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exercícios matemática, Exercícios de Matemática

Matemática

Exrci los direcionado para o ensino médio basico

Tipologia: Exercícios

2025

Compartilhado em 11/04/2025

raphael-furtado-2
raphael-furtado-2 🇧🇷

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Universidade Tecnologica Federal do Paran´
a
Mestrado Profissional em Matem´
atica – PROFMAT
Disciplina: MA11 - N´umeros e Fun¸c˜oes Reais - 2024
Professor: Dr. Michael Gonzales
— Primeira Prova —
03 de Maio de 2024
Nome:.........................................................................
1. ( /2,5 pts)Dada uma fun¸c˜ao f:X−→ Ye subconjuntos A⊂X,B⊂Y, definimos
f(A) = {f(x)|x∈A}e f−1(B) = {x∈X|f(x)∈B}.
Prove que para quaisquer subconjuntos A1, A2⊂XeB1, B2⊂Ytem-se:
(a) f(A1∪A2) = f(A1)∪f(A2).
(b) f−1(B1∪B2) = f−1(B1)∪f−1(B2).
(c) f−1(B1∩B2) = f−1(B1)∩f−1(B2).
(d) f(A1∩A2)⊂f(A1)∪f(A2).
Encontre um exemplo em que a ´ultima inclus˜ao seja estrita (n˜ao uma igualdade).
...............................................................................
2. ( /2,0 pts)
(a) Resolva a inequa¸c˜ao 1
2x+ 1 <1
1−x
(b) Verifique se cada passo na solu¸c˜ao das inequa¸c˜oes abaixo est´a correto:
(i) 5x+ 3
2x+ 1 >2 =⇒5x+ 3 >4x+ 2 =⇒x > −1.
(ii) 2x2+x
x2+ 1 <2 =⇒2x2+x < 2x2+ 2 =⇒x < 2.
...............................................................................
3. ( /1,5 pts)Use indu¸c˜ao para provar que
13+ 23+ 33+· · · +n3=n2(n+ 1)2
4.
...............................................................................
4. ( /1,5 pts)Seja f:R→Ra fun¸c˜ao quadr´atica f(x) = ax2+bx. Determine as constantes
reais aebde modo que f−1({3}) = {−1,3
2}e, em seguida, determine o conjunto
imagem de f.
...............................................................................
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Universidade Tecnologica Federal do Paran´a Mestrado Profissional em Matem´atica – PROFMAT Disciplina: MA11 - N´umeros e Fun¸c˜oes Reais - 2024 Professor: Dr. Michael Gonzales

— Primeira Prova —

03 de Maio de 2024

Nome:.........................................................................

  1. Dada uma fun¸c˜ao f : X −→ Y e subconjuntos A ⊂ X, B ⊂ Y , definimos ( /2,5 pts)

f (A) = {f (x) | x ∈ A} e f −^1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B}.

Prove que para quaisquer subconjuntos A 1 , A 2 ⊂ X e B 1 , B 2 ⊂ Y tem-se: (a) f (A 1 ∪ A 2 ) = f (A 1 ) ∪ f (A 2 ). (b) f −^1 (B 1 ∪ B 2 ) = f −^1 (B 1 ) ∪ f −^1 (B 2 ). (c) f −^1 (B 1 ∩ B 2 ) = f −^1 (B 1 ) ∩ f −^1 (B 2 ). (d) f (A 1 ∩ A 2 ) ⊂ f (A 1 ) ∪ f (A 2 ).

Encontre um exemplo em que a ´ultima inclus˜ao seja estrita (n˜ao uma igualdade).

...............................................................................

  1. ( /2,0 pts)

(a) Resolva a inequa¸c˜ao 1 2 x + 1

1 − x (b) Verifique se cada passo na solu¸c˜ao das inequa¸c˜oes abaixo est´a correto:

(i)

5 x + 3 2 x + 1

2 =⇒ 5 x + 3 > 4 x + 2 =⇒ x > − 1.

(ii) 2 x^2 + x x^2 + 1 < 2 =⇒ 2 x^2 + x < 2 x^2 + 2 =⇒ x < 2.

...............................................................................

  1. Use indu¸c˜ao para provar que ( /1,5 pts)

13 + 2^3 + 3^3 + · · · + n^3 = n^2 (n + 1)^2 4

  1. Seja f : R → R a fun¸c˜ao quadr´atica f (x) = ax^2 + bx. Determine as constantes( /1,5 pts) reais a e b de modo que f −^1 ({ 3 }) = {− 1 ,

} e, em seguida, determine o conjunto imagem de f.

...............................................................................

  1. Seja f : R → R uma fun¸c˜ao real tal que f (x) > 0 para todo x ∈ R e suponha( /2,5 pts) que f satisfaz f (x + y) = f (x) · f (y), ∀x, y ∈ R

(a) Mostre que f (0) = 1 e f (−x) =

f (x) , para todo x ∈ R.

(b) Mostre que f (nx) = f (x)n, para quaisquer n ∈ Z e x ∈ R. (c) Estendendo o que foi provado no item (b), prove que, para todo r = p q

∈ Q,

temos f (rx) = f (x)r, para todo x ∈ R.

...............................................................................

  1. Mostre que se a, b e c s˜ao n´umeros inteiros ´ımpares, ent˜ao as ra´ızes da equa¸c˜ao( /2,0 pts) quadr´atica ax^2 + bx + c = 0 n˜ao s˜ao n´umeros racionais. .................................................................................

Boa Prova

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