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Versão preliminar 6 de setembro de 2002
Notas de Aula de Física
04. MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES .......................................................... 2
P OSIÇÃO E DESLOCAMENTO ................................................................................................ 2
V ELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE INSTANTÂNEA .................................................................. 2
A CELERAÇÃO MÉDIA E ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA ................................................................ 3
MOVIMENTO NUM PLANO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE ........................................................ 4
MOVIMENTO DE PROJÉTEIS .................................................................................................. 4
Tiro de gran alcance ..................................................................................................... 7 MOVIMENTO CIRCULAR E UNIFORME ..................................................................................... 8 MOVIMENTO RELATIVO ...................................................................................................... 10 Coger con la mano una bala disparada! ..................................................................... 10 S OLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ..................................................................................... 11 "19" ............................................................................................................................. 11 22 ................................................................................................................................ 11 30 ................................................................................................................................ 12 41 ................................................................................................................................ 13 47 ................................................................................................................................ 14 49 ................................................................................................................................ 15 72 ................................................................................................................................ 15 80 ................................................................................................................................ 16 83 ................................................................................................................................ 17 88 ................................................................................................................................ 17
04. Movimento em duas e três dimensões
A nossa experiência cotidiana está repleta de exemplos de movimentos bi e tridi- mensionais. Podemos até dizer que são raras as situações com movimentos unidimensi- onais. Quando saímos de nossa cama para a sala, certamente usamos um movimento bidimensional ao chegar até a porta e caminhando pelo corredor para atingir a sala. Num automóvel em movimento, além do movimento bidimensional, segundo os pontos carde- ais, as estradas têm elevações e baixios, de modo que percorremos um caminho tridi- mensional.
Posição e deslocamento
Vamos considerar um sistema de coor- denadas x-y para analisar o movimento de uma partícula do ponto inicial P ocupado no instante ti até o ponto final Q ocupado no instante tf. A ponto inicial P é localizado pelo vetor posição ri
e o ponto final Q é localizado
pelo vetor posição rf
O vetor deslocamento é definido por:
r rf r i
y
P
r i
r
Q
r f
x Onde
ri ixi jyi kz f
rf =iˆx^ f +jˆyf+kˆz f
∆r =iˆ∆x+jˆ∆y+kˆ∆ z
Velocidade média e velocidade instantânea
A velocidade pode ser entendida como a variação no tempo do vetor deslocamen- to. Definimos a velocidade média em duas ou três dimensões fazendo uma extensão da definição usada para o movimento retilíneo, ou seja:
f i
f i t t
r r t
r v −
ou ainda:
t
z k t
y j t
x v i ∆
Movimento num plano com aceleração constante
Vamos considerar que a partícula se mova no plano x-y com aceleração cons- tante. Para um movimento nesse plano teremos:
x y
x y a ia ja
v iv jv
r ix jy
e considerando que a aceleração é constante teremos as equações para o movimento segundo o eixo x:
( ) ( ) 2 0 0 0 0 2
x =x +v x t−t + ax t−t
v (^) x =v 0 x+ax(t −t 0 ) v (^) x^2 =v 02 x+ 2 a (^) x( x−x 0 )
e as equações para o movimento segundo o eixo y :
( ) ( ) 2 0 0 0 2 0
y =y +v y t−t + ay t−t
v (^) y =v 0 y +ay(t^ −t 0 ) v (^2) y =v 02 y+ 2 ay(^ y−y 0 )
As equações anteriores podem ser sintetizadas nas formas vetoriais:
2 0 0 2
r r v t at
v v a t
v 2 v 02 2 a (r r 0 )
Movimento de projéteis
O movimento dos projéteis é uma situação onde uma partícula se move num plano, com movimento de aceleração constante em uma direção e movimento de velocidade constante em outra direção.
Vamos considerar que a (^) x = 0 e que a (^) y = - g , e desse modo, as equações para esse movimento serão para o eixo x:
x − x 0 =v 0 x t (1)
e para o eixo y:
2 (^002)
y − y =vy t− gt (2)
v (^) y = v 0 y−gt (3) ( ) 2 0
2 0 v 2 v 2 gy y y =^ y− − (4)
Considerando x 0 = yo = 0 , na equação (1), temos
v x
x t 0
usando esse resultado na equação (2), temos:
2
0 0
0 2
x x
y v
g x v
x y v
ou seja
2 2 0 0
0 2
x v
g x v
v y x x
y
A equação anterior é do tipo:
y = b x - c x^2
Se completarmos os quadrados na equação anterior, teremos:
2 2
4 2
c
b c x c
b y
Essa é a equação de uma parábola com a concavidade voltada para baixo, e tem como coordenadas do ponto de altura máxima:
c
b y
c
b x
M
M
2
Considerando que:
0 0 0
0 0 0
sen
cos
θ
θ
v v
v v
y
x
encontramos que:
para os mesmos ângulos e velocidades iniciais da figura anterior.
Tiro de gran alcance
Al final de la primera guerra mundial (1918), cuando los éxitos de la aviación francesa e inglesa dieron fin a las incursiones aéreas enemigas, la artillería alemana puso en práctica, por primera vez en la historia, el bombardeo de ciudades enemigas situadas a más de cien kilómetros de distancia. El estado mayor alemán decidió emplear este nuevo procedimiento para batir la capital francesa, la cual se encontraba a más de 110 km del frente. Hasta entonces nadie había probado este procedimiento. Los propios artilleros alemanes lo descubrieron casualmente. Ocurrió esto al disparar un cañón de gran calibre con un gran ángulo de elevación. Inesperadamente, sus proyectiles alcanzaron 40 km, en lugar de los 20 calculados. Resultó, que estos proyectiles, al ser disparados hacia arriba con mucha inclinación y gran velocidad inicial, alcanzaron las altas capas de la atmósfera, en las cuales, debido al enrarecimiento, la resistencia del aire es insignificante. En este medio poco resistente es donde el proyectil recorrió la mayor parte de su trayectoria, después de lo cual cayó casi verticalmente a tierra.
La figura muestra claramente la gran variación que experimentan las trayectorias de los proyectiles al cambiar el ángulo de elevación. Esta observación sirvió de base a los alemanes para proyectar un cañón de gran alcance, para bombardear París desde una distancia de 115 km. Este cañón terminó de fabricarse con éxito, y durante el verano de 1918 lanzó sobre París más de trescientos proyectiles. He aquí lo que después se supo de este cañón. Consistía en un enorme tubo de acero de 34 m de largo y un metro de grueso. El espesor de las paredes de la recámara era de 40 cm. Pesa ba en total 750 t. Sus proyectiles tenían un metro de largo y 21 cm de grueso, y pesaban 120 kg. Su carga requería 150 kg de pólvora y desarrollaba una presión de 5 000 atmósferas, la cual disparaba el proyectil con una velocidad inicial de 2 000 m/seg. El fuego se hacía con un ángulo de elevación de 52' y el proyectil describía un enorme arco, cuyo vértice o punto culminante se encontraba a 40 km de altura sobre la tierra, es decir, bien entrado en la estratosfera. Este proyectil tardaba en recorrer los 115 km, que mediaban entre el emplazamiento del cañón y París, 3,5 minutos, de los cuales, 2 minutos volaba por la estratosfera. Estas eran las características del primer cañón de ultralargo alcance, antecesor de la moderna artillería de este género.
L a n ç a m e n t o d e p r o j é te i s c o n si d e r a n d o o a t r i to
0
0 , 5
1
1 , 5
2
2 , 5
3
3 , 5
4
0 0 , 5 1 1 , 5 2 2 , 5 3 3 , 5 4 4 , 5 5 x
y
Cuando mayor sea la velocidad inicial de la bala (o del proyectil), tanto mayor será la resistencia del aire. El aumento de esta resistencia no es proporcional al de la velocidad, sino más rápido, es decir, proporcional al cuadrado, al cubo y a potencias aún mayores del aumento de la velocidad, según el valor que ésta alcance.
Física Recreativa - Yakov Perelman
Movimento circular e uniforme
Se um corpo está se movimentando em círculos com velocidade constante em mó-
dulo, ele necessariamente estará sob a ação de uma força. Essa força F
pode ter as mais diversas origens: gravitacional, elétrica, magnética, e etc. Mas algumas grandezas ligadas a esse movimento estão relacionadas do seguinte modo:
R
v F ma onde a
2 = =
onde m é a massa do corpo, R é o raio da órbita e v é a sua velocidade. A velocidade pode ser definida como:
fR w R T
R
v = = π =
π 2
F
v
onde T é o período, f é a frequência, e w é a frequência angular. A unidade de T é segun- do, a unidade de f é 1/segundo = Hertz, e a unidade de w é radiano/segundo. Desse modo, a frequência angular tem como unidade natural o radiano/segundo, mas pode ser expressa em rotações/minuto:
2 min
rot seg
rot seg
rad π π
Por exemplo, qual deve ser a velocidade angular, em rotações por minuto, que um corpo deve girar para que a sua aceleração seja 50 vezes a aceleração da gravidade?
g R
v mg R
v F m 50 50
2 2 = = ∴ =
mas, como vimos anteriormente v = wR, logo:
rad seg R
g w R g w /
e finalizando:
/min
rot R
g w π
Vale a pena enfatizar que a direção da aceleração é perpendicular ao vetor veloci- dade. Deve-se notar, portanto, que não é necessário existir movimento na direção da aceleração.
Movimento relativo
Os resultados da observação de um evento dependem do referencial usado pelo observador. Um acontecimento que ocorre no interior de um vagão de um trem tem uma aparência para observadores fixos no interior desse trem e uma outra aparência diferente para observadores fixos nos trilhos.
Vamos considerar dois referenciais S e S´ , considerando que S´ move-se com veloci- dade constante u
em relação a S.
Um evento que é localizado no referencial S pelo vetor posição r
será localizado no referencial S´ pelo vetor posição r´
é esses dois vetores estão relacionados do seguinte modo:
r r u t
A velocidade com que um dado corpo se move é medida de maneira diferente por cada um desses referen- ciais.
y y´
A
r
r ´
u t
x x´
Se para um observador no referencial S a velocidade é v
, para um outro obser- vador no referencial S´ a velocidade é v´
. Encontramos a maneira como essas veloci- dades estão relacionadas derivando a relação entre os vetores posição:
u v v u dt
dr dt
dr!!!!
Coger con la mano una bala disparada!
Durante la primera guerra mundial, según información de prensa, a un aviador francés lo ocurrió un caso extraordinario. Cuando iba volando a dos kilómetros de altura, este aviador se dio cuenta que junto a su cara se movía una cosa pequeña. Pensó que sería algún insecto, y, haciendo un ágil movimiento con la mano, lo cogió. Cuál sería su sorpresa cuando comprendió, que lo que acababa de cazar era... ¡una bala de fusil alemana! ¿Verdad que esto recuerda los cuentos del legendario barón Münchhausen, que también aseguró haber cogido una bala de cañón con las manos?
No obstante, esta noticia sobre el piloto que cogió la bala, no tiene nada de imposible. Las balas no se mueven durante todo el tiempo con la velocidad inicial de 800- 900 m por segundo, sino que, debido a la resistencia del aire, van cada vez más despacio y al final de su trayectoria, pero antes de empezar a caer, recorren solamente 40 m por
segundo. Esta era una velocidad factible para los aeroplanos de entonces. Por consiguiente, la bala y el aeroplano podían volar a una misma velocidad, en un momento dado, y, en estas condiciones, aquélla resultaría inmóvil o casi inmóvil con relación al piloto. Es decir, éste podría cogerla fácilmente con la mano, sobre todo con guante (porque las balas se calientan mucho al rozar con el aire).
Física Recreativa - Yakov Perelman
Solução de alguns problemas
Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - Edição antiga
"19" (^) Um malabarista consegue manter simultaneamente cinco bolas no ar, todas atin- gindo uma altura máxima de 3m. Encontre o intervalo de tempo entre duas bolas que chegam às suas mãos. Consi- dere que os intervalos são os mesmos para todas as bolas.
Vamos considerar t o tempo necessário para que uma bola atinja a altura máxima de h = 3m. Logo T = 2t é o tempo que cada bola permanece no ar até cair de volta nas mãos do malabarista.
Se tivéssemos apenas duas bolas, jogaríamos a primeira bola e após T/2 jogaría- mos a segunda bola.
Como temos cinco bolas, jogaríamos a primeira, após T/5 jogaríamos a segunda, após T/5 jogaríamos a terceira, após T/5 jogaríamos a quarta e finalmente após T/5 jogaríamos a quinta bola. A seguir pegaríamos a primeira que permaneceu 5T/5 no ar. Vamos chamar de ∆t o intervalo entre a chegada de duas bolas, logo:
T t ∆t = =
Considerando que o tempo de descida é o mesmo que o de subida, soltando uma da bolas ela terá um movimento tal que:
g
h t g
h t
gt h
2 = ∴ = ⇒ ∆ = = 0,31s
Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
(^22) Um projétil é atirado horizontalmente de uma arma que está 45m acima de um solo
plano. A velocidade na saída do cano é 250m/s.
a) Por quanto tempo o projétil permanece no ar?
0
2
4
6
8
10
12
14
(^0 2 4 6) x 8 10 12 14
y
Usando os valores das variáveis, encontramos a altura do penhasco:
h = 51,81m
b) A velocidade da pedra imediatamente antes do impacto no penhasco.
v (^) y = v0y - gt ∴ vy = - 17,53m/s
vx = v0x = 21m/s
v = ( 21 i ˆ− 17 , 53 jˆ) m/s
c) A altura máxima H acima do nível do solo.
Na posição da altura máxima a componente vertical da velocidade será nula:
m g
v v v gH H y yH y^20267 ,^48
2 2 0 0
Poderíamos ainda calcular quanto tempo T foi necessário para o projétil chegar até a altura máxima e qual o valor da componente x (^) H :
s g
v v (^) Hy =v 0 y−gT = 0 ⇒ T =^0 y = 3 , 71
x (^) H = v0x T = 77,91m
Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
41
Com que velocidade inicial um jogador de basquete deve lançar a bola, num ângulo de θ 0 = 55 0 acima da horizontal, para fazer a cesta, conforme a figura ao lado?
θθθθ 0
y
y (^0)
θ 0 = 55 0 y0 = 7pés = 2,1m y = 10pés = 3 m x0 = 0 x = 14pés = 4,26m ( )
0
2 0
2
0
2 0 0
0 0
v v gy y
v v gt
gt y y v t
x x v t
y y
y y
y
x
Da primeira equação da esquerda encontramos que t = x / v0x , e aplicamos esse resultado na segunda equação:
2
0 0
0 0 2
x x
y v
g x v
x y y v = 0
2 2 0
2
0 0
0 0 cos 2 cos
sen θ θ
θ v
g x v
v x −
ou seja:
(^20) [ 0 ( 0 )]
2 2 0 2 cos xtan y y
gx v − −
θ θ
v 0 = 7,22m/s
Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
(^47) Uma bola rola, horizontalmente, do alto de uma escadaria com velocidade inicial de
1,5m/s. Os degraus têm 20cm de altura por 20cm de largura. Em qual degrau a bola bate primeiro?
h = d = 0,2m v0x = 1,5m/s θ 0 = 0 0 v0y = 0
yreta = - x
( ) ( )
2 2 0 0
0 2 cos
tan x v
g y (^) bola x θ
= θ −
2 2 (^2 )
x v
g y (^) bola (^)
Nós iremos determinar o degrau onde a bola vai bater primeiro, encontrando o ponto onde a reta cruza com a parábola, num ponto xE , onde:
2 2 (^2 ) E xE v
g x (^)
− =− ou seja: g
v x (^) E
2 = 2 0 = 0,45m
Essa distância xE será equivalente ao n-ésimo degrau, onde:
gh
v nh n g
2 v 02 2 02 = ∴ = = 2,29 ⇒ 3 0 degrau
-0,
-0,
-0,
-0,
0 0 0,2 0,4 0,
x
Y
Usando o conjunto de equações acima para esses problema, encontramos a veloci- dade de lançamento da pedra:
h
g v d v
d g
h gt t h
d v t x x
x 2
0 0
2 0 = 16,26m/s
Mas enquanto a pedra estava presa, ela descrevia um movimento circular e uniforme com aceleração dada por:
rh
gd r
v a x 2
(^22) = 0 = = 264,38m/s 2 = 26,97g
Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
(^80) A neve cai, verticalmente, com uma velocidade constante de 8m/s. O motorista de
um carro, viajando em linha reta numa estrada com uma velocidade de 50km/h , vê os flocos de neve caírem formando um ângulo com a vertical. Qual o valor deste ân- gulo?
v = 8m/s u = 50km/h = 13,89m/s
v v u
r r ut !!!
v
v ′
v
u
u
Onde v
é a velocidade da neve caindo observada em um referencial fixo na estra- da, u
é a velocidade do referencial móvel em relação à estrada e v ′
é a velocida- de da neve caindo observada pelo referencial móvel. Em termos vetoriais, teremos:
v v u
Como neste caso específico os vetores v
e u
formam um ângulo reto:
v ′^ = v^2 +u^2 = 16,02m/s
v
u tan θ = =1,73^ ∴^ θ^ = 60 0
Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
(^83) Um trem viaja em direção ao sul a 30m/s (em relação ao solo), sob uma chuva que
está caindo, também em direção ao sul, sob a ação do vento. As trajetórias das gotas de chuva formam um ângulo de 22 0 com a vertical, conforme registrado por um ob- servador parado no solo. Entretanto, um observador no trem vê as gotas caírem exatamente na vertical. Determine a velocidade da chuva em relação ao solo.
θ = 22 0 u = 30m/s
v v u
logo
θ
θ sen
sen
u u = v ∴ v= = 80,08m/s
v
v ′
v
θ u
u
Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
(^88) Uma mulher pode remar um bote a 6,4km/h , em água parada.
a) Se ela atravessar um rio com uma correnteza de 3,2km/h , em que direção deve aprumar o bote, para alcançar o local diretamente oposto ao seu ponto de parti- da?
vb´ = 6,4km/h vr = 3,2km/h
cos = = ∴ = ′ θ= θ b
r v
v v b
v b
v r
b) Se o rio tiver 6,4km de largura, quanto tempo levará para atravessá-lo?
l = 6,4km vb = vb´ senθ
l = vb t
' (^6) , 4 .sen 600
sen
b vb θ
l v
l t = 1,15h = 1h 09min
c) Suponha que, em vez de atravessar o rio, ela reme 3,2km rio abaixo, e depois volte ao ponto de partida. Qual o tempo gasto nesse percurso?
