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Capítulo 4: INEQUAÇÕES Uma equação é uma igualdade , logo usa-se o sinal de “=”. Por outro lado, uma inequação é uma desigualdade , então, em vez de um sinal de igual, usam-se sinais de:
Maior que < Menor que ≥ Maior que ou igual a ≤ Menor que ou igual a ≠ Diferente de
Propriedades de inequações:
A) Inequações equivalentes B) Produto de inequações C) Inequação quociente D) Inequações de primeiro grau; E) Inequações de segundo grau
A) Inequações equivalentes:
- Se 𝐴 ≤ 𝐵 então 𝐴 + 𝐶 ≤ 𝐵 + 𝐶
Exemplo: Se 𝑥 − 4 ≤ 8, então 𝑥 − 4 + 2 ≤ 8 + 2
2 ) Se 𝐶 > 𝑂 e 𝐴 ≤ 𝐵 então 𝐶𝐴 ≤ 𝐶𝐵
Exemplo: Se 13𝑥 ≥ 20, então 13𝑥 ∗ 3 ≥ 20 ∗ 3
- Se 𝐶 < 0 𝑒 𝐴 ≤ 𝐵, então 𝐶𝐴 ≥ 𝐶𝐵
Exemplo: Se 2𝑥 ≤ 3, então 2𝑥 ∗ − 12 ≥ 3 ∗ − (^12)
- Se 𝐴 ≤ 𝐵 e 𝐶 ≤ 𝐷 então 𝐴 + 𝐶 ≤ 𝐵 + 𝐷
Exemplo: Se 𝑥 ≤ 3 𝑒 𝑦 ≤ 4, então 𝑥 + 𝑦 ≤ 8 + 5
B) Produto de inequações:
Alguma inequações apresentam produtos de funções. Neste caso:
- fazer a análise de sinais de todas as funções e;
- determinar a solução pela intersecção do estudo de sinais das funções da inequações.
Exemplo: Determine os valores de x que satisfaçam a desigualdade abaixo:
(−3𝑥 + 6) ∗ (5𝑥 − 7) < 0 Equação 1 Primeiro, o estudo do sinal de cada função −3𝑥 + 6 = 0 → 𝑥 = 2 Equação 2 5𝑥 − 7 = 0 → 𝑥 = 7/5 Equação 3 Em seguida, faz-se os gráficos de sinais de cada função (Figura 1):
Figura 1. Análise de sinais para as Equações 2 e 3.
E por último a análise de sinal de cada função (Figura 2):
Figura 2. Análise de sinais da Equação 1.
Figura 4. Análise de sinais para Equação 4.
Logo o estudo de sinais do sistema é: 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅|^ 𝑥 ≤ 5 𝑥 > 2 }
D) Inequação de primeiro grau
Uma inequação é de primeiro grau se apresentar uma desigualdade, o coeficiente de x tiver expoente 1 e este expoente for o de maior grau na expressão. Uma inequação é de primeiro grau se: 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0 ou 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0 ou 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 0
Em que a ≠0 e a e b são constantes reais.
Para resolvermos uma inequação de primeiro grau, devemos:
- Igualar a sentença do 1° grau a zero e achar os valores de x possíveis:
- Estudar o sinal da função correspondente. As inequações do primeiro grau sempre têm infinitas soluções, que podem ser apresentadas usando a notação de conjunto, mostrado abaixo.
Exemplo: 12 𝑥 + 100 ≤ 250 1 2 𝑥^ ≤^250 −^100 1 2 𝑥^ ≤^150 𝑥 ≤ 300 Solução = {𝑥 ∈ 𝑅 |^ 𝑥 ≤ 300 }^ = (^ −∞: 300 ]
E) Inequações de segundo grau
Uma inequação é de 2° grau se apresentar uma desigualdade, haver um termo onde o expoente de x for 2 e este for o maior o de maior grau em toda a expressão.
𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 ou 𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 ; 𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 ou 𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0. Em que a ≠0 e a e b são constantes reais.
Para resolvermos uma inequação de segundo grau, devemos:
- Igualar a sentença do 2° grau a zero;
- Determinar (se existir) as raízes da equação; Equação de Bhaskara
- Estudar o sinal da função correspondente (Figura 5).
Concavidade para baixo (ax^2 >0) Concavidade para cima (ax^2 <0)
Figura 5. Estudo de sinais da inequação de segundo grau de acordo com as raízes.
- Determine os valores de x em R que satisfaçam as seguintes inequações:
a) 2 𝑥𝑥+− 13 ≤ 0
b) 𝑥 𝑥−−^21 > 0
c) 36 𝑥𝑥++^93 > 0
d) 5 𝑥 < 34
e) 32 𝑥 + 𝑥 3 + 𝑥 6 > 0
f) 𝑥^1 + 1 > 𝑥−^32
- Determine os valores de x em R que satisfaçam as seguintes inequações:
a) − 6 < 9 𝑥 − 3 < 12
b) 13 < 𝑥 + 3 < 15
c) 4 < 𝑥+ 2 3 < 2
d) 9 < 4 𝑥 2 + 7 < 2
e) (^) 𝑥−^22 ≤ 𝑥 𝑥+−^22 ≤ 1
- Resolva os exercícios abaixo usando conceitos de inequações:
a) Se um terreno retangular deve ter perímetro de 120 m e um dos lados deve medir ao menos o dobro do outro, quanto deve medir o lado menor? Lembre-se de que o perímetro de um retângulo é igual à soma dos comprimentos de seus lados.
b) João poupou R$ 1.250,00 para sua viagem de férias. Desse montante, R$ 375, serão gastos com passagens. O resto será usado no pagamento de refeições e diárias de hotel. Supondo que João pretenda gastar R$ 30,00 por dia com refeições, por quantos dias ele pode se hospedar em um hotel com diária de R$ 75,00?
c) A nota final de uma disciplina de pós-graduação é obtida segundo a fórmula NF = (2 P 1 +3 P 2)/5, em que P 1 e P 2 são, respectivamente, as notas que o aluno obteve na primeira e na segunda prova. Posteriormente, a nota final é convertida em uma “menção”, que é divulgada no histórico escolar do aluno. A tabela abaixo fornece a menção relativa a cada faixa de notas. Menção Intervalo A 9 ≤ NF ≤ 10 B 7 ≤ NF < 9 C 5 ≤ NF < 7 D 3 ≤ NF < 5 E 0 ≤ NF < 3 Se Ivete tirou 7,5 em sua primeira prova, quanto deve tirar na segunda para ficar com menção B?
d) Depois de encontrar uma iguana verde ( iguana iguana ) seriamente ferida, um biólogo faz o possível para mantê-la viva, começando pelo controle da temperatura ambiente (já que a iguana não regula a temperatura de seu corpo). Consultando um livro em inglês, o biólogo descobriu que a iguana deve ser mantida entre 79o F e 95o F. Ajude o biólogo a converter para graus Celsius a faixa de temperatura correta para a iguana, usando a relação o F = 9/5 o C + 32, em que o F é a temperatura em graus Fahrenheit e o C a temperatura em graus Celsius.
- (UNICAMP) Uma lâmpada incandescente de 100 W custa R$ 2,00. Já uma lâmpada fluorescente de 24 W, que é capaz de iluminar tão bem quanto a lâmpada incandescente de 100 W, custa R$ 13,40. Responda às questões abaixo, lembrando que, em uma hora, uma lâmpada de 100 W consome 100 Wh, ou 0,1 kWh. Em seus cálculos, considere que 1 kWh de energia custa R$ 0,50.
a) Levando em conta apenas o consumo de energia, ou seja, desprezando o custo de compra da lâmpada, determine quanto custa manter uma lâmpada incandescente de 100 W acesa por 750 horas. Faça o mesmo cálculo para uma lâmpada fluorescente de 24 W.
