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o documento contém exercícios de álgebra.
Tipologia: Exercícios
1 / 27
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vers˜ao 2.0 1998/ vers˜ao 2.1 2010/ vers˜ao 2.1.1 2011/ vers˜ao 2.2 2014/ vers˜ao 2.3 2015/
Departamento de Engenharia Civil Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
A presente colectˆanea de exerc´ıcios foi elaborada para acompanhamento das aulas da disciplina de Algebra da Licenciatura em Engenharia Civil da FEUP. Ela surge como consequˆ´ encia, em grande parte, de uma recolha de manuscritos pertencentes a docentes das Faculdades de Ciˆencias e de En- genharia da Universidade do Porto, referentes a anos lectivos entre 1981 e 1992, de autoria dif´ıcil de identificar. Muitos deles parecem ter sido retirados das obras habitualmente usadas para referˆencia numa cadeira deste tipo, mas muitos h´a que s˜ao certamente originais. A autora contribuiu com al- guns. Na elabora¸c˜ao da sec¸c˜ao 1 contribuiram os Assistentes da cadeira no ano lectivo de 1998/99, Dr. Rui Gon¸calves e Dra. Isabel M. Silva.
A par deste exerc´ıcio, resolva as mesmas quest˜oes com os vectores ~u = (1, 2), ~v = (− 1 , 4) e w ~ = (− 1 , −1) e os pontos A(− 1 , 1), B(− 2 , 5) e C(− 3 , 4). Pressup˜oe-se que R^3 est´a munido de um referencial ortonormal.
(a) 1 , i ; (b) 1 − i , 2 i.
(a) 2 cisπ 3 ;
(b)
2 ei^
74 π .
(a) (2 + 3i) + (5 − 9 i); (b) (2 + 3i) × ( 5 − 9 i); (c) 2+3 5 − 9 ii ;
(d) (
3 + i)^6 ; (e) as ra´ızes de 1^1 /^4. Fa¸ca a sua representa¸c˜ao geom´etrica.
√ 3 2 ´e uma ra´ız c´ubica da unidade.
(a) z ∗ w; (b) (^) wz ; (c) z^3.
∑^10
i=
yi, desenvolva a express˜ao
∑^10
i=
(yi − y¯)^2.
p(x) = 1 − x^2 q(x) = 1 + 2x r(x) = 1 + 2x − x^2 − 2 x^3.
(a) Em que condi¸c˜oes ´e que p + q ´e o polin´omio nulo? (b) Verifique que p · q = r. (c) Calcule p·q^3. (TPC: Calcule sem a ajuda de meios autom´aticos de c´alculo e depois procure um meio autom´atico, p.e. o software Octave e use-o neste exemplo.)
2 Espa¸cos vectoriais
(a) Seja I ⊆ [0, 1]. Considere o conjunto V de todas as fun¸c˜oes reais definidas em [0, 1] tais que f (x 1 ) = f (x 2 ) , ∀x 1 , x 2 ∈ I e a defini¸c˜ao natural de adi¸c˜ao e de multiplica¸c˜ao por um escalar; (b) Considere o conjunto V = R^2. Defina a adi¸c˜ao usual e a seguinte opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao por um escalar: α ∗ (u 1 , u 2 ) = (0, αu 2 )
(c) Considere o conjunto V da al´ınea anterior com as novas opera¸c˜oes:
(u 1 , u 2 ) + (v 1 , v 2 ) = (0, u 2 + v 2 ) α ∗ (u 1 , u 2 ) = (αu 1 , αu 2 )
(a) Considere o conjunto V = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R^3 : x 1 = 1}; (b) Considere o conjunto V = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R^3 : x 1 x 2 = 0}; (c) Considere o conjunto V = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R^3 : x 1 x 2 = 2}; (d) Considere o conjunto V das fun¸c˜oes reais de vari´avel real que s˜ao pares.
(a) o conjunto V = Rn, com as opera¸c˜oes usuais de adi¸c˜ao e de multiplica¸c˜ao por um escalar; (b) o conjunto V = C^2 , com a opera¸c˜ao usual de adi¸c˜ao e a seguinte opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao por um escalar; α ∗ (z 1 , z 2 ) = (¯αz 1 , αz¯ 2 ).
(a) V = R^3 e S = {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 − y^2 = 0} (b) V = R^2 e S = {(x, y) ∈ R^2 : y = 2x} (c) V = R^2 e S = {(x, 1 − 2 x) : x ∈ R} (d) V = R^2 e S = {(x, y) ∈ R^2 : x/ 2 ≤ |y| ≤ 3 x/ 2 }
(a) S ´e o conjunto das fun¸c˜oes reais de vari´avel real que admitem pelo menos os zeros 1 e 2, (b) T ´e o conjunto das fun¸c˜oes reais de vari´avel real que admitem somente os zeros 1 e 2.
(a) { 1 , eax, xeax}, (a 6 = 0) (b) {eax, xeax, x^2 eax}, (a 6 = 0) (c) {cos x, sin x}, (d) {ex^ cos x, e−x^ sin x}.
S = {(x, y, z, t) ∈ R^4 : x + y − z + t = 0}.
Determine:
(a) uma base B 1 de R^4 que contenha os vectores (1, 1 , 0 , 0), (0, 0 , 1 , 1) e (0, 2 , 3 , 0), (b) uma base B 2 de R^4 que contenha os vectores (1, 0 , 1 , 0) e (0, 1 , 1 , 1), (c) uma base B 3 de S que contenha o vector (1, 0 , 1 , 0), (d) as coordenadas do vector (1,1,1,-1) nas bases B 1 , B 2 e B 3 , respectivamente.
(a) Mostre que S e T s˜ao subespa¸cos vectoriais. (b) Defina S + T e verifique se esta soma ´e ou n˜ao directa. (c) Verifique se o vector u = (1, 0 , 4) pertence ou n˜ao a S + T. Em caso afirmativo exprima-o como soma de um vector de S com um vector de T. E o vector v = (4, 0 , 4)?
(a) Determine a dimens˜ao de S, T , S
⋂ T e S + T ; (b) Determine uma base para o subespaco U de R^4 tal que R^4 = S ⊕ U ; (c) Determine as coordenadas de (3, − 1 , 6 , −6) na base obtida anteriormente.
3 Transforma¸c˜oes lineares e matrizes
f : R^2 −→ R^3 (x 1 , x 2 ) 7 → (x 1 + x 2 , 2 x 1 + 3x 2 , x 1 )
g : R^2 −→ R^3 (x 1 , x 2 ) 7 → (x 1 + x 2 , 2 x 1 + 3x 2 , 0) h : R^2 −→ R^3 (x 1 , x 2 ) 7 → (x 1 + x 2 , 2 x 1 + 3x 2 , 1).
tw : V −→ V v 7 → v + w.
Verifique que:
(a) se w = 0V a aplica¸c˜ao tw ´e linear (diz-se o automorfismo idˆentico), (b) se w 6 = 0V a aplica¸c˜ao tw n˜ao ´e linear.
f : R^4 −→ R^2 g : R −→ R (x, y, z, t) 7 → (x − y + z − t, 3 x − 4 y) x 7 → x^2 , h : R^2 −→ R l : R^2 −→ R^2 (x, y) 7 → sin(x + y) (x, y) 7 → (x + y, x − y + 2).
(c) Determine os conjuntos A = {x¯ ∈ R^4 : f (¯x) = (1, 1 , 1)} e B = {¯x ∈ R^4 : f (¯x) = f (1, 2 , 1 , 0)}. Trata-se ou n˜ao de subespa¸cos? (d) Determine uma base para R^4 , completando a base que obteve para o N´ucleo e, em seguida, determine a imagem por f de cada um dos vectores desta base. (e) Dˆe exemplo de uma aplica¸c˜ao linear g : R^4 −→ R^3 cuja imagem ´e gerada pelo conjunto {(1, 0 , 1), (1, 2 , −1)}. (f) Seja h o endomorfismo definido por
h(x, y, z) = (x + 2y − z, y + z, x + y − 2 z) , ∀(x, y, z) ∈ R^3.
i. Verifique se a aplica¸c˜ao linear h ◦ f : R^4 −→ R^3 ´e injectiva; ii. Determine (h ◦ f )(1, − 1 , 3 , 2). (g) Dˆe exemplo de uma aplica¸c˜ao linear de R^4 em R^3 cujo n´ucleo seja gerado por {(2, 1 , 1 , 0), (1, 0 , 0 , 0)}. (h) Considere a aplica¸c˜ao linear l : R^3 −→ R^3 definida por l(1, 0 , 0) = (1, 2 , 3), l(0, 1 , 0) = (3, 2 , 1) e l(0, 0 , 1) = (0, 4 , 8). Verifique se R^3 = N (l)
⊕ Im(l).
f : R^3 −→ R^3 (x, y, z) 7 → (
3 x − z 2
, x + y − z,
3 x − z 2
(a) Verifique que f ´e um projector; (b) Determine a imagem, por f , do vector (1, 3 , −1); (c) Determine a imagem rec´ıproca, por f , do vector (2, 5 , 2); (d) Determine uma base para Im(f ) e uma base para N (f ); (e) Determine um projector g de R^3 que tenha imagem idˆentica `a de f.
(a) f (x, y, z) = (x − y, x + z, x + y + 2z); (b) f (x, y, z) = (x − y + z, x + y, 3 x + y + z).
(a) A =
( 1 2 4 5 3 1 0 2
) , B =
;
(b) A =
, B =
;
(c) A =
B =
( 2 4 9 6 5 10
) ;
(d) A =
( 2 0 1 / 2 1 2 3 4 3
) , B =
(a) Resolva a equa¸c˜ao BXA = AT^ − 2 B + XA. (b) Sendo A a matriz
verifique que A ´e invert´ıvel e determine a sua inversa. (c) Sendo B a matriz
B =
verifique que B − I admite a inversa
1 2 −
1 4 0 0 12 0 (^0 0 )
.
(d) Para as matrizes A e B das duas al´ıneas anteriores, determine a matriz X.
f : R^3 −→ R^2 (x, y, z) 7 → (x + y, 2 z).
(a) Verifique que se trata de uma aplica¸c˜ao linear; (b) Determine a sua matriz com respeito `as bases consideradas;
(c) Determine a sua matriz com respeito `as bases can´onicas; (d) Escreva a express˜ao da transforma¸c˜ao; (e) Qual o vector que resulta da aplica¸c˜ao de uma rota¸c˜ao de π/3 ao vector (3, 1).
f (x, y) = (x + 2y, 2 x − y, x) g(x, y) = (−x, y, x + y).
Determine
(a) f + g (b) 3f − 2 g (c) a matriz com respeito `as bases can´onicas de 3f − 2 g; verifique que M 3 f − 2 g = 3Mf − 2 Mg.
f (x, y) = (x + y, x) g(x, y) = (x, 2 y).
Determine
(a) f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f e g ◦ g; (b) 3f − 2 g (c) a matriz com respeito `as bases can´onicas de f ◦ g; verifique que Mf ◦g = Mf .Mg.
( 1 2 3 − 1
) , B =
( 1 2 3 6
) , C =
,^ D^ =
4 Determinantes
(a)
∣∣ ∣∣ ∣
1 − i 2 1 − i 2 i
∣∣ ∣∣ ∣
(b)
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
(c)
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
(d)
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
2 i 1 + i 0 4 −i 2 1 − i 1 i
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
(e)
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
a a a a a b b b a b c c a b c d
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
(f)
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
a b c 2 1 0 1 2 1
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
= 1, calcule o determinante das seguintes matrizes:
a b c 6 3 0 − 1 / 2 − 1 − 1 / 2
,^ B^ =
a − 1 b − 2 c − 1 3 3 1 1 2 1
,^ C^ =
1 a b c 14 2 1 0 169 1 2 1
,^ B^ =
(a) (1, 2 , 2), (2, 1 , 2), (2, 2 , 1);
(j)
x + y + 2z + 3t = − 1 3 x − y − z − 2 t = 4 3 / 2 x − 1 / 6 y + 2/ 3 z + 13/ 6 t = 5 / 6
(k)
x + y − z = − 2 2 x + y − 3 z = − 7 4 x − 5 y − 13 z = − 35 − 3 x + 2y + 8z = 21
(l)
x + y − z = − 2 2 x + y − 3 z = − 7 4 x − 5 y − 13 z = − 35 − 3 x + 2y + 8z = 20
(m)
6 x + 4y + 3z + 3t = − 1 − 2 y + 4z − t = 0 2 x − y + z + t = 1
(a)
ax + y + z = 0 x − z = 0 −x + ay = 0 y + 2z = b
(b)
x + ay + a^2 z = 1 x + ay + abz = a bx + a^2 by + a^2 bz = a^2 b
(c)
bx + by + bz = b^2 b(b + 2)y + b(b + 2)z = b^2 b(b + 2)y + bz = 1
(d)
2 x + y + z + v = 1 4 x + 2y + 3z + 4v = 3 − 6 x − 3 y − z + v = a
3 x + 2y − z = 0 x + y − 3 z = 0 2 x + y − 4 z = 0 7 x + 2y − 3 z = 0
2 x + ky + z = 0 x − y − z = 0 x − 2 y − 2 z = 0
3 u^2 + v^2 + w^2 = 8 −u^2 + 2v^2 − 3 w^2 = − 6 u^2 + v^2 − 5 w^2 = − 12
x − 2 y + 3az = 1 x − 2 ay + 3z = 1 ax − 2 y + 3z = 5b
sendo a , b ∈ R.
(a) Escreva o sistema na forma matricial AX = B; (b) Transforme o sistema dado num sistema equivalente em que a matriz de coeficientes seja triangular superior; (c) Explique a rela¸c˜ao que existe entre o determinante da matriz A e o determinante desta matriz triangular superior; (d) Determine sob que condi¸c˜oes ´e que a caracter´ıstica da matriz de coeficientes do sistema ´e igual a 1; (e) Com base nas caracter´ısticas das matrizes envolvidas, determine os valores dos pˆarametro a e b para os quais o sistema tem solu¸c˜ao ´unica;
(f) Resolva o sistema quando a = 0 e b = −
, usando exclusivamente elimina¸c˜ao gaussiana.
6 Polin´omios
(a) 3x^3 + 5x^2 + 5x + 2 (b) x^5 + 5x^4 + 13x^3 + 19x^2 + 18x + 8 (c) 4x^4 + 20x^3 + 33x^2 + 20x + 4 (d) x^6 − 4
(a) x^4 + 4x^3 + 4x^2 − 1, em R[x] (b) x^6 + 27, em R[x] e em C[x] (c) x^6 + x^3 + 1, em R[x] e em C[x] (d) x^4 + 4x^3 + 4x^2 − 1, em R[x] e em C[x]
(a) z^3 − 6 z + 4 = 0 (b) z^4 − 16 z − 12 = 0 (c) z^4 − 6 z^3 + 12z^2 − 12 z + 4 = 0
(a) x^4 − x^3 + 2x^2 − x + 1, em R[x] e em C[x] (b) x^4 − 8 x^3 + 12x^2 + 4x − 8, em R[x]
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
A =
( 1 0 2 3
) .
(a) Determine os seus valores pr´oprios e os seus vectores pr´oprios.
(b) Mostre que a matriz (^) ( 1 0 0 3
) .
´e semelhante a A.
.
(a) Calcule o determinante de A; (b) A matriz A ´e invert´ıvel? Se sim, determine a inversa de A; (c) Verifique que (0, 1 , 1 , 0) ´e um vector pr´oprio de A que est´a associado ao valor pr´oprio −2; (d) Verifique que (0, 0 , 0 , 1) ´e uma solu¸c˜ao do sistema (A + I)u = 0; (e) Determine o polin´omio caracter´ıstico de A; (f) Determine os valores pr´oprios de A; (g) Determine o subespa¸co pr´oprio associado ao valor pr´oprio de maior valor absoluto; (h) A matriz A ´e diagonaliz´avel? Se sim, indique uma matriz semelhante a A que seja diagonal e uma matriz P tal que P −^1 AP seja essa matriz diagonal.
.
(a) Determine os seus valores pr´oprios e os seus vectores pr´oprios. Verifique se f pode ou n˜ao ser representado por uma matriz diagonal. Em caso afirmativo, quais s˜ao as novas bases? (b) Determine bases de R^3 para as quais a matriz de f seja da forma
λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ
.
Indique o valor do escalar λ.
α ou
α ´e valor pr´oprio de A.
