2 x − sen 2 x

sen x · cos x

cos x

sen x

sen x

cos x

tg x

− tg x

tg x

1 − tg^2 x

13. Fazendo E = (tg x − sen x) 2
    • (1 − cos x) 2 , temos

E = (tg x) 2 − 2 tg x · sen x + (sen x) 2

• 1 − 2 cos x + cos 2 x

= (tg x) 2 − 2 tg x sen x − 2 cos x + 2

sen^2 x

cos^2 x

2 sen^2 x

cos x

− 2 cos x + 2

sen 2 x − 2 sen 2 x · cos x − 2 cos 3 x + 2 cos 2 x

cos^2 x

sen 2 x + 2 cos 2 x − 2 cos x(sen 2 x + cos 2 x)

cos^2 x

sen^2 x + 2 cos^2 x − 2 cos x

cos^2 x

1 + cos 2 x − 2 cos x

cos^2 x

(1 − cos x) 2

cos^2 x

cos x

14. Chamando cos x = a, temos sen x =

5 a

9

Substituindo estes valores na rela¸c˜ao fundamental da trigo- nometria, chegamos `a equa¸c˜ao 63a^2 − 33

5 + 20 = 0, onde suas ra´ızes s˜ao

5 /3 e 4

5 /21. Por´em, com a = 4

ter´ıamos sen x > 1. Assim, tomando a =

5 /3, temos:

tg x =

sen x

cos x

5 a

9 a

tg x + tg(π/4) = 2 sen(π/4)

tg x = 2 sen(π/4) − tg(π/4)

tg x = 2

tg x =

Usando o triˆangulo retˆangulo da figura, cuja tg x =

podemos calcular sen x e cos x.

Figura 4

Temos ent˜ao:

sen x · cos x =

16. Note que (cos x+sen x)^2 +(cos x−sen x)^2 = 2. Assim,

pela diferen¸ca de quadrados, com A = (cos x + sen x)^2 e

B = (cos x − sen x)^2 , temos

(cos x + sen x) 4 − (cos x − sen x) 4 = A 2 − B 2

= (A − B)(A + B)

= 2(A − B).

Assim, a igualdade ´e v´alida qualquer que seja o valor de x.

Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda Produzido por Arquimedes Curso de Ensino [email protected]